高等數(shù)學(xué)第二章導(dǎo)數(shù)與微分

第二章微積分學(xué)的創(chuàng)始人:德國(guó)數(shù)學(xué)家Leibniz導(dǎo)數(shù)描述函數(shù)變化快慢描述函數(shù)變化程度都是描述物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的工具(從微觀上研究函數(shù))導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)思想最早由法國(guó)數(shù)學(xué)家Ferma在研究極值問(wèn)題中提出.英國(guó)數(shù)學(xué)家Newton一、引例二、導(dǎo)數(shù)的定義三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系五、單側(cè)導(dǎo)數(shù)第一節(jié)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束導(dǎo)數(shù)的概念

第二章

1.求曲線上一點(diǎn)處切線的斜率在初等數(shù)學(xué)中我們已經(jīng)知道，曲線y=f(x)上的兩點(diǎn)M0(x0，y0)和M(x，y)的連線M0M是該曲線的一條割線。當(dāng)點(diǎn)M沿曲線無(wú)限趨近于點(diǎn)M0時(shí)，割線繞點(diǎn)M0轉(zhuǎn)動(dòng)，其極限位置M0T就是曲線在點(diǎn)M0處的切線，如圖2.2所示。圖2.2o

yxy=f(x)MM0Ty0＋△yy0x0x0＋△

x△y2.1導(dǎo)數(shù)的概念2.1.1導(dǎo)數(shù)的概念曲線上的點(diǎn)由M0(x0，y0)變到M0(x0＋△x，y0＋△y),當(dāng)△t很小時(shí)可用割線M0M的斜率近似代替切線M0T的斜率。割線的斜率即為增量比(3)求極限當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M沿曲線無(wú)限趨近于點(diǎn)M0，割線M0M的極限為切線M0T，因而割線斜率的極限就是切線的斜率，即我們分三步來(lái)解決。(1)求增量給x0一個(gè)增量△x，自變量由x0變到x0＋△x，曲線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)有相應(yīng)的增量△y=f(x0＋△x)－f(x0).(2)求增量比，即求割線M0M的斜率其中

是切線M0T與x軸正向的夾角。

用s表示質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程，以O(shè)為原點(diǎn)，沿質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方向建立數(shù)軸—s軸，如圖2.1，顯然路程s是時(shí)間t的函數(shù)，記作s=f(t),

t∈[0,T]，現(xiàn)求t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度v0=v(t0).分三步來(lái)解決這一問(wèn)題。(1)求增量給t0一個(gè)增量△t，時(shí)間t0從變到t1＝t0＋△t，質(zhì)點(diǎn)M從M0運(yùn)動(dòng)到M1，路程的增量為△s=f(t1)－f(t0)=f(t0＋△t)－f(t0)(2)求增量比，即求△t內(nèi)的平均速度當(dāng)△t很小時(shí)，可把質(zhì)點(diǎn)在△t間隔內(nèi)的運(yùn)動(dòng)近似看成勻速運(yùn)動(dòng)（以不變代變），則△t內(nèi)的平均速度圖2.1OMM0M1Ps△s2求變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度(3)求極限當(dāng)△t越來(lái)越小時(shí)，平均速度便越來(lái)越接近于t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度v0，于是當(dāng)時(shí)，平均速度的極限就是瞬時(shí)速度v0，即兩個(gè)問(wèn)題的共性:瞬時(shí)速度切線斜率所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限.類似問(wèn)題還有:加速度角速度線密度電流強(qiáng)度是速度增量與時(shí)間增量之比的極限是轉(zhuǎn)角增量與時(shí)間增量之比的極限是質(zhì)量增量與長(zhǎng)度增量之比的極限是電量增量與時(shí)間增量之比的極限變化率問(wèn)題機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、導(dǎo)數(shù)的定義定義1.設(shè)函數(shù)在點(diǎn)存在,并稱此極限為記作:即則稱函數(shù)若的某鄰域內(nèi)有定義,在點(diǎn)處可導(dǎo),在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束曲線在點(diǎn)的切線斜率為曲線在點(diǎn)處的切線方程:法線方程:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束在點(diǎn)的某個(gè)右鄰域內(nèi)左右導(dǎo)數(shù)若極限則稱此極限值為在處的右導(dǎo)數(shù),記作即(左)(左)定義2.設(shè)函數(shù)有定義,存在,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理.函數(shù)在點(diǎn)且存在簡(jiǎn)寫為可導(dǎo)的充分必要條件是運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位置函數(shù)在時(shí)刻的瞬時(shí)速度曲線在M點(diǎn)處的切線斜率機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束若上述極限不存在,在點(diǎn)不可導(dǎo).若函數(shù)在開(kāi)區(qū)間I內(nèi)每點(diǎn)都可導(dǎo),此時(shí)導(dǎo)數(shù)值構(gòu)成的新函數(shù)稱為導(dǎo)函數(shù).記作:注意:就說(shuō)函數(shù)就稱函數(shù)在I內(nèi)可導(dǎo).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.1.2、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系定理1.證:設(shè)在點(diǎn)x處可導(dǎo),存在,因此必有其中故所以函數(shù)在點(diǎn)x連續(xù).注意:函數(shù)在點(diǎn)x連續(xù)未必可導(dǎo).反例:在x=0處連續(xù),但不可導(dǎo).即而因左右極限不等，故極限不存在，即函數(shù)在點(diǎn)x＝0沒(méi)有導(dǎo)數(shù)。在x=0處連續(xù),但不可導(dǎo).例1.求函數(shù)(C為常數(shù))的導(dǎo)數(shù).解:即例2.求函數(shù)解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束說(shuō)明：對(duì)一般冪函數(shù)(為常數(shù))例如，（以后將證明）機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解:則即類似可證得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束設(shè)y=logax(a>0,a≠1)，則于是所以即特別當(dāng)a=e時(shí)，我們有例4.對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例4.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解:即或機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束原式是否可按下述方法作:例5.設(shè)存在,求極限解:原式內(nèi)容小結(jié)1.導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì):3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義:4.可導(dǎo)必連續(xù),但連續(xù)不一定可導(dǎo);5.已學(xué)求導(dǎo)公式:6.判斷可導(dǎo)性不連續(xù),一定不可導(dǎo).直接用導(dǎo)數(shù)定義;看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等.2.增量比的極限;切線的斜率;機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束思考與練習(xí)1.函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)區(qū)別:是函數(shù),是數(shù)值;聯(lián)系:注意:有什么區(qū)別與聯(lián)系?？與導(dǎo)函數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.設(shè)存在,則3.已知?jiǎng)t4.設(shè),問(wèn)a取何值時(shí),在都存在,并求出解:故時(shí)此時(shí)在都存在,顯然該函數(shù)在x=0連續(xù).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束牛頓(1642–1727)偉大的英國(guó)數(shù)學(xué)家,物理學(xué)家,天文學(xué)家和自然科學(xué)家.他在數(shù)學(xué)上的卓越貢獻(xiàn)是創(chuàng)立了微積分.1665年他提出正流數(shù)(微分)術(shù),次年又提出反流數(shù)(積分)術(shù),并于1671年完成《流數(shù)術(shù)與無(wú)窮級(jí)數(shù)》一書(1736年出版).他還著有《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》和《廣義算術(shù)》等.萊布尼茲(1646–716)德國(guó)數(shù)學(xué)家,哲學(xué)家.他和牛頓同為微積分的創(chuàng)始人,他在《學(xué)藝》雜志上發(fā)表的幾篇有關(guān)微積分學(xué)的論文中,有的早于牛頓,所用微積分符號(hào)也遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓.他還設(shè)計(jì)了作乘法的計(jì)算機(jī),系統(tǒng)地闡述二進(jìn)制計(jì)數(shù)法,并把它與中國(guó)的八卦聯(lián)系起來(lái).備用題

解:因?yàn)?.設(shè)存在,且求所以機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束在處連續(xù),且存在，證明:在處可導(dǎo).證：因?yàn)榇嬖?，則有又在處連續(xù),所以即在處可導(dǎo).2.設(shè)故機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.2二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則四、初等函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題一、四則運(yùn)算求導(dǎo)法則

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則第二章思路:(構(gòu)造性定義)求導(dǎo)法則其它基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式證明中利用了兩個(gè)重要極限初等函數(shù)求導(dǎo)問(wèn)題本節(jié)內(nèi)容機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.2.1四則運(yùn)算求導(dǎo)法則

定理1.的和、差、積、商(除分母為0的點(diǎn)外)都在點(diǎn)x可導(dǎo),且機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束此法則可推廣到任意有限項(xiàng)的情形.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例如,(2)推論:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(C為常數(shù))例1.解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(3)推論:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(C為常數(shù))2.2.1四則運(yùn)算求導(dǎo)法則

定理1.的和、差、積、商(除分母為0的點(diǎn)外)都在點(diǎn)x可導(dǎo),且下面分三部分加以證明,并同時(shí)給出相應(yīng)的推論和例題.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束此法則可推廣到任意有限項(xiàng)的情形.證:設(shè),則故結(jié)論成立.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例如,(2)證:設(shè)則有故結(jié)論成立.推論:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(C為常數(shù))例1.解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(3)證:設(shè)則有故結(jié)論成立.推論:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(C為常數(shù))例2.求證證:類似可證:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束反函數(shù)的求導(dǎo)法則

定理2.y的某鄰域內(nèi)單調(diào)可導(dǎo),證:在x處給增量由反函數(shù)的單調(diào)性知且由反函數(shù)的連續(xù)性知因此機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3.求反三角函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解:1)設(shè)則類似可求得利用,則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2)設(shè)則特別當(dāng)時(shí),小結(jié):機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束在點(diǎn)x可導(dǎo),2.2.2復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則（鏈?zhǔn)椒▌t）定理3.在點(diǎn)可導(dǎo)復(fù)合函數(shù)且在點(diǎn)x可導(dǎo),證:在點(diǎn)u可導(dǎo),故（當(dāng)時(shí))故有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例如,關(guān)鍵:搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu),由外向內(nèi)逐層求導(dǎo).推廣：此法則可推廣到多個(gè)中間變量的情形.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例4.設(shè)求解:思考:若存在,如何求的導(dǎo)數(shù)?這兩個(gè)記號(hào)含義不同練習(xí):設(shè)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例5.設(shè)解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.2.3隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若由方程可確定y是x

的函數(shù),由表示的函數(shù),稱為顯函數(shù).例如,可確定顯函數(shù)可確定y是x

的函數(shù),但此隱函數(shù)不能顯化.函數(shù)為隱函數(shù).則稱此隱函數(shù)求導(dǎo)方法:

兩邊對(duì)x求導(dǎo)(含導(dǎo)數(shù)的方程)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例6.求由方程在x=0處的導(dǎo)數(shù)解:方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)得因x=0時(shí)y=0,故確定的隱函數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例7.求橢圓在點(diǎn)處的切線方程.解:橢圓方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)故切線方程為即機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1)對(duì)冪指函數(shù)可用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo):2.2.4取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法按指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)公式按冪函數(shù)求導(dǎo)公式注意:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例8.求下列導(dǎo)數(shù):解:(1)(2)例9.求的導(dǎo)數(shù).解:兩邊取對(duì)數(shù),化為隱式兩邊對(duì)x求導(dǎo)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2)有些顯函數(shù)用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)很方便.例如,兩邊取對(duì)數(shù)兩邊對(duì)x求導(dǎo)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束又如,對(duì)x求導(dǎo)兩邊取對(duì)數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若參數(shù)方程可確定一個(gè)y與x之間的函數(shù)可導(dǎo),且則時(shí),有時(shí),有(此時(shí)看成x是y的函數(shù))關(guān)系,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束若上述參數(shù)方程中二階可導(dǎo),且則由它確定的函數(shù)可求二階導(dǎo)數(shù).利用新的參數(shù)方程,可得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束?例4.設(shè),且求已知解:解:注意:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.2.5基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.有限次四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則(C為常數(shù))3.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則4.初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),由定義證,說(shuō)明:最基本的公式其它公式用求導(dǎo)法則推出.且導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例10.求解:例11.設(shè)解:求機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例12.求解:關(guān)鍵:搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu)由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例13.設(shè)求解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)求導(dǎo)公式及求導(dǎo)法則注意:1)2)搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu),由外向內(nèi)逐層求導(dǎo).1.思考與練習(xí)對(duì)嗎?機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.設(shè)其中在因故正確解法:時(shí),下列做法是否正確?在求處連續(xù),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解:(1)(2)或機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3.設(shè)求解:方法1利用導(dǎo)數(shù)定義.方法2利用求導(dǎo)公式.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束備用題1.設(shè)解：2.設(shè)解:其中可導(dǎo),求求機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.2.6高階導(dǎo)數(shù)速度即加速度即引例：變速直線運(yùn)動(dòng)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定義.若函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可導(dǎo),或即或類似地,二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為n階導(dǎo)數(shù),或的二階導(dǎo)數(shù),記作的導(dǎo)數(shù)為依次類推,分別記作則稱機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束設(shè)求解:依次類推,例1.思考:設(shè)問(wèn)可得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.設(shè)求解:特別有:解:規(guī)定0!=1思考:例3.設(shè)求機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例4.設(shè)求解:一般地,類似可證:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例5.設(shè)解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2設(shè)由方程確定,解:方程兩邊對(duì)x求導(dǎo),得再求導(dǎo),得②當(dāng)時(shí),故由①得再代入②得求機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束①求其反函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解:方法1方法2等式兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)備用題1.設(shè)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,求解：

2.

設(shè)方程組兩邊同時(shí)對(duì)t求導(dǎo),得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、微分運(yùn)算法則三、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用四、微分在估計(jì)誤差中的應(yīng)用2.4一、微分的概念機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束函數(shù)的微分第二章2.4.1微分的概念引例:一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,問(wèn)此薄片面積改變了多少?設(shè)薄片邊長(zhǎng)為x,面積為A,則面積的增量為關(guān)于△x

的線性主部高階無(wú)窮小時(shí)為故稱為函數(shù)在的微分當(dāng)x在取得增量時(shí),變到邊長(zhǎng)由其機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束的微分,定義:若函數(shù)在點(diǎn)的增量可表示為(A為不依賴于△x的常數(shù))則稱函數(shù)而稱為記作即定理:函數(shù)在點(diǎn)可微的充要條件是即在點(diǎn)可微,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理:函數(shù)證:“必要性”已知在點(diǎn)可微,則故在點(diǎn)的可導(dǎo),且在點(diǎn)可微的充要條件是在點(diǎn)處可導(dǎo),且即機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理:函數(shù)在點(diǎn)可微的充要條件是在點(diǎn)處可導(dǎo),且即“充分性”已知即在點(diǎn)的可導(dǎo),則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束說(shuō)明:時(shí),所以時(shí)很小時(shí),有近似公式與是等價(jià)無(wú)窮小,當(dāng)故當(dāng)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.4.2微分的幾何意義當(dāng)很小時(shí),則有從而導(dǎo)數(shù)也叫作微商切線縱坐標(biāo)的增量自變量的微分,記作記機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例如,基本初等函數(shù)的微分公式又如,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.4.3微分運(yùn)算法則設(shè)u(x),v(x)均可微,則(C為常數(shù))分別可微,的微分為微分形式不變5.復(fù)合函數(shù)的微分則復(fù)合函數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.求解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.設(shè)求解:利用一階微分形式不變性,有例3.在下列括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)使等式成立:說(shuō)明:上述微分的反問(wèn)題是不定積分要研究的內(nèi)容.注意目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束注意:數(shù)學(xué)中的反問(wèn)題往往出現(xiàn)多值性.數(shù)學(xué)中的反問(wèn)題往往出現(xiàn)多值性,例如注意目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.4.4微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用當(dāng)很小時(shí),使用原則:得近似等式:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束特別當(dāng)很小時(shí),常用近似公式:很小)證明:令得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束的近似值.解:設(shè)取則例4.求機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束的近似值.解:例5.計(jì)算機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例5.有一批半徑為1cm的球,為了提高球面的光潔度,解:已知球體體積為鍍銅體積為V在時(shí)體積的增量因此每只球需用銅約為(g)用銅多少克.估計(jì)一下,每只球需要鍍上一層銅,厚度定為0.01cm,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.4.5微分在估計(jì)誤差中的應(yīng)用某量的精確值為A,其近似值為a,稱為a的絕對(duì)誤差稱為a的相對(duì)誤差若稱為測(cè)量A的絕對(duì)誤差限稱為測(cè)量A的相對(duì)誤差限機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束誤差傳遞公式:已知測(cè)量誤差限為按公式計(jì)算y值時(shí)的誤差故y的絕對(duì)誤差限約為相對(duì)誤差限約為若直接測(cè)量某量得x,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例6.設(shè)測(cè)得圓鋼截面的直徑測(cè)量D的

絕對(duì)誤差限欲利用公式圓鋼截面積,解:計(jì)算A的絕對(duì)誤差限約為

A的相對(duì)誤差限約為試估計(jì)面積的誤差.計(jì)算機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(mm)內(nèi)容小結(jié)1.微分概念

微分的定義及幾何意義

可導(dǎo)可微2.微分運(yùn)算法則微分形式不變性:(u是自變量或中間變量)3.微分的應(yīng)用近似計(jì)算估計(jì)誤差機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束思考與練習(xí)1.設(shè)函數(shù)的圖形如下,試在圖中標(biāo)出的點(diǎn)處的及并說(shuō)明其正負(fù).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束5.設(shè)由方程確定,解:方程兩邊求微分,得當(dāng)時(shí)由上式得求6.設(shè)且則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1.已知求解：因?yàn)樗詡溆妙}機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束方程兩邊求微分,得已知求解：2.習(xí)題課目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束習(xí)題課一、導(dǎo)數(shù)和微分的概念及應(yīng)用機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、導(dǎo)數(shù)和微分的求法導(dǎo)數(shù)與微分第二章一、導(dǎo)數(shù)和微分的概念及應(yīng)用導(dǎo)數(shù):當(dāng)時(shí),為右導(dǎo)數(shù)當(dāng)時(shí),為左導(dǎo)數(shù)微分:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束