2022-2023學年福建省廈門高二年級上冊學期第一階段考試數(shù)學試卷

廈門二中2022-2023學年度上學期第一次階段考試高二年段數(shù)學學科試卷班級：座號：姓名：一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.與直線垂直的一個向量是（）A. B. C. D.2.過點作圓的切線l，則切線l的方程為（）A. B. C. D.或3.與直線關于軸對稱的直線的方程為（）A. B.C. D.4.設直線l的方程為，則直線l的傾斜角的范圍是（）A.[0,]B.C.D.5.已知分別為直線的方向向量（不重合），分別為平面α，β的法向量（α，β不重合），則下列說法中不正確的是（）A.∥， B.， C.∥，α∥β D.，α⊥β6.點到直線（為任意實數(shù)）的距離的最大值為（）A.B.C.D.7.如圖，在三棱錐中，，，M，N分別是AD，BC的中點．則異面直線AN，CM所成的角為（）A.B.C.D.8.圖為某種禮物降落傘的示意圖，其中有8根繩子和傘面連接，每根繩子和水平面的法向量的夾角均為30°．已知禮物的質量為，降落傘自身的重量為，每根繩子的拉力大小相同．則降落傘在勻速下落的過程中每根繩子拉力的大小為（）（重力加速度g取，精確到0.01N）．A.1.41NB.1.56NC.16.97ND.17.04N二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分．9.已知直線l的傾斜角等于，且l經過點，則下列結論中正確的有（）A.l的一個方向向量為B.直線l與兩坐標軸圍成三角形的面積為C.l與直線垂直D.lD.l與直線平行10.已知△ABC的頂點，若△ABC是直角三角形，則符合條件的m的值為（）B.C.D.B.C.D.11.長方體中，已知與平面和平面所成的角均為，則下列說法正確的是（）A． B．與平面所成的角為 C． D．與平面所成的角為12.已知正方體棱長為2，M為棱CG的中點，P為底面EFGH上的動點，則下列說法正確的是（）A.存在點P，使得B.存在唯一點P，使得C.當，此時點P的軌跡長度為D.當P為底面EFGH的中心時，三棱錐的外接球體積為三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知點M是點在坐標平面Oyz內的射影，則=．14.已知兩條平行直線與間的距離為，則的值為．15.兩條異面直線a，b所成的角為60°，在直線a，b上分別取點A1，E和點A，F(xiàn)使，且（稱為異面直線a，b的公垂線）．已知，則線段的長為_____________．16.球O為正四面體ABCD的內切球，AB=2，MN是球O的直徑，點P在正四面體ABCD的表面運動，則的最大值為____________．四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答題應寫出文字說明．證明過程或演算步驟．17.求滿足下列條件的直線方程：（1）已知，求△ABC的邊AB上的中線所在的直線方程；（2）過點，在兩坐標軸上截距相等的直線方程.18.如圖，平行六面體中，底面ABCD是邊長為1的正方形，，設.（1）試用表示向量；（2）若，求直線AC與BD1所成的角.19.在平行六面體中，，，（1）求證：直線平面．（2）求A1到平面BDD1B1的距離.20.在四棱錐中，底面是正方形，平面底面，，E是的中點．（1）求證：∥面；（2）若，則棱PB上是否存在一點F，使得平面與平面EBD的夾角的余弦值為？若存在，請計算出的值，若不存在，請說明理由。21.如圖，是某景區(qū)的瀑布群，已知，點Q到直線OM，ON的距離均為2，現(xiàn)新修一條自A經過Q的有軌觀光直路并延伸交道路ON于點B.（1）求；（2）當取得最小值時，求.22.知圓，點P是直線上的動點．（1）若從點P到圓O的切線長為，求點P的坐標以及兩條切線所夾的劣弧長；（2）若點，直線PA，PB與圓O的另一交點分別為M，N，求證：直線MN經過定點．參考答案1.答案：D2.答案：D分析：容易知道，點位于圓外，經過圓外一點有兩條直線與這個圓相切．當斜率不存在時，符合題意。當斜率存在時，我們設切線方程為，k為斜率．由直線與圓相切可求出k的值．解：設切線l的斜率為k，則切線l的方程為，即．由圓心到切線l的距離等于圓的半徑1，得，解得．所以，所求切線l的方程為或．3.【答案】B【分析】把方程中換成，整理即得．【詳解】直線關于軸對稱的直線的方程為，即．4.【答案】C【分析】分和兩種情況討論，當時，；當時，結合的范圍，可得斜率的取值范圍，進而得到傾斜角的范圍.【詳解】直線l的方程為，當時直線方程為，傾斜角當時，直線方程化為，斜率，因為，所以，即，又因為，所以，綜上可得故選：C5.答案：A6.【答案】B【分析】將直線方程變形為，得直線系恒過點，由此得到P到直線l的最遠距離為，再利用兩點間的距離公式計算可得．【詳解】解：∵直線，∴可將直線方程變形為，∴，解得，由此可得直線系恒過點，則P到直線l的最近距離為A，此時直線過P．P到直線l的最遠距離為，此時直線垂直于PA．∴．7.答案：C【解析】解法一：解法二：構造長方體8.答案：C分析：因為降落傘勻速下落，所以降落傘8根繩子拉力的合力的大小等于禮物重力的大小．8根繩子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量的和向量與禮物的重力是一對相反向量．解：如圖，設水平面的單位法向量為，其中每一根繩子的拉力均為F．因為，所以F在上的投影向量為．所以8根繩子拉力的合力．又因為降落傘勻速下落，所以（N）．所以，所以（N）．9.答案：AC10.答案：ACD11.答案：ABC【思路分析】不妨令，可根據(jù)直線與平面所成角的定義，確定長方體的各棱長，即可求解．【解析】如圖所示，連接，，不妨令，在長方體中，面，面，所以和分別為與平面和平面所成的角，即，所以在中，，，在中，，，所以，，，故選項，錯誤，由圖易知，在平面上的射影在上，所以為與平面所成的角，在中，，故選項錯誤，如圖，連接，則在平面上的射影為，所以為與平面所成的角，在△中，，所以，所以選項正確，故選：．【試題評價】本題考查了直線與平面所成角，屬于中檔題．12.答案：BCD【詳解】以D為原點，DA，DC，DH所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系D-xyz．A（2，0，0），M（0，2，1），設P點坐標為（x，y，2）（），，為求的最小值，找出點A關于平面EFGH的對稱點，設該點為，則點坐標為∴，故A選項錯誤．由可得，故B選項正確．，即，此時由點P坐標為得到，點P軌跡是連接棱EF中點與棱EH中點的線段，其長度為線段HF的一半，即長為．故C選項正確．當P為底面EFGH的中心時，由B選項知．易得．∴外接球球心為棱AM的中點，從而求得球半徑為．，故D選項正確．13.【答案】【分析】先求得點在坐標平面Oyz內的射影，再利用兩點間的距離求解.【詳解】因為點在坐標平面Oyz內的射影是，所以.14.【答案】或【分析】直接利用兩平行線之間的距離公式列方程，解方程即可求解.【詳解】因為兩條平行直線與間的距離為，所以，解得或，所以的值為或.15.答案：或16.【答案】，17.【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）先計算中點的坐標，再利用兩點式寫出直線方程，即得結果；（2）分類討論直線是否過原點兩種情況，分別設直線方程，再將點P代入計算，即得結果.【詳解】解：（1）由題意可知，的中點坐標為，又點，所以的邊上的中線所在的直線方程為：，即；（2）當直線過原點時，設方程為，∵過點，∴直線方程為，即；當直線不過原點時，設方程為，∵過點，∴，∴直線方程為，即.故所求直線的方程為或.19.解：分析：根據(jù)條件，可以{，，}為基底，并用基向量表示和平面，再通過向量運算證明是平面的法向量即可．（1）證明：設，，，則{，，}為空間的一個基底，且，，．因為，，所以，．在平面上，取，為基向量，則對于平面上任意一點P，存在唯一的有序實數(shù)對，使得．所以，．所以是平面的法向量．所以平面．（2）設A1到平面BDD1B1的距離為d，，故20.（1）連結AC交BD于M，連結EM.為正方形，為AC中點，又E為PC中點，.又平面EDB，平面EDB.平面EDB.（2），，即，平面PAD⊥平面ABCD，平面平面ABCD=AD，平面ABCD.以為基底建立空間直角坐標系，，設，，，，，，，設平面DEF的法向量為，，，，設平面DEB的法向量為，，，，若平面與平面EBD的夾角的余弦值為，則，解得或答：存在，的值為或0.22.【答案】（1）點的坐標為，；（2）證明見解析．【分析】（1）設兩切點分別為，，由可求；（2）表示直線的方程，與圓方程聯(lián)立，表示出坐標，同理可得的坐標，即可求出.【詳解】（1）依題意，設．設兩切點分別為，，則，．由題意可知，即，解得，所以點的坐標為．在中，可求得，所以，所以所求兩條切線所夾的劣弧長為．（2）設，，．依題意，可得直線的方程為，由，得．因為直線經過點，，所以，是上述方程的兩個根，則，即，代入直線方程，得'．同理，可得直線的方程為．由