2022-2023學年湖北省潛江市園林高二年級上冊學期期中數(shù)學試題【含答案】

2022-2023學年湖北省潛江市園林高級中學高二上學期期中數(shù)學試題一、單選題1．已知為平面的一個法向量，為內(nèi)的一點，則點到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用點到平面的向量求法，列式計算作答.【詳解】依題意，，而為平面的一個法向量，所以點到平面的距離.故選：A2．已知橢圓的上焦點為，以點為圓心，且與一條坐標軸相切的圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】先求出點，由題意知圓的半徑為即可得圓的方程.【詳解】由題意，橢圓的上焦點為在軸正半軸上，故所求圓只能是與軸相切，切點為原點，所以，可得圓的方程為：，即.故選：A3．已知空間向量，，滿足，，，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將，兩邊平方，利用空間向量的數(shù)量積即可得選項.【詳解】設(shè)與的夾角為．由，得，兩邊平方，得，所以，解得，又，所以，故選：C．4．若拋物線的弦AB中點坐標為，則直線AB的斜率為（

）A．－4 B．4 C．－2 D．2【答案】B【分析】根據(jù)點差法求解即可.【詳解】設(shè)，，則.所以，所以.故選：B5．已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題知，，進而利用向量求解異面直線所成角即可.【詳解】解：由題知，在直三棱柱中，平面，平面，∵平面，平面，∴，，∵，，∴.∵，，∴，∴異面直線與所成角的余弦值為故選：C.6．如圖，過拋物線的焦點F的直線l交拋物線于點A，B，交其準線于點C，準線與對稱軸交于點M，若，且，則p為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】分別過點、作準線的垂線，垂足分別為點、，設(shè)，根據(jù)拋物線的定義以及圖象可得，結(jié)合已知條件求得，即可.【詳解】如圖，分別過點、作準線的垂線，垂足分別為點、，設(shè)，則由己知得，由拋物線的定義得，故，在直角三角形中，，，又因為，則，從而得，又因為，所以.故選：B.7．已知點、，動點滿足：直線的斜率與直線的斜率之積為，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件可得出、所滿足的等式，求出的取值范圍，結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍.【詳解】由題意可知，，整理得，則，故，因為，所以，所以，即．故選：C．8．已知雙曲線的左、右焦點分別為，一條漸近線為，過點且與平行的直線交雙曲線于點，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由雙曲線定義可得，根據(jù)平行關(guān)系可知，由余弦定理可構(gòu)造齊次方程求得離心率.【詳解】設(shè)，則點位于第四象限，由雙曲線定義知：，；設(shè)過點且與平行的直線的傾斜角為，則，，；在中，由余弦定理得：，即，整理可得：，.故選：C.二、多選題9．下列說法正確的是（

）A．直線必過定點B．過點作圓的切線，切線方程為C．經(jīng)過點，傾斜角為的直線方程為D．直線在x軸上的截距為，在y軸上的截距為1【答案】AB【分析】根據(jù)直線系的方程求解頂點即可判斷A；結(jié)合點在圓上求解切線判斷B；分和討論判斷C；直接求解直線在坐標軸上的交點坐標即可判斷D.【詳解】解：對于A選項，，故直線過與的交點，所以，聯(lián)立得，即直線必過定點，故正確；對于B選項，點在上，圓心為，所以切線的斜率為，所以切線方程為，即，故正確；對于C選項，經(jīng)過點，傾斜角時，直線方程為，當時，直線方程為，故錯誤；對于D選項，令得，令得，所以直線在x軸上的截距為，在y軸上的截距為，故錯誤.故選：AB10．如圖，在三棱柱中，，，設(shè)，，，且向量與的夾角為45°，則（

）A．B．與AC所成的角為60°C．D．當時，三棱錐的體積為定值【答案】BD【分析】對于A，由勾股定理可判斷；對于B，由題可知，，，，．根據(jù)空間向量的數(shù)量積以及向量的夾角運算可判斷；對于C，根據(jù)空間向量的線性運算可判斷；對于D，由已知得點P在直線上．從而得直線上的點到平面的距離相等，由此可判斷．【詳解】解：對于A，∵，，∴，故A不正確；對于B，由題可知，，，，．∵，∴，∴與AC所成的角為60°，故B正確；對于C，，故C不正確；對于D，∵，∴點P在直線上．由于平面，∴直線上的點到平面的距離相等，又的面積為定值，∴三棱錐的體積為定值，故D正確．故選：BD．11．雙曲線具有如下光學性質(zhì)：如圖，是雙曲線的左、右焦點，從右焦點發(fā)出的光線m交雙曲線右支于點P，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線n的反向延長線過左焦點．若雙曲線C的方程為，下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則B．當n過時，光由所經(jīng)過的路程為13C．射線n所在直線的斜率為k，則D．若，直線PT與C相切，則【答案】CD【分析】對于A：判斷出，由定義和勾股定理聯(lián)立方程組即可求得；對于B：利用雙曲線的定義直接求得；對于C：先求出雙曲線的漸近線方程，由P在雙曲線右支上，即可得到n所在直線的斜率的范圍；對于D：設(shè)直線PT的方程為.利用相切解得，進而求出.即可求出.【詳解】對于A：若，則.因為P在雙曲線右支上，所以.由勾股定理得：二者聯(lián)立解得：.故A錯誤；對于B：光由所經(jīng)過的路程為.故B錯誤；對于C：雙曲線的方程為.設(shè)左、右頂點分別為A、B.如圖示：當與同向共線時，的方向為，此時k=0，最小.因為P在雙曲線右支上，所以n所在直線的斜率為.即.故C正確.對于D：設(shè)直線PT的方程為.，消去y可得：.其中，即，解得代入，有，解得：x=9.由P在雙曲線右支上，即，解得：（舍去），所以.所以.故D正確故選：CD12．過橢圓的中心任作一直線交橢圓于P，Q兩點，，是橢圓的左、右焦點，A，B是橢圓的左、右頂點，則下列說法正確的是（

）A．周長的最小值為18B．四邊形可能為矩形C．若直線PA斜率的取值范圍是，則直線PB斜率的取值范圍是D．的最小值為-1【答案】AC【分析】A由橢圓對稱性及定義有周長為，根據(jù)橢圓性質(zhì)即可判斷；B根據(jù)圓的性質(zhì)，結(jié)合橢圓方程與已知判斷正誤；C、D設(shè)，利用斜率兩點式可得，進而判斷C正誤，應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標表示列關(guān)于的表達式，結(jié)合橢圓有界性求最值.【詳解】A：根據(jù)橢圓的對稱性，，當PQ為橢圓的短軸時，有最小值8，所以周長的最小值為18，正確；B：若四邊形為矩形，則點P，Q必在以為直徑的圓上，但此圓與橢圓無交點，錯誤；C：設(shè)，則，因為直線PA斜率的范圍是，所以直線PB斜率的范圍是，正確；D：設(shè)，則．因為，所以當時，最小值為，錯誤.故選：AC．三、填空題13．已知點，，直線，若直線與直線平行，則______．【答案】【分析】根據(jù)兩點坐標求得直線的斜率，根據(jù)直線方程求得直線的斜率，根據(jù)平行的必要條件得到關(guān)于的方程，求得的值，然后檢驗點（或點）不在直線上，進而得到答案.【詳解】直線的斜率為,直線的斜率為，由于直線與直線平行，所以，即，此時直線的方程為，整理得：，經(jīng)檢驗點（或點）不在直線上，所以當且僅當時，直線與直線平行，故答案為：14．雙曲線的一條漸近線方程為，且焦點到漸近線的距離為2，則該雙曲線的焦距為____________．【答案】【分析】根據(jù)漸近線方程可得的關(guān)系，然后根據(jù)焦點到漸近線的距離，結(jié)合點到直線的距離公式即可求得，從而求得，即可得到結(jié)果.【詳解】因為雙曲線的漸近線方程為，且其一條漸近線方程為，所以由雙曲線的對稱性可知，兩焦點到兩漸近線的距離均相等，取漸近線，焦點則，所以，，即所以焦距為故答案為:15．已知橢圓的中心在坐標原點，右焦點與圓的圓心重合，長軸長等于圓的直徑，那么短軸長等于______．【答案】【分析】由于是圓，可得，通過圓心和半徑計算，即得解【詳解】由于是圓，即：圓其中圓心為，半徑為4那么橢圓的長軸長為8，即，，，那么短軸長為故答案為：16．四葉草也叫幸運草，四片葉子分別象征著：成功?幸福?平安?健康，表達了人們對美好生活的向往.梵克雅寶公司在設(shè)計四葉草吊墜的時候，利用了曲線方程（如圖所示）進行圖案繪制.試求曲線圍成的封閉圖形的面積___________.【答案】【分析】先對分情況討論，去掉絕對值，然后結(jié)合方程表示的圖形求解面積.【詳解】當時，方程可化為它表示圓心在，半徑為的圓在第一象限的部分；當時，方程可化為它表示圓心在，半徑為的圓在第四象限的部分；當時，方程可化為它表示圓心在，半徑為的圓在第二象限的部分；當時，方程可化為它表示圓心在，半徑為的圓在第三象限的部分；綜上，四個部分都是半圓，并且它們正好圍成了一個封閉的區(qū)域.這個區(qū)域的面積可以割成四個半圓和一個正方形，其中正方形的邊長就是半圓的直徑.所以總面積為.故答案為：.四、解答題17．如圖，在三棱錐中，點為棱上一點，且，點為線段的中點．(1)以為一組基底表示向量；(2)若，，，求．【答案】(1)；(2).【分析】（1）直接利用向量的數(shù)乘運算及加減運算求解；（2）由向量的單項式乘多項式及向量的數(shù)量積運算求解．【詳解】（1）∵為線段的中點，∴，∵，∴，∴；（2）．18．已知點，________，從條件①、條件②、條件③中選擇一個作為已知條件補充在橫線處，并作答．(1)求直線的方程；(2)求直線：關(guān)于直線的對稱直線的方程．條件①：點關(guān)于直線的對稱點的坐標為；條件②：點的坐標為，直線過點且與直線垂直；條件③點的坐標為，直線過點且與直線平行．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】(1)(2)【分析】（1）計算直線的斜率，根據(jù)直線的平行或垂直關(guān)系得到斜率，代入點得到直線方程.（2）計算直線的交點，在直線上取一點，求其關(guān)于對稱的點，根據(jù)交點和對稱點得到直線方程.【詳解】（1）選擇條件：因為點關(guān)于直線的對稱點的坐標為，所以是線段的垂直平分線．因為，所以直線的斜率為，又線段的中點坐標為，所以直線的方程為，即．選擇條件：因為，直線與直線垂直，所以直線的斜率為，又直線過點，所以直線的方程為，即．選擇條件，因為，直線與直線平行，所以直線的斜率為，又直線過點，所以直線的方程為，即．（2），解得，故，的交點坐標為，因為在直線：上，設(shè)關(guān)于對稱的點為，則，解得，直線關(guān)于直線對稱的直線經(jīng)過點，，代入兩點式方程得，即，所以：關(guān)于直線的對稱直線的方程為．19．如圖，圓臺上底面圓半徑為1，下底面圓半徑為為圓臺下底面的一條直徑，圓上點滿足是圓臺上底面的一條半徑，點在平面的同側(cè)，且.(1)證明：平面平面；(2)若圓臺的高為2，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取中點，四邊形為平行四邊形，從而得到，根據(jù)平面可得平面，從而得到需求證的面面垂直.（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，求出及平面的法向量后可求線面角的正弦值.【詳解】（1）取中點，由題意，，又，故.又，故，所以四邊形為平行四邊形，則.由平面，故平面，又面，故平面平面.（2）以為坐標原點，的方向為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.則有：，故設(shè)平面的法向量而，故，令，得設(shè)所求角的大小為，則.所以直線與平面所成角的正弦值為.20．已知圓．(1)若圓C被直線截得的弦長為8，求圓C的直徑；(2)已知圓C過定點P，且直線與圓C交于A，B兩點，若，求a的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)弦長為8，利用弦心距、半徑、半弦長之間的關(guān)系列出方程求解即可；（2）求出動圓所過定點，再聯(lián)立直線與圓的方程，求出交點坐標，由數(shù)量積的坐標運算列出不等式即可求解.【詳解】（1）依題意可知圓的圓心為，到直線的距離，因為圓被直線截得的弦長為8，所以，解得，故圓的直徑為.（2）圓的一般方程為，令，，解得，所以定點的坐標為.聯(lián)立解得或所以，因為，所以.又方程表示一個圓，所以，所以的取值范圍是.21．已知拋物線的頂點為原點，焦點F在x軸的正半軸，F(xiàn)到直線的距離為.點為此拋物線上的一點，.直線l與拋物線交于異于N的兩點A，B，且.(1)求拋物線方程和N點坐標；(2)求證：直線AB過定點，并求該定點坐標.【答案】(1)，(2)證明見解析，定點【分析】（1）設(shè)拋物線的標準方程為，利用點到直線距離公式可求出，再利用焦半徑公式可求出N點坐標；（2）設(shè)直線的方程為，與拋物線聯(lián)立，利用韋達定理計算，可得關(guān)系，然后代入直線方程可得定點.【詳解】（1）設(shè)拋物線的標準方程為，，其焦點為則，∴所以拋物線的方程為.，所以，所以.因為，所以，所以.（2）由題意知，直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為（），聯(lián)立方程得設(shè)兩個交點，（，）.所以所以，即整理得，此時恒成立，此時直線l的方程為，可化為，從而直線過定點.22．已知，直線過橢圓的右焦點F且與橢圓交于A、B兩點，l與雙曲線的兩條漸近線、分別交于M、N兩點．(1)若，且當軸時，△MON的面積為