北京市首師附2022年高三數學第一學期期末聯(lián)考試題含解析

2022-2023學年高三上數學期末模擬試卷注意事項：2B2．作答2B一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1．已知函數f(x)lnx，若F(x)f(x)3kx2有2個零點，則實數k的取值范圍為（ ）

1 ,0

1,0

C．0,1

D．0,1 6e2

6e

6e

6e2（）A．16 216B．16 2C．8 216D．8 2某調查機構對全國互聯(lián)網行業(yè)進行調查統(tǒng)計，得到整個互聯(lián)網行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖后從事互聯(lián)網行崗位分布條形圖，則下列結論中不正確的是（ ）注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之間出生，80前指1979年及以前出生.A．互聯(lián)網行業(yè)從業(yè)人員中90后占一半以上B．互聯(lián)網行業(yè)中從事技術崗位的人數超過總人數的C．9080前多D9080后多三棱錐SABC的各個頂點都在求O的表面上，且是等邊三角形，SA底面ABC，SA4，AB6，若點D在線段上，且AD2SD，則過點D的平面截球O所得截面的最小面積為（ ）A．3

B．C．D．13zz1i，則z1i

的虛部是（ ）A．i B．C．1 D．1某四棱錐的三視圖如圖所示，該幾何體的體積是（ ）A．8

x

8B．337 1

4C．4 D．3二項式2 x展開式中

x項的系數為（ ）A．94516

B．18932

C．2164

2835D．88．設全集UR，集合Axx，Bxx23x，則

AB（ ）UA． B．2,3 C． D．《普通高中數學課程標準（2017版養(yǎng)水平，現(xiàn)以六大素養(yǎng)為指標對二人進行了測驗，根據測驗結果繪制了雷達圖（如圖，每項指標值滿分為5分，分值高者為優(yōu)，則下面敘述正確的是（ ）甲的數據分析素養(yǎng)高于乙BC．乙的六大素養(yǎng)中邏輯推理最差D．乙的六大素養(yǎng)整體平均水平優(yōu)于甲f(x)m(x1)(x2)exe（e為自然對數底數xfx0有且只有一個正整數解，則實數m的最大值為（ ）e3eA．2

e2eB．2

e3eC．2

e2eD．2下列函數中既關于直線x1對稱，又在區(qū)間[1,0]上為增函數的是( )ysin.C．ycosx

B．yx1|D．yexex12．已知集合M{x|y lgx}，N{xN|4x20}，則MN為( A．[1,2] B．{0,1,2} C．D．(1,2)4520x2 y2

b b21若雙曲線C： a2 b2

1（a0，b0）的頂點到漸近線的距離為，則 的最小值 .2 已知下列命題：①命題“

∈R，x2

13x

”的否定是“?x∈R，x2＋1＜3x”；0 0 0②已知p，q為兩個命題，若“p∨q”為假命題，則“pq”為真命題；③“a＞2”是“a＞5”的充分不必要條件；④“若xy＝0，則x＝0且y＝0”的逆否命題為真命題．其中所有真命題的序號．在平面直角坐標系xOyC:xm2y2r2m0.已知過原點O且相互垂直的兩條直線l和l1 2

，其中l(wèi)1與圓CABl2

與圓CD.ABOD，則直線l1

的斜率.logx22flogx22

的定義域是 ．7017（12分）已知函數f(x)ln(ax)a,(a0)．若函數h(x)exf(x在(0,上單調遞增，求實數a的值；定義：若直線lykxb與曲線C1

:f(x,y)0、C1

:f(xy0都相切，我們稱直線l為曲線C、C的公2 1 2f(x)ln(axaa0)g(x)aexa0)總存在公切線．18（12分）已知,b(0,)，a(1b)b(a1)，f(x)|2x1||x2|.（1）求a2b2的最小值； （2）若對任意a,b(0,f(x4a2b2

，求實數x的取值范圍.19（12分）設函數f(x)me

x2

3mR．（Ⅰ）當f(x)為偶函數時，求函數h(x)xf(x)的極值；（Ⅱ）f(x)在區(qū)間[2,4]上有兩個零點，求m的取值范圍．20（12分）ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知ABC的面積為

a2 .4sinA求sinBsinC；若10cosBcosC1a

2，求ABC的周長.221（12分）某貧困地區(qū)幾個丘陵的外圍有兩條相互垂直的直線型公路l,l1 2

，以及鐵路線上的一條應開鑿的直線穿ft隧道MN，為進一步改善ft區(qū)的交通現(xiàn)狀，計劃修建一條連接兩條公路l,l1 2

和ft區(qū)邊界的直線型公路l，以l,l所在1 2xyxOyft區(qū)邊界曲線為Cy100(x0)l與x曲線C相切于點P，P的橫坐標為t.當t為何值時，公路l的長度最短求出最短長度；當公路l的長度最短時，設公路l交x軸，y軸分別為A，B兩點，并測得四邊形ABMN 中，BAN，3MBA

2，AN10 2千米，BM15 3千米，求應開鑿的隧道MN的長度.3 3

x12t22（10分）已知曲線C的極坐標方程為

4cos

，直線l的參數方程為 （t為參數）.y1t求曲線C的直角坐標方程與直線l的普通方程；

2M，直線l與曲線CAB‖MA||參考答案125601、C【解析】F(xf(x3kx2

0，可得k

lnxF(x0ykg(xln

有兩個交點，結合已知，即可求得答案.

3x2

3x2【詳解】F(xf(x3kx2

0，可得klnx，3x2F(x0ykg(xg(x)12lnx，3x3令12lnx0，

lnx有兩個交點，3x2e可得x ，ee當x(0, e)時，g(x)0，函數g(x)在(0, e)上單調遞增；當x( e,)時，g(x)0，函數g(x)在( e,)上單調遞減ex

時，g(x)

，1max 6e1ykg(x

lnx

有兩個交點，則k0,1.3x2

6ek的取值范圍是

16e.C.【點睛】本題主要考查了根據零點求參數范圍，解題關鍵是掌握根據零點個數求參數的解法和根據導數求單調性的步驟，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.2、D【解析】由三視圖可知該幾何體的直觀圖是軸截面在水平面上的半個圓錐，表面積為1 1 1224422

22 268

8,故選D．2 2 23、D【解析】根據兩個圖形的數據進行觀察比較，即可判斷各選項的真假．【詳解】A9056%B中，由整個互聯(lián)網行業(yè)從業(yè)者年齡分別餅狀圖，90后從事互聯(lián)網行業(yè)崗位分布條形圖得到：56%39.6%22.176%20%，互聯(lián)網行業(yè)從業(yè)技術崗位的人數超過總人數的20%，所以是正確的；在C中，由整個互聯(lián)網行業(yè)從業(yè)者年齡分別餅狀圖，90后從事互聯(lián)網行業(yè)崗位分別條形圖得到：13.7%39.6%9.52%3%9080后多，所以是正確的；D90后所占比例為56%39.6%22.176%41%9080后多．D.【點睛】本題主要考查了命題的真假判定，以及統(tǒng)計圖表中餅狀圖和條形圖的性質等基礎知識的應用，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.4、A【解析】S-ABCDDO.【詳解】2如圖，設三角形ABC外接圓的圓心為G，則外接圓半徑AG=33323,S-ABCOR=取SA中點E，由SA=4，AD=3SD，得DE=1,

2 3

224OD=

2 3

13.DO所得截面圓的最小半徑為42

132 3所以過點D的平面截球O所得截面的最小面積為323故選：A【點睛】本題考查三棱錐的外接球問題，還考查了求截面的最小面積，屬于較難題.5、C【解析】化簡復數，分子分母同時乘以1izz，由此得到虛部.【詳解】z1ii，zi，所以z的虛部為1.1i故選：C【點睛】本小題主要考查復數的乘法、除法運算，考查共軛復數的虛部，屬于基礎題.6、D【解析】根據三視圖知，該幾何體是一條垂直于底面的側棱為2的體積．【詳解】根據三視圖知，該幾何體是側棱PA底面ABCD 的四棱錐，如圖所示：2122 4∴四棱錐的體積為V 2 2 3故選：D.【點睛】7、D【解析】寫出二項式的通項公式,再分析x的系數求解即可.【詳解】x 37

x7r 3r

17r 1二項式

x展開式的通項為T

Cr

Cr

(3)rx72r,令72r1,得r4,故

x項的系2

r1

72

x

72C174C數為4

(3)4

2835.72 8故選：D【點睛】本題主要考查了二項式定理的運算,屬于基礎題.8、B【解析】可解出集合B，然后進行補集、交集的運算即可．【詳解】， Bx23x Ax，

A2,U

AB2,3.B.【點睛】9、D【解析】根據雷達圖對選項逐一分析，由此確定敘述正確的選項.【詳解】對于A選項，甲的數據分析3分，乙的數據分析5分，甲低于乙，故A選項錯誤.對于B選項，甲的建模素養(yǎng)3分，乙的建模素養(yǎng)4分，甲低于乙，故B選項錯誤.對于C選項，乙的六大素養(yǎng)中，邏輯推理5分，不是最差，故C選項錯誤.D選項，甲的總得分45334322分，乙的總得分54545427分，所以乙的六大素養(yǎng)整體平均水平優(yōu)于甲，故D選項正確故選：D【點睛】本小題主要考查圖表分析和數據處理，屬于基礎題.10、A【解析】fx0ym(x1)ygxgxygxym(x1).【詳解】f(x)m(x1)(x2)ex

e0，∴m(x1)(x2)exe，yg(x)(x2)exe，∴g(x)(x1)ex，x1gx0gxx1gx0gx單調遞減，∴g(x)g(1)0，當x時，fx，當x，fxe，函數ym(x1)恒過點1,0，分別畫出ygx與ym(x1)的圖象，如圖所示，，若不等式fx0有且只有一個正整數解，則ym(x1)的圖象在ygx圖象的上方只有一個正整數值，m(31)(32)e3e且m(21)(22)exe2mg(3)e3emee3e∴em ，2e3e故實數m的最大值為 ，2故選：A【點睛】運算能力.11、C【解析】根據函數的對稱性和單調性的特點，利用排除法，即可得出答案.【詳解】Ax1ysinx01ysinx1A錯誤；x1,xx1,x1B中，yx1 ，所以在區(qū)間[x1,x1Dyfxexexf02,f2e2e2f0f2yexexx1對D故選：C.【點睛】本題考查函數基本性質，根據函數的解析式判斷函數的對稱性和單調性，屬于基礎題.12、C【解析】分別求解出M,N集合的具體范圍，由集合的交集運算即可求得答案.【詳解】M|xNN2x所以M故選：C

N1,2【點睛】本題考查對數函數的定義域求法、一元二次不等式的解法及集合的交集運算，考查基本運算能力.4520132【解析】根據雙曲線的方程求出其中一條漸近線ybx，頂點a,0，再利用點到直線的距離公式可得c2a，由a3a3ab213a3a

c2a21

13a，利用基本不等式即可求解3a【詳解】C

x2y2a2 b2

1（a0，b0，可得一條漸近線ybx，一個頂點a,0，aaba2aba2b2c

b，解得c2a，ab2abb213a3a

c2a21

3a21 1

2，3a3a3a3a3a3ab21

時，取等號，3333a所以 的最小值為23a故答案為：2【點睛】14、②【解析】2 55命題“x∈R，x2＋1＞3x”的否定是“x∈R，x2＋1≤3x”，故①錯誤；“p∨q”pq假，則p)∧q)，但“a＞2”是“a＞5”若xy＝0，x＝0y＝0”2 5515、【解析】設l：kx y 0，l1

：xky0，利用點到直線的距離，列出式子 m r k21r2r2m2k2k212 【詳解】

m2r2m2r2解：由圓C:xm2y2r2m0，可知圓心C,0，半徑為r.設直線l1

：kx

：xky0，y0y0，則lm2k2k21圓心C到直線l1

的距離為 ，ODAB

， ABODm2m2r2m2r2圓心C到直線l2

mkk21

r， m r k21r2m2kr2m2k2k21m2m2r22 552 2 55解得k .2 55故答案為： 2 55【點睛】本題主要考查點到直線的距離公式的運用，并結合圓的方程，垂徑定理的基本知識，屬于中檔題.16、[4,)【解析】解：因為log x20x4，故定義域為[4,)27017（）a1）見解析.【解析】求出導數，問題轉化為h(x) 0在(0,)上恒成立，利用導數求出(x)ln(ax)

1a的最小值即可求解；xx

，利用導數的幾何意義寫出切線方程，問題轉化為證明兩直線重合，只需滿足2aex 12 x 1

1 2有解即可，利用函數的導數及零點存在性定理即可證明存在.22ln(ax)a1aexaxex221 2【詳解】（1）h(x)ex[ln(ax)a],x0，1h(x)ex[ln(ax)

a]x函數h(x)在(0,)上單調遞增等價于h(x) 0在(0,)上恒成立．1 1 1 x1令(x)ln(ax)

a，得(x) ，x x x2 x2所以(x)在(0,1)單調遞減，在)單調遞增，則(x) (1)．min因為ex0，則h(x) 0在(0,)上恒成立等價于(x) 0在(0,)上恒成立；1又( )0,1a(1)(1)0，a11，即a1．a（2）設f(x)ln(ax)a,(a0)的切點橫坐標為xx1

，則f(x1

)1x1yln(axa1(x

)……①1 x 11g(x)aexa0)xx2

g(x2

)aex，22切線方程為yaex22

aex2(xx)…②2

aex 122若存在x,x1 2

，使①②成為同一條直線，則曲線

f(x) f(x) g(x)122ln(ax)a1aexaxex22xx1

a1aex

ax2

1 2ex221 ex(x222

1)1

2ex1即 2 ex 22 2a x12

x12令t(x)ex

2ex1 ，則t(x) x1

x2exex1(x所以，函數yt(x)在區(qū)間(0,)上單調遞增，t(1)t(2)0 x(1,2)，使得t(x00 0x(x時總有t(x)t(x00 0又xt(x)1

ex(x1)1在(0,上總有解a x1f(x)ln(axaa0)g(x)aexa0)總存在公切線．【點睛】本題主要考查了利用導數研究函數的恒成立問題，導數的幾何意義，利用導數證明方程有解，屬于難題.18（）（）7,3.3 【解析】1

a(1b)b(a1)

111

a2b2a2b2

112（）化簡

得2a

，所以

2a

，展開后利用基本不等式求最小值 即可；（）由（，原不等式可轉化為|2x1||x28，討論去絕對值即可求得x的取值范圍.【詳解】（1）∵a,b(0,)，a(1b)b(a1)，∴ab2ab，∴111.2a 1 12 1 b2 a2

b a∴a2b2

a2b2 2 2 2a 4 a2 b2 a bb2a2a2 b2b2a2a2 b2

22

)2.ba b2 a2 b a ba 當且僅當 a2

且 即ab1時，a2b2 a b

min

2.（2）由（1）知，a2

min

2，對任意a,b(0,)，都有f(x)4a2b2 ，f(x8，即|2x1||x28.①當2x102x1x28，7

x1；3 2②當2x10x2x1x28，1x2；2x202x1x28，2x3；綜上，7x3，3∴實數x的取值范圍是7,3.3 【點睛】本題主要考查基本不等式的運用和求解含絕對值的不等式，考查學生的分類思想和計算能力，屬于中檔題.19（Ⅰ）極小值h(1)2，極大值h(1)2（Ⅱ）2em13或m6e4 【解析】（Ⅰm0.（Ⅱ）先分離變量，轉化研究函數gx

x23xgx單調性與圖象，最后根據圖象確定滿足exm的取值范圍．【詳解】（Ⅰ）由函數fx是偶函數，得fxfx，即exx23exx23對于任意實數x都成立，m0.hxxfxx33x，則hx3x23.hx0x.xhxhx的變化情況如下表所示：x111,hxhx-00-↘極小值↗極大值↘hx在,x111,hxhx-00-↘極小值↗極大值↘fxmexx230m

x23.所以“fx在區(qū)間上有兩個零點等價于ym與曲exgx

x23，x2,4有且只有兩個公共點”.exgxgx

x22x3.exgx0x1

1，x2

3.xgxgx的變化情況如下表所示：x133,4gxgx133,4gxgx-00-↘極小值↗極大值↘g2e2g1g3

6g2，g413g1，e3 e42em13或me4

6ymgxe3

x23，x2,4有且只有兩個公共點.ex2em13m

6時，函數fx在區(qū)間2,4上有兩個零點.【點睛】

e4 e3利用函數零點的情況求參數值或取值范圍的方法.分離參數后轉化為函數的值域最值問題求解..27127

（2） 2（）根據三角形面積公式和正弦定理可得答案（）根據兩角余弦公式可得cosA，即可求出sinA理可得bc，根據余弦定理即可求出bc，問題得以解決．【詳解】S

1acsinB a2 ，2csinBsinAa，

ABC

2 4sinA由正弦定理可得2sinCsinBsinAsinA，sinAsinAsinBsinC1；210cosBcosC110cosBcosBcosC1，10cos(BC)cosBcosCsinBsinC3，5cosA3，sinA4，5 51 a2 25則由bcsinA ，可得：bc ，由b2c2a22bccosA，2 4sinA 1631可得：b2c2 ，787(bc)2

31257bc8 8

，經檢驗符合題意，27三角形的周長abc ．27（實際上可解得b【點睛】

，c 符合三邊關系．2 7 32 7 32 7 351考查了學生的運算能力，考查了轉化思想，屬于中檔題．51221（1）當t10時，公路l的長度最短為202

（）5

（千米）.【解析】t P的坐標為t100(t0)，利用導數的幾何意義求出切線lyt

100(xt，根據兩 t t2點間距離得出AB 2

40000

40000 ,t 0構造函數g(t) 2 ,t 0 t2 t2和最值，即可得出結果；6在BN106

BN，利用正弦定理

AN ，求出ABN

，最后MN的長度.【詳解】P的坐標為t100(t0)，

sinBAN sinABN 6 t y

100x2

(x0)，則直線ly100

100(xt)，t t2

200t由此得直線l與坐標軸交點為：A(2t,0),B0, ，t 40000 40000則AB 2

t0

f(t) 2 ,t0，g(t)2

t2 t240000 240000,t0，則g(t) .t2 t3g(t)0，解得t=10.當t(0,10)g(t0,g(t是減函數；當t(10,g(t