【全程復(fù)習(xí)方略】（陜西專(zhuān)用）2013版高中數(shù)學(xué) 3.5同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與兩角和與差的三角函數(shù)配套課件 北師大版

第五節(jié)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與兩角和與差的三角函數(shù)

三年6考

高考指數(shù):★★1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2x+cos2x=1,2.會(huì)用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式.3.會(huì)用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式.4.會(huì)用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系.1.同角三角函數(shù)間的關(guān)系式可能在與解析幾何、數(shù)列、解三角形等知識(shí)的交匯處命題.2.利用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式進(jìn)行三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)求值是高考?？嫉膬?nèi)容.尤其是對(duì)asinx+bcosx的化簡(jiǎn)是每年高考必考內(nèi)容.3.在選擇題、填空題、解答題中都可以考查,題目屬中低檔題.1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系:________________；(2)商數(shù)關(guān)系:__________(α≠kπ+,k∈Z).sin2α+cos2α=1【即時(shí)應(yīng)用】(1)設(shè)sin(π-α)=且α∈則tanα=______.(2)已知sinx=2cosx,則sin2x+1=______.【解析】(1)∵sin(π-α)=sinα=且α∈()，(2)∵sin2x+cos2x=1，答案：2.兩角和與差的正弦、余弦和正切公式公式名公式兩角和與差的正弦兩角和與差的余弦兩角和與差的正切【即時(shí)應(yīng)用】(1)判斷下列式子的正誤.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)內(nèi)打“√”或“×”)①cos15°=cos(45°-30°)=cos45°-cos30°()②sin15°=sin(45°-30°)=cos45°sin30°-sin45°cos30°()③cos15°=cos(60°-45°)=cos60°cos45°+sin60°sin45°()④cos15°=cos(60°-45°)=cos60°cos45°-sin60°sin45°()(2)計(jì)算sin72°cos18°+cos72°sin18°=______.(3)計(jì)算cos72°cos12°+sin72°sin12°=______.【解析】(1)cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°·sin30°,故①錯(cuò)誤；sin15°=sin(45°-30°)=sin45°·cos30°-cos45°sin30°，故②錯(cuò)誤;③正確，cos15°=cos(60°-45°)=cos60°cos45°+sin60°sin45°,故④錯(cuò)誤.(2)原式=sin(72°+18°)=sin90°=1.(3)原式=cos(72°-12°)=cos60°=.答案：(1)①×②×③√④×

(2)1

(3)同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用【方法點(diǎn)睛】同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用及注意問(wèn)題(1)利用sin2α+cos2α=1可以實(shí)現(xiàn)角α的正弦、余弦的互化，利用可以實(shí)現(xiàn)角α的弦切互化.(2)應(yīng)用sin2α+cos2α=1求sinα或cosα?xí)r，特別注意角α的三角函數(shù)值的符號(hào).符號(hào)規(guī)律：“一全正，二正弦，三正切，四余弦.”【例1】已知α是三角形的內(nèi)角,且(1)求tanα的值;(2)把用tanα表示出來(lái),并求其值.【解題指南】(1)由同角三角函數(shù)平方關(guān)系公式及已知，列方程組求出sinα，cosα的值,然后求出tanα即可.(2)利用“1”的逆用，把原式化為關(guān)于sinα，cosα的齊次式，轉(zhuǎn)化為關(guān)于tanα的代數(shù)式，代入求值.【規(guī)范解答】(1)方法一：聯(lián)立方程由①得cosα=

-sinα，將其代入②，整理得25sin2α-5sinα-12=0.∵α是三角形的內(nèi)角，∴sinα＞0,方法二:∵sinα+cosα=

,∴(sinα+cosα)2=(

)2，即1+2sinαcosα=

,∴2sinαcosα=

∴(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=∵sinαcosα=

<0且0<α<π,∴sinα>0,cosα<0,∴sinα-cosα>0,∴sinα-cosα=

【反思·感悟】1.應(yīng)用同角公式時(shí)注意方程思想的應(yīng)用：對(duì)于sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα這三個(gè)式子，利用(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα,可以知一求二.2.注意公式逆用及變形應(yīng)用：1=sin2α+cos2α，sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α.【變式訓(xùn)練】(1)已知且α為第二象限角，求tanα;(2)已知求tanα;(3)已知sinα=m(m≠0,m≠±1),求tanα.【解析】(1)

α為第二象限角，(2)∴α為第一或第二象限角.當(dāng)α為第一象限角時(shí)，當(dāng)α為第二象限角時(shí)，由(1)知，(3)∵sinα=m(m≠0,m≠±1),(當(dāng)α為一、四象限角時(shí)取正號(hào)，當(dāng)α為二、三象限角時(shí)取負(fù)號(hào)).∴當(dāng)α為一、四象限角時(shí)當(dāng)α為二、三象限角時(shí)三角函數(shù)的求值【方法點(diǎn)睛】三角函數(shù)的求值的兩種主要類(lèi)型(1)給角求值的解題思路是正確地選用公式，把非特殊角的三角函數(shù)相消，從而化為特殊角的三角函數(shù).(2)給值求值的解題思路是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)的差異.一般可以適當(dāng)變換已知式，求得另外函數(shù)式的值，以備應(yīng)用，同時(shí)也要注意變換待求式，便于將已知式求得函數(shù)值代入，從而達(dá)到解題的目的.

【例2】已知求sin(α+β)的值.【解題指南】先求再將sin(α+β)變換為求解.【規(guī)范解答】又又∴sin(α+β)=-sin［π+(α+β)］【反思·感悟】解答有限制條件的求值問(wèn)題時(shí)，要善于發(fā)現(xiàn)所求的三角函數(shù)的角與已知條件的角的聯(lián)系，一般方法是拼角與拆角，即用已知角來(lái)表示未知角，或把未知角向已知角方向轉(zhuǎn)化.【變式訓(xùn)練】已知0<β<<α<π，且求cos(α+β)的值.【解析】∵0<β<<α<π,【變式備選】已知sin(α+β)=,sin(α-β)=,求的值.【解析】方法一：由題設(shè)：方法二：令

即三角函數(shù)的給值求角【方法點(diǎn)睛】1.三角函數(shù)的給值求角問(wèn)題的一般思路(1)求出該角的某一三角函數(shù)值;(2)確定角的范圍；(3)根據(jù)角的范圍寫(xiě)出角.2.三角函數(shù)給值求角時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題求角的某一三角函數(shù)值時(shí),盡量選擇在該角所在范圍內(nèi)是單調(diào)的函數(shù)，這樣,由三角函數(shù)值才可以唯一確定角.一般規(guī)律如下:(1)若角的范圍是選正、余弦皆可;(2)若角的范圍是(0,π),選余弦較好;(3)若角的范圍為選正弦較好.【例3】(2012·蕪湖模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)x軸為始邊作兩個(gè)銳角α,β,它們的終邊分別與單位圓相交于A、B兩點(diǎn)，已知A、B的縱坐標(biāo)分別為(1)求α+β;(2)求tan(α-β)的值.【解題指南】先由坐標(biāo)系求出sinα,sinβ,cosα,cosβ的值.(1)利用角α+β的某個(gè)三角函數(shù)值求出α+β,注意α+β的范圍.(2)求出tanα,tanβ,再由tan(α-β)的公式求解.【規(guī)范解答】由條件得∵α、β為銳角，(1)cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ又α,β為銳角，所以α+β∈(0,π)，故(2)由條件可知【反思·感悟】此類(lèi)題是給值求角題,步驟如下:①求所求角的某一個(gè)三角函數(shù)值,②確定所求角的范圍,此類(lèi)題常犯的錯(cuò)誤是對(duì)角的范圍把握不準(zhǔn),使角的范圍過(guò)大或過(guò)小,會(huì)使求出的角不合題意或者漏解,同時(shí)要根據(jù)角的范圍確定取該角的哪一種三角函數(shù)值.【變式訓(xùn)練】已知(1)求sinα的值；(2)求β的值.【解析】(2)∵0<α<,又0<α<<β<π,∴0<β-α<π.由cos(β-α)=得sin(β-α)=∴sinβ=sin［(β-α)+α］=sin(β-α)cosα+cos(β-α)·sinα由<β<π得【變式備選】已知α、β、γ均為銳角.求α+β+γ的值.【解析】

且α為銳角，同理三角函數(shù)的綜合應(yīng)用【方法點(diǎn)睛】三角函數(shù)公式和三角函數(shù)性質(zhì)的關(guān)系(1)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查往往滲透在研究三角函數(shù)性質(zhì)中.需要利用這些公式,先把函數(shù)解析式化為y=Asin(ωx+φ)的形式,再進(jìn)一步探討定義域、值域和最值、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱(chēng)性等性質(zhì).(2)注意特殊角三角函數(shù)值、誘導(dǎo)公式等基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用，主要考查基本運(yùn)算能力．【例4】已知函數(shù)f(x)=2sin(π-x)cosx.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在區(qū)間［］上的最大值和最小值.【解題指南】先利用誘導(dǎo)公式和倍角公式進(jìn)行恒等變換，再求三角函數(shù)的性質(zhì).【規(guī)范解答】(1)∵f(x)=2sin(π-x)cosx=2sinxcosx=sin2x,∴函數(shù)f(x)的最小正周期為π.(2)由∴f(x)在區(qū)間［］上的最大值為1，最小值為【反思·感悟】利用三角函數(shù)公式進(jìn)行三角恒等變形，要求熟練掌握公式和變換技巧，強(qiáng)化運(yùn)算能力.以基本三角函數(shù)的性質(zhì)為基礎(chǔ)求y=Asin(ωx+φ)的性質(zhì)，有時(shí)給出角的范圍時(shí)要注意ωx+φ的范圍的變化.【變式訓(xùn)練】設(shè)函數(shù)(其中ω＞0,a∈R),且f(x)的圖像在y軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)為(1)求ω的值；(2)如果f(x)在區(qū)間［］上的最小值為求a的值.【解析】依題意得(2)由(1)知，又當(dāng)x∈［］時(shí)，故從而f(x)在區(qū)間［］上的最小值為故【變式備選】已知函數(shù)(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和圖像的對(duì)稱(chēng)軸方程;(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間［］上的值域.【解析】∴周期由得∴函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)軸方程為在區(qū)間［］上單調(diào)遞增，在區(qū)間［］上單調(diào)遞減，∴當(dāng)時(shí)，f(x)取最大值1.又∴當(dāng)時(shí)，f(x)取最小值∴函數(shù)f(x)在區(qū)間［］上的值域?yàn)椋郏?

【滿分指導(dǎo)】三角函數(shù)主觀題的規(guī)范解答【典例】(12分)(2011·廣東高考)已知函數(shù)x∈R.(1)求的值;(2)設(shè)求cos(α+β)的值.【解題指南】(1)把代入解析式直接求解；(2)由題目條件可求出sinα及cosβ的值，然后利用同角三角函數(shù)關(guān)系，求出cosα及sinβ的值，再利用兩角和的余弦公式求解.【規(guī)范解答】…………………3分(2)由得即…………………6分由得從而……………8分…………………10分∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ…………………12分【閱卷人點(diǎn)撥】通過(guò)高考中的閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié)，我們可以得到以下失分警示和備考建議：失分警示在解答本題時(shí)有兩點(diǎn)容易造成失分：(1)忽略角α,β的范圍，求解cosα,sinβ的值時(shí)出錯(cuò)；