《排列與組合》設(shè)計(jì)市賽獲獎(jiǎng) 市賽一等獎(jiǎng)

《排列與組合》教學(xué)設(shè)計(jì)（3）教學(xué)目標(biāo)：1.理解排列的意義掌握排列數(shù)計(jì)算公式，并能用它解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題2.理解組合的意義，掌握組合數(shù)計(jì)算公式和組合數(shù)的性質(zhì)并能用它們解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題.3.掌握有關(guān)排列、組合綜合題的基本解法，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，學(xué)會(huì)分類討論的思想．4.使學(xué)生掌握解決排列、組合問(wèn)題的一些常用方法教學(xué)重點(diǎn)：排列組合綜合題的解題思路的形成課時(shí)安排：1課時(shí)典例精析題型一排列數(shù)與組合數(shù)的計(jì)算【例1】計(jì)算：(1)eq\f(8?。獳\o\al(6,6),A\o\al(2,8)－A\o\al(4,10))；(2)Ceq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(3,4)＋…＋Ceq\o\al(3,10).【解析】(1)原式＝eq\f(8×7×6×5×4×3×2×1＋6×5×4×3×2×1,8×7－10×9×8×7)＝eq\f(57×6×5×4×3×2,56×(－89))＝－eq\f(5130,623).(2)原式＝Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(3,5)＋…＋Ceq\o\al(3,10)＝Ceq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(3,5)＋…＋Ceq\o\al(3,10)＝Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(3,6)＋…＋Ceq\o\al(3,10)＝Ceq\o\al(4,11)＝330.【點(diǎn)撥】在使用排列數(shù)公式Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,(n－m)！)進(jìn)行計(jì)算時(shí)，要注意公式成立的條件：m，n∈N+，m≤n.另外，應(yīng)注意組合數(shù)的性質(zhì)的靈活運(yùn)用.【變式訓(xùn)練1】解不等式＞6.【解析】原不等式即eq\f(9！,(9－x)！)＞6×eq\f(9！,(11－x)！)，也就是eq\f(1,(9－x)！)＞，化簡(jiǎn)得x2－21x＋104＞0，解得x＜8或x＞13，又因?yàn)?≤x≤9，且x∈N*，所以原不等式的解集為{2,3,4,5,6,7}.題型二有限制條件的排列問(wèn)題【例2】3男3女共6個(gè)同學(xué)排成一行.(1)女生都排在一起，有多少種排法？(2)女生與男生相間，有多少種排法？(3)任何兩個(gè)男生都不相鄰，有多少種排法？(4)3名男生不排在一起，有多少種排法？(5)男生甲與男生乙中間必須排而且只能排2位女生，女生又不能排在隊(duì)伍的兩端，有幾種排法？【解析】(1)將3名女生看作一人，就是4個(gè)元素的全排列，有Aeq\o\al(4,4)種排法.又3名女生內(nèi)部可有Aeq\o\al(3,3)種排法，所以共有Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(3,3)＝144種排法.(2)男生自己排，女生也自己排，然后相間插入(此時(shí)有2種插法)，所以女生與男生相間共有2Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(3,3)＝72種排法.(3)女生先排，女生之間及首尾共有4個(gè)空隙，任取其中3個(gè)安插男生即可，因而任何兩個(gè)男生都不相鄰的排法共有Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(3,4)＝144種.(4)直接分類較復(fù)雜，可用間接法.即從6個(gè)人的排列總數(shù)中，減去3名男生排在一起的排法種數(shù)，得3名男生不排在一起的排法種數(shù)為Aeq\o\al(6,6)－Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(4,4)＝576種.(5)先將2個(gè)女生排在男生甲、乙之間，有Aeq\o\al(2,3)種排法.又甲、乙之間還有Aeq\o\al(2,2)種排法.這樣就有Aeq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(2,2)種排法.然后把他們4人看成一個(gè)元素(相當(dāng)于一個(gè)男生)，這一元素及另1名男生排在首尾，有Aeq\o\al(2,2)種排法.最后將余下的女生排在其間，有1種排法.故總排法為Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝24種.【點(diǎn)撥】排列問(wèn)題的本質(zhì)就是“元素”占“位子”問(wèn)題，有限制條件的排列問(wèn)題的限制主要表現(xiàn)在：某些元素“排”或“不排”在哪個(gè)位子上，某些元素“相鄰”或“不相鄰”.對(duì)于這類問(wèn)題，在分析時(shí)，主要按照“優(yōu)先”原則，即優(yōu)先安排特殊元素或優(yōu)先滿足特殊位子，對(duì)于“相鄰”問(wèn)題可用“捆綁法”，對(duì)于“不相鄰”問(wèn)題可用“插空法”.對(duì)于直接考慮較困難的問(wèn)題，可以采用間接法.【變式訓(xùn)練2】把1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，并把它們按由小到大的順序排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)列.(1)43251是這個(gè)數(shù)列的第幾項(xiàng)？(2)這個(gè)數(shù)列的第97項(xiàng)是多少？【解析】(1)不大于43251的五位數(shù)Aeq\o\al(5,5)－(Aeq\o\al(4,4)＋Aeq\o\al(3,3)＋Aeq\o\al(2,2))＝88個(gè)，即為此數(shù)列的第88項(xiàng).(2)此數(shù)列共有120項(xiàng)，而以5開(kāi)頭的五位數(shù)恰好有Aeq\o\al(4,4)＝24個(gè)，所以以5開(kāi)頭的五位數(shù)中最小的一個(gè)就是該數(shù)列的第97項(xiàng)，即51234.題型三有限制條件的組合問(wèn)題【例3】要從12人中選出5人去參加一項(xiàng)活動(dòng).(1)A，B，C三人必須入選有多少種不同選法？(2)A，B，C三人都不能入選有多少種不同選法？(3)A，B，C三人只有一人入選有多少種不同選法？(4)A，B，C三人至少一人入選有多少種不同選法？(5)A，B，C三人至多二人入選有多少種不同選法？【解析】(1)只須從A，B，C之外的9人中選擇2人，Ceq\o\al(2,9)＝36種不同選法.(2)由A，B，C三人都不能入選只須從余下9人中選擇5人，即有Ceq\o\al(5,9)＝Ceq\o\al(4,9)＝126種選法.(3)可分兩步，先從A，B，C三人中選出1人，有Ceq\o\al(1,3)種選法，再?gòu)挠嘞碌?人中選4人，有Ceq\o\al(4,9)種選法，所以共有Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(4,9)＝378種選法.(4)可考慮間接法，從12人中選5人共有Ceq\o\al(5,12)種，再減去A，B，C三人都不入選的情況Ceq\o\al(5,9)，共有Ceq\o\al(5,12)－Ceq\o\al(5,9)＝666種選法.(5)可考慮間接法，從12人中選5人共有Ceq\o\al(5,12)種，再減去A，B，C三人都入選的情況Ceq\o\al(2,9)種，所以共有Ceq\o\al(5,12)－Ceq\o\al(2,9)＝756種選法.【點(diǎn)撥】遇到至多、至少的有關(guān)計(jì)數(shù)問(wèn)題，可以用間接法求解.對(duì)于有限制條件的問(wèn)題，一般要根據(jù)特殊元素分類.【變式訓(xùn)練3】四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共有10個(gè)點(diǎn).(1)在其中取4個(gè)共面的點(diǎn)，共有多少種不同的取法？(2)在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，共有多少種不同的取法？【解析】(1)四個(gè)點(diǎn)共面的取法可分三類.第一類：在同一個(gè)面上取，共有4Ceq\o\al(4,6)種；第二類：在一條棱上取三點(diǎn)，再在它所對(duì)的棱上取中點(diǎn)，共有6種；第三類：在六條棱的