2022-2023學(xué)年浙江省金華高二年級上冊學(xué)期12月階段性測試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年浙江省金華第一中學(xué)高二上學(xué)期12月階段性測試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．直線與直線的位置關(guān)系是（

）A．垂直 B．平行 C．相交 D．重合【答案】B【分析】根據(jù)兩直線斜率和截距判斷位置關(guān)系.【詳解】直線化成斜截式方程為，直線化成斜截式方程為，兩直線斜率相等，在y軸上截距不相等，所以兩直線的位置關(guān)系是平行.故選：B2．已知是兩條不同直線，是三個(gè)不同平面，下列命題中正確的是A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【詳解】不正確，因?yàn)榇怪庇谕粭l直線的兩個(gè)平面平行；不正確，垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行或相交；平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行或相交；正確.3．已知直線過點(diǎn)，且與，軸的正半軸分別交于，兩點(diǎn)．若的面積為12（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則直線的截距式方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)出直線的截距式方程，根據(jù)題意求出待定系數(shù)，可得結(jié)論．【詳解】解：設(shè)直線的方程為，則的面積為①．因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以②．聯(lián)立①②，解得，，故直線的方程為，故選：A．4．已知雙曲線，其中一條漸近線的傾斜角為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線方程及漸近線的傾斜角，可得，從而可求離心率.【詳解】由已知得．∴，∴．故選：C．5．一個(gè)正四面體的棱長為2，則這個(gè)正四面體的外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將正四面體補(bǔ)形成正方體，借助正方體求出外接球半徑作答.【詳解】如圖，四面體是正四面體，棱長，將其補(bǔ)形成正方體，則正方體的棱長，此正方體的體對角線長為，正四面體與正方體有相同的外接球，則正四面體的外接球半徑，所以正四面體的外接球體積為．故選：A40cm.Aquarium40cm.Aasarectangularbasethatmeasures100cmby40cmandhasaheightof50cm.Itisfilledwithwatertoaheightof40cm.Abrick（磚）witharectangularbasethatmeasures40cmby20cmandaheightof10cmisplacedintheaquarium.Byhowmanycentimetersdoesthatwaterrise?（

）A．0.5 B．1 C．1.5 D．2【答案】D【分析】先求出磚的體積，再列出方程求解即可.【詳解】由題意，養(yǎng)魚缸底面長為100cm，寬為40cm，高為50cm，里面裝滿高40cm的水.現(xiàn)在其內(nèi)部打算放置一塊長為40cm，寬為20cm，高為10cm的磚，磚的體積為，設(shè)水位上升了cm，則，解得，即水位上升了.故選：D.7．設(shè)傾斜角為α的直線l經(jīng)過拋物線C：的焦點(diǎn)F，與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)A在x軸上方，點(diǎn)B在x軸下方．若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由拋物線的性質(zhì)，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，在直角三角形中求出傾斜角為的余弦值.【詳解】過，分別作準(zhǔn)線的垂線交準(zhǔn)線于，，過作于，則，由拋物線的性質(zhì)可得，，，因?yàn)?，∴，所以，?故選：A．8．?dāng)?shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線C：就是其中之一（如圖）．給出下列三個(gè)結(jié)論：①曲線C恰好經(jīng)過6個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；②曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過；③曲線C關(guān)于x軸對稱．其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．① B．② C．①② D．①②③【答案】C【分析】用替換曲線方程中的，方程不變，所以曲線關(guān)于軸對稱，根據(jù)對稱性結(jié)合曲線的圖形即可判斷各個(gè)結(jié)論的真假．【詳解】根據(jù)題意，曲線，用替換曲線方程中的，方程不變，所以曲線關(guān)于軸對稱，對于①，當(dāng)時(shí)，即為，可得，所以曲線經(jīng)過點(diǎn)，，，，再根據(jù)對稱性可知，曲線還經(jīng)過點(diǎn)，，故曲線恰好經(jīng)過6個(gè)整點(diǎn)，①正確；對于②，由上可知，當(dāng)時(shí)，，即曲線右側(cè)部分的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過，再根據(jù)對稱性可知，曲線上的所有點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過，②正確；對于③，曲線，用替換曲線方程中的，方程改變，所以曲線不關(guān)于軸對稱，③錯(cuò)誤．正確結(jié)論的序號(hào)是：①②．故選：C二、多選題9．若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量共面的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)向量共面的知識(shí)對選項(xiàng)進(jìn)行分析，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】選項(xiàng)A，因?yàn)?，所以共面；選項(xiàng)B，因?yàn)?，所以共面；選項(xiàng)C，在構(gòu)成的平面內(nèi)，不在這個(gè)平面內(nèi)，不符合.選項(xiàng)D，因?yàn)楣簿€，所以共面.故選：ABD10．已知A，B是拋物線上兩點(diǎn)，焦點(diǎn)為F，拋物線上存在一點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，則下列說法正確的是（

）A．B．若，則直線AB恒過定點(diǎn)C．若外接圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，則該圓半徑為D．若，則直線AB的斜率為【答案】ABC【分析】根據(jù)拋物線定義可判斷A；由直線方程與拋物線方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理法可判斷B；利用直線與圓的位置關(guān)系可判斷C；由直線方程與拋物線方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理法及條件可判斷D.【詳解】根據(jù)拋物線定義可知，得，故A正確；設(shè)，，因?yàn)橹本€AB斜率必不為0，設(shè)直線，代入，得，∴，，∴，即，所以直線AB恒過定點(diǎn)，故B正確；外接圓圓心橫坐標(biāo)為，外接圓半徑為，故C正確；因?yàn)?，所以AB過焦點(diǎn)，且，可設(shè)直線，則代入，得，∴，，，解得，即直線AB的斜率為，故D錯(cuò)誤.故選：ABC．11．關(guān)于方程且所對應(yīng)的圖形，下列說法正確的是（

）A．若方程表示一個(gè)圓，則B．無論為何值時(shí)，該方程只可能表示一個(gè)圓或一個(gè)橢圓C．當(dāng)時(shí)，方程表示一個(gè)焦點(diǎn)在軸上的橢圓D．當(dāng)時(shí)，方程表示一個(gè)焦點(diǎn)在軸上的橢圓【答案】AD【分析】根據(jù)給定方程逐一分析各選項(xiàng)中的條件即可判斷作答.【詳解】對于A，方程表示一個(gè)圓，則，解得：，A正確；對于B，當(dāng)時(shí)，，方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，B不正確；當(dāng)時(shí)，，方程表示一個(gè)焦點(diǎn)在軸上的橢圓，C不正確，D正確.故選：AD12．如圖，在平面四邊形中，，，M為的中點(diǎn)，現(xiàn)將沿翻折，得到三棱錐，記二面角的大小為，，下列說法正確的是（

）A．存在，使得B．存在，使得C．與平面所成角的正切值最大為D．記三棱錐外接球的球心為O，則的最小值為【答案】BCD【分析】利用反證法可排除A；翻折過程中點(diǎn)M為半圓上的一點(diǎn)，圓心為的中點(diǎn)N，可得進(jìn)而判斷B；由，知與平面所成的角也達(dá)到最大，進(jìn)而求得其夾角判斷C；找到三棱錐外接球的球心O，此時(shí)，要使最小，則O與G重合，進(jìn)而求得可判斷D.【詳解】對于A，由條件知，沿翻折得到的幾何體是圓錐，若，則在平面上的射影，由線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理知，根據(jù)已知的長度不可能，排除A；對于B，翻折過程中點(diǎn)M為半圓上的一點(diǎn)，圓心為的中點(diǎn)N，則必存在，使得，即，B正確；對于C，此時(shí)與圓相切于點(diǎn)M，即與平面所成的角也達(dá)到最大，因?yàn)閳A半徑為，切線長為所以正切值為，C正確；對于D，首先設(shè)正的中心為G，過點(diǎn)G的直線平面，沿翻折過程中，過中點(diǎn)且垂直的平面必過點(diǎn)M且與直線l相交，交點(diǎn)即為三棱錐外接球的球心O，此時(shí)，要使切線長最小，即最小，則O與G重合，易知，所以，D正確.故選：BCD三、填空題13．正方體中，P為的中點(diǎn)，則直線PB與AC所成的角為________．【答案】【分析】根據(jù)題意，由平面，可得直線與互相垂直.【詳解】與相交于，如圖所示：底面正方形中，，在正方體中，平面，平面，，平面，，∴平面，平面，則有，即直線與所成的角為.故答案為：．14．已知圓錐的頂點(diǎn)為，母線，所成角的余弦值為，與圓錐底面所成角為45°，若的面積為，則該圓錐的側(cè)面積為__________．【答案】【分析】先根據(jù)三角形面積公式求出母線長,再根據(jù)母線與底面所成角得底面半徑，最后根據(jù)圓錐側(cè)面積公式求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)槟妇€，所成角的余弦值為，所以母線，所成角的正弦值為，因?yàn)榈拿娣e為，設(shè)母線長為所以，因?yàn)榕c圓錐底面所成角為45°，所以底面半徑為，因此圓錐的側(cè)面積為．【整體點(diǎn)評】根據(jù)三角形面積公式先求出母線長，再根據(jù)線面角求出底面半徑，最后根據(jù)圓錐側(cè)面積公式求出側(cè)面積，思路直接自然，是該題的最優(yōu)解．15．已知為橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)，P，Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，且，則四邊形的面積為________．【答案】【分析】根據(jù)已知可得，設(shè)，利用勾股定理結(jié)合，求出，四邊形面積等于，即可求解.【詳解】因?yàn)闉樯详P(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，且，所以四邊形為矩形，設(shè)，則，所以，，即四邊形面積等于.故答案為：.16．在平面直角坐標(biāo)系中，，，若動(dòng)點(diǎn)在直線上，圓過、、三點(diǎn)，則圓的面積最小值為_________.【答案】【分析】要使圓的面積盡可能小，則點(diǎn)位于第一象限，設(shè)，再求出的中垂線方程，設(shè)設(shè)圓心坐標(biāo)為，根據(jù)，得到，參變分離求出的最小值，即可求出，從而求出面積最小值.【詳解】解：要使圓的面積盡可能小，則點(diǎn)位于第一象限，設(shè)，又，，所以線段的中垂線方程為，則圓心在直線上，不妨設(shè)圓心坐標(biāo)為，圓的半徑為，所以，即，則，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，所以，所以圓的面積最小值為，此時(shí)；故答案為：四、解答題17．在平面直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)及圓．（1）若直線過點(diǎn)且與圓C相切，求直線的方程．（2）已知直線平行于直線，且交圓C于兩點(diǎn)，若，求的面積．【答案】（1）；（2）或．【分析】（1）將圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，寫出圓心坐標(biāo)和半徑的大小，設(shè)出直線的方程，根據(jù)直線與圓相切，圓心到直線的距離等于半徑，求得斜率，得到直線方程；（2）利用斜率公式求得，設(shè)直線的方程為，利用圓中半弦長、弦心距和圓的半徑構(gòu)成直角三角形，勾股定理求得的值，進(jìn)而求得三角形的面積..【詳解】（1）圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則圓C的圓心為，半徑為．由題意，斜率存在，設(shè)直線的方程為，根據(jù)直線與圓相切得，解得，所以直線的方程為．（2），所以設(shè)直線的方程為圓心C到直線的距離為．由于，則，得，從而或．當(dāng)直線的方程為時(shí)，B到的距離為，故．當(dāng)直線的方程為時(shí)，B到的距離為，故．故的面積為或．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)直線與圓的問題，解題方法如下：（1）根據(jù)直線與圓相切的條件為圓心到直線的距離等于半徑，求得直線的斜率，得到切線方程；（2）注意利用好圓中半弦長、弦心距和圓的半徑構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理得到等量關(guān)系式，求得參數(shù)值，利用三角形的面積公式求得結(jié)果.18．外形是雙曲面的冷卻塔具有眾多優(yōu)點(diǎn)，如自然通風(fēng)和散熱效果好，結(jié)構(gòu)強(qiáng)度和抗變形能力強(qiáng)等，其設(shè)計(jì)原理涉及到物理學(xué)、建筑學(xué)等學(xué)科知識(shí).如圖1是中國華電集團(tuán)的某個(gè)火力發(fā)電廠的一座冷卻塔，它的外形可以看成是由一條雙曲線的一部分繞著它的虛軸所在直線旋轉(zhuǎn)而成，其軸截面如圖2所示.已知下口圓面的直徑為80米，上口圓面的直徑為40米，高為90米，下口到最小直徑圓面的距離為80米.（1）求最小直徑圓面的面積；（2）雙曲面也是直紋曲面，即可以看成是由一條直線繞另一條直線旋轉(zhuǎn)而成，該直線叫做雙曲面的直母線.過雙曲面上的任意一點(diǎn)有且只有兩條相交的直母線（如圖3），對于任意一條直母線，均存在一個(gè)軸截面和它平行，此軸截面截雙曲面所得的雙曲線有兩條漸近線，且直母線與其中一條平行.廣州電視塔（昵稱“小蠻腰”，如圖4）就是根據(jù)這一理論設(shè)計(jì)的，極大地方便了建造、節(jié)約了成本（主鋼梁在直母線上，鋼筋不需要彎曲）.若圖1中的冷卻塔也采用直母線主鋼梁，求主鋼梁的長度（精確到0.01米，參考數(shù)據(jù)：）.【答案】（1）；（2）【分析】由題設(shè)，則有在雙曲線上，代入得解雙曲線方程，得到最小直徑圓面是以雙曲線的實(shí)軸為直徑的圓面得解（2）求得一條漸近線方程為，由題意知上下軸截面平行且直母線與漸近線其中一條平行，所以四邊形是平行四邊形，求得得解【詳解】由題設(shè)，則有在雙曲線上，所以解得因?yàn)樽钚≈睆綀A面是以雙曲線的實(shí)軸為直徑的圓面此時(shí)圓面的面積為（2）由（1）問得：的一條漸近線方程為如圖由題意知上下軸截面平行且直母線與漸近線其中一條平行，所以四邊形是平行四邊形，所以所求主鋼梁的長度即為【點(diǎn)睛】建立適當(dāng)坐標(biāo)系得到雙曲線方程，利用直母線與漸近線其中一條平行，得到四邊形是平行四邊形是解題關(guān)鍵.19．如圖，在四棱錐中，是等邊三角形，平面且為中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）取邊的中點(diǎn)E，即可證明四邊形為平行四邊形，再根據(jù)線面平行的判定定理即可證明；（2）取邊的中點(diǎn)G，由，即可得到直線與平面所成角即為與平面所成角，再由等體積法求得，即可求得直線與平面所成角的正弦值．【詳解】解：（1）如圖所示：取邊的中點(diǎn)E，連，則三角形中位線可知：且，由題可知：且，且，即四邊形為平行四邊形，又平面平面，故平面；（2）取邊的中點(diǎn)G，則，且，直線與平面所成角即為與平面所成角，又，且易得,所以由等體積法，，得，與平面所成角的正弦值為，故直線與平面所成角的正弦值為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是利用等體積法求出點(diǎn)到平面的距離.20．已知三角形內(nèi)接于拋物線，拋物線的焦點(diǎn)為F，三角形頂點(diǎn)到拋物線C準(zhǔn)線的距離為10．（1）求的值．（2）若的重心恰是拋物線的焦點(diǎn)F，求所在的直線方程．【答案】（1），；（2）.【分析】（1）根據(jù)拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，列出等量關(guān)系式，求得的值，得到拋物線的方程，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線方程求得的值；（2）設(shè)，利用三角形重心坐標(biāo)公式得到，根據(jù)拋物線上的點(diǎn)滿足拋物線方程，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得直線方程.【詳解】（1）因?yàn)锳到拋物線C準(zhǔn)線的距離為，代入拋物線，得．（2）由（1）得，設(shè)，則，故，于是所以，即．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)直線與拋物線的問題，解題方法如下：（1）根據(jù)題意，列出等量關(guān)系式求得的值，得到拋物線的方程，利用點(diǎn)在拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足拋物線方程，求得的值；（2）根據(jù)題意，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)重心坐標(biāo)公式，列出等量關(guān)系式，根據(jù)點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足拋物線方程，聯(lián)立求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得直線方程.21．如圖，在三棱柱中，，，，點(diǎn)M為線段的中點(diǎn)．(1)求證：．(2)求二面角的大小．(3)求三棱錐的體積．【答案】(1)證明過程見解析；(2)；(3).【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接、、，證明平面，進(jìn)而可得出；（2）利用二面角的定義可知，二面角的平面角為，利用余弦定理求出，求出，即可得解；（3）以點(diǎn)原點(diǎn)，、所在直線為、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值，然