電磁場與微波技術(shù)

電磁場與微波技術(shù)任偉趙家升版權(quán)為杭州電子科技大學(xué)波科學(xué)實(shí)驗(yàn)室所有2005第一章

時(shí)變電磁場基礎(chǔ)緒論－電磁學(xué)發(fā)展簡史HansChristianOersted(1777-1851)發(fā)現(xiàn)通電導(dǎo)線周圍存在磁場。AndreAmpere(1775-1836)發(fā)現(xiàn)兩根帶電導(dǎo)線之間有力的相互作用。JeanBaptisteBiot(1774-1862)andFelexSavart(1791-1841)建立計(jì)算兩電流源之間作用力的方程。BenjaminFranklin(1706-1790)andJosephPriestly(1733-1804)提出靜電學(xué)中的平方反比律的假設(shè)。Coulomb(in1785)用實(shí)驗(yàn)證明了兩靜電荷之間的作用力符合平方反比律。AlesandroVolta(1745-1827)研究不同金屬之間的相互作用，發(fā)明了第一個(gè)電池(1800)。KarlFriedrichGauss(1777-1855)發(fā)現(xiàn)了關(guān)于電荷的散度定理（即高斯定理）MichaelFaraday(1791-1867)在1831年發(fā)現(xiàn)時(shí)變磁場產(chǎn)生電場。JosephHerry

有相同的發(fā)現(xiàn)。JamesClerkMaxwell(1831-1879)創(chuàng)立了電磁現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型（麥克斯韋方程組），稱之為經(jīng)典電動力學(xué)?！半姶艑W(xué)通論”（1873)。這兩位分別在實(shí)踐和理論上取得巨大突破，為現(xiàn)代電磁學(xué)的建立做出了杰出的貢獻(xiàn)！HeinrichRudolphHertz(1857-1894)在1886年用實(shí)驗(yàn)證明了無線電磁波中電與磁是相互聯(lián)系的,在他關(guān)于電動力學(xué)的學(xué)術(shù)論文中他用電場強(qiáng)度代替所有的電位,用這種方法可以從Maxwell方程組中推倒出歐姆定律，基爾霍夫定律和庫侖定律。GuglielmoMarconi(無線電之父）1901年完成從英國的Poldhu到加拿大的New-Foundland的跨越大西洋的無線電傳播。

1.1矢量代數(shù)1.1.1矢量代數(shù)(1)矢量加法矢量之間可以進(jìn)行加法（或減法）運(yùn)算。兩矢量相加（或相減）是一個(gè)矢量。即:且矢量相加服從加法的交換律和結(jié)合律。即:(2).矢量與標(biāo)量之間可以進(jìn)行乘法（或除法）運(yùn)算。矢量A乘以標(biāo)量s得矢量B。即:矢量B的大小變?yōu)槭噶緼的大小的s倍，其方向則與s的正負(fù)有關(guān)。若s>0，則B與A同向；若s<0，則B與A反向。(3)點(diǎn)積兩矢量之間的乘積有兩種有用的定義，即點(diǎn)積（或標(biāo)積）和叉積（或矢積）。兩個(gè)矢量的點(diǎn)積是一個(gè)標(biāo)量，其值為兩個(gè)矢量的大小與它們之間夾角的余弦之積，表示為：BA圖1.1.1的圖示矢量的點(diǎn)積服從乘法的交換律和分配律。即從上式可以看出：若，則表明A與B相互垂直；若，則表明A與B相互平行。在式上中，是矢量B在矢量A方向上的分量，有式中稱為方向A的單位矢量，在直角坐標(biāo)系中，矢量A可以表示為：式中和的和分別為x、y和z軸方向上的單位矢量。因此我們有：z式中的是矢量A的方向余弦，分別是矢量A與坐標(biāo)軸x、y和z之間的夾角，如圖1.1.2所示。Ayx圖1.1.2的圖示直角坐標(biāo)系各單位矢量之間的點(diǎn)積為例1已知求(a)，(b)A與B之間的夾角。解（a）（B）.故4.叉積兩矢量的叉積是一個(gè)矢量，其大小為兩個(gè)矢量的大小與它們之間夾角的正弦之積，它的方向垂直于包含兩個(gè)矢量的平面。用單位矢量表示，如圖1.1.3所示即：矢量的叉積服從乘法的分配律和反交換律。即從上式可以看出：若則表明A與B相互平行；若，則表明A與B相互垂直。ABzyx圖1.1.3

的圖示由兩矢量的叉積定義可方便地得出直角坐標(biāo)系各單位矢量的叉積為：直角坐標(biāo)系中，兩矢量的叉積為上式可用行列式簡明地表示為：例２已知空間一點(diǎn)P(x,y,z)處的矢量為：求解：1.1.2常用的坐標(biāo)系１.直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系由相互正交的三條有向直線和這三條直線的交點(diǎn)構(gòu)成，三條直線分別稱為x、y和z軸，交點(diǎn)稱為坐標(biāo)原點(diǎn)。如圖1.1.4所示。空間一點(diǎn)P的坐標(biāo)變量x、y和z確定，點(diǎn)p即是x=常數(shù)、y=常數(shù)和z=常數(shù)的三個(gè)坐標(biāo)面的交點(diǎn)。在直角坐標(biāo)系中，軸方向的單位矢量分別為、和，它們相互垂直，它們相互垂直正交，且符合的右手螺旋關(guān)系。其特征、和都是常矢量，方向不隨點(diǎn)p的位置改變而改變。z=常數(shù)（平面）x=常數(shù)（平面）zyxPy=常數(shù)（平面）圖1.1.４直角坐標(biāo)系o2.圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系的三個(gè)坐標(biāo)變量是、和，如圖1.1.5所示。它的單位矢量是，，，它的主要特點(diǎn)是三個(gè)單位矢量之間符合右手螺旋原則，其中除是常矢量外，，都是變矢量?。?！方向均隨點(diǎn)P的位置改變。而且在圓柱坐標(biāo)系中，任意矢量均可用這三個(gè)單位矢量寫成分量形式：換句話說，柱坐標(biāo)系下，變化的單位矢量亦只有一套。并不是每點(diǎn)一個(gè)坐標(biāo)系。圖1.1.5

圓柱坐標(biāo)系zyxoP圓柱坐標(biāo)系中的矢量微分長度元為：微分面積元為微分體積元為圖1.1.6圓柱坐標(biāo)系中的長度元、面積元和體積元3.球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系的三個(gè)坐標(biāo)變量是、和，如圖1.1.7所示，坐標(biāo)原點(diǎn)一并畫在圖中。球坐標(biāo)系的三個(gè)坐標(biāo)面分別是：

三個(gè)矢量相互正交，符合右手螺旋規(guī)則，其重要特征是三個(gè)單位矢量，，都是變矢量?。?！方向均隨點(diǎn)p的位置改變（具體地隨p點(diǎn)的坐標(biāo)的變化）而改變。

圖1.1.7

球坐標(biāo)系常數(shù)（平面）常數(shù)（球面））常數(shù)（圓錐面）點(diǎn)Ｏ則得球坐標(biāo)系中的矢量微分長度元為微分面積元為微分體積元為圖1.1.8球坐標(biāo)系中的長度元、面積元和體積元4.三種坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換由于處理不同問題的需要，如形狀，邊界條件的不同，需要進(jìn)行不同坐標(biāo)系之間的變換（１）直角坐標(biāo)系與圓柱坐標(biāo)系的坐標(biāo)變量之間的關(guān)系２.直角坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系的坐標(biāo)變量之間的關(guān)系：

３.圓柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系的坐標(biāo)變量之間的關(guān)系為：三種坐標(biāo)系的單位矢量間的關(guān)系，可根據(jù)其中兩對坐標(biāo)系間共同的單位矢量關(guān)系導(dǎo)出，在這里尤其重要的是用直角坐標(biāo)系下的三個(gè)單位矢量去表示圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系下的單位矢量?。?！因?yàn)橹挥兄苯亲鴺?biāo)系下，三個(gè)單位矢量都是常矢量，這在矢量微積分運(yùn)算中有很重要的應(yīng)用，兩個(gè)表達(dá)式如下：

1.1.3偏導(dǎo)數(shù)與標(biāo)量的梯度１．矢量函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)的定義，當(dāng)矢量A是多變量的函數(shù)時(shí)，矢量A對其中一個(gè)變量的偏導(dǎo)數(shù)為：在直角坐標(biāo)系中則有上式中，因、、皆為常矢量，故在圓柱坐標(biāo)系中由于有兩個(gè)單位矢量是變矢量故可得：故可得：在球坐標(biāo)系下有：由于三個(gè)單位矢量都是變矢量故：所以：２.標(biāo)量函數(shù)的梯度（1）等值面在標(biāo)量場中，標(biāo)量函數(shù)取得相同數(shù)值的點(diǎn)構(gòu)成空間曲面，稱為標(biāo)量場的等值面。例如，在溫度場中，由溫度相等的點(diǎn)構(gòu)成等溫面；在電位場中，由電位相等的點(diǎn)構(gòu)成等位面。在直角坐標(biāo)系中，等值面方程為：式中的c為任意常數(shù)。（2）方向?qū)?shù)標(biāo)量場的等值面只描述了空間分布情況，在標(biāo)量場中一點(diǎn)處沿單位矢量向的方向?qū)?shù)表示標(biāo)量場在空間一點(diǎn)處沿某一方向的空間變化率,若，則表示標(biāo)量場沿該方向是增加的；若,則表示標(biāo)量場沿該方向是減少的;若則表示標(biāo)量場沿該方向無變化。方向?qū)?shù)的值既與點(diǎn)的位置有關(guān),還與有關(guān)。下圖為方向?qū)?shù)的圖示：圖1.1.11

方向?qū)?shù)的圖示根據(jù)方向?qū)?shù)的定義，應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可導(dǎo)出直角坐標(biāo)系中的方向?qū)?shù)計(jì)算公式：其中，，和是方向的方向余弦。（3）梯度標(biāo)量場在空間同一點(diǎn)沿不同方向的變化率一般是不同的，在某個(gè)方向上的變化率可能最大。引入梯度的概念，用它來說明標(biāo)量場的最大變化率和得到最大變化率的特定方向。即標(biāo)量場在點(diǎn)處的梯度是一個(gè)矢量，其大小等于最大變化率，其方向是標(biāo)量場變化率最大的方向。表示為：直角坐標(biāo)系中的方向?qū)?shù)計(jì)算公式可變換為：式中是一個(gè)與單位矢量無關(guān)的矢量。引入矢量微分算符（讀作del算子或Nabla算子），在直角坐標(biāo)系中因此，標(biāo)量u的梯度可表示為：

我們給求出圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中的梯度表示式：

從梯度的定義，我們可以歸納出標(biāo)量場在某點(diǎn)的梯度的基本性質(zhì)：(a)標(biāo)量場的梯度是一個(gè)矢量，因而有大小和方向兩個(gè)要素。(b)標(biāo)量場在某給定點(diǎn)沿任意方向的方向?qū)?shù)，等于與該方向單位矢量的點(diǎn)積。即在該方向上的投影。(c)標(biāo)量場中每一點(diǎn)處的梯度，垂直于過該點(diǎn)的等值面，且指向標(biāo)量函數(shù)增大的方向。例題：已知函數(shù)，求空間一點(diǎn)的梯度和沿方向的方向?qū)?shù)。解：在處故方向的單位矢量為：故沿方向的方向?qū)?shù)為：例題：設(shè)：，試證明

這里的為：例題的條件可以表示在下圖中：

xyzOx圖1.1.12的圖示點(diǎn)和點(diǎn)的位置矢量分別為：故即R表示點(diǎn)P和點(diǎn)Q之間的距離。而

故1.1.4面積分與矢量的散度（1）面積分假定在均勻矢量場A中放置一個(gè)面積為s的環(huán)，該面積的法線方向單位矢量n與A的夾角為如圖13所示。A矢量穿過面積s的通量為：如圖1.1.13所示。有：

SAPASn(a)(b)圖1.1.13矢量A的面積分式中的為面積元的單位矢量。對整個(gè)s面進(jìn)行積分，得：即此矢量A的面積分，稱為矢量A穿過面積s的通量。式中的積分符號意味著ds為無限小的面積元，式中可寫為若s為限定某一體積的閉合面，則穿過該閉合面的總通量為：（2）矢量的散度在矢量場A中，作包圍任意點(diǎn)P的閉合曲面s，取s所限定的體積趨于零時(shí)，此值：的極限，即，將此極限定義為矢量場A在點(diǎn)P的散度，表示為：從矢量散度的定義可看出：

divA表示矢量場中的點(diǎn)P處，穿出單位體積的盡通量，故divA描述了矢量場A的通量源密度。

(b)在矢量場中的點(diǎn)P處，若divA>0，則表明該點(diǎn)有發(fā)出場矢量線的正通量源；若divA<0則表明該點(diǎn)有匯聚場矢量線的負(fù)通量源；若divA=0，則表明該點(diǎn)無源。

(c)矢量場的散度是一個(gè)標(biāo)量場。在直角坐標(biāo)系中：或在圓柱坐標(biāo)系中在球坐標(biāo)系中（3）散度定理若矢量場A在閉合面s所限定的體積V的區(qū)域內(nèi)是連續(xù)可微的，則散度的定義可延伸到整個(gè)體積，最終導(dǎo)出散度定理，表示為：例題1：求矢量場在空間一點(diǎn)處的散度。解：例2：設(shè)矢量，式中，求在處的解：式中

則1.1.5線積分與矢量的旋度（1）線積分在力場F中，沿任意曲線c將一物體從點(diǎn)a移動到點(diǎn)b時(shí)，F(xiàn)要做功，如圖1.1.14所示，所示。在曲線上某點(diǎn)P處，有：它表示力F使物體在徑向移動距離所作的功。當(dāng)為無限小時(shí)，力F使物體從點(diǎn)a移動到點(diǎn)b所作的總功即為：上式即稱為線積分。若曲線c是閉合曲線，則變?yōu)殚]合曲線積分，表示為：

FPcbdl圖1.1.14

矢量場F沿曲線c的線積分a(2)矢量的旋度矢量場F沿有向閉合路徑的線積分，定義為該矢量沿此有向閉合曲線的環(huán)量，表示為：在矢量場F中的某一點(diǎn)M作一個(gè)面積元，取此面積元的正法線方向?yàn)閚，它與的周界線c的繞行方向成右手螺旋關(guān)系，如圖1.1.15所示。dl圖1.1.15

n與dl的關(guān)系cMn保持n的方向不變，使面積元以任意方式縮向點(diǎn)M，取極限此極限稱為矢量場F在點(diǎn)處沿n方向的環(huán)量密度。從此定義看出。環(huán)量密度是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，其數(shù)值與點(diǎn)M的坐標(biāo)有關(guān)，還與面積元的正法線方向n有關(guān)。

此定義表明，矢量場F中某點(diǎn)沿給定方向的環(huán)量密度，就等于rotF在該點(diǎn)沿給定方向上的投影。這與標(biāo)量場中的梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系相似，標(biāo)量場在某方向的方向?qū)?shù)，就等于梯度在該方向的投影。矢量的旋度定義與選取的坐標(biāo)系無關(guān)，但在進(jìn)行旋度計(jì)算時(shí)通常要選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系。在直角坐標(biāo)系中，旋度的表示式為：引入矢量微分算符，上式可寫成：

為便于記憶，將上式寫成行列式形式在圓柱坐標(biāo)系中在球坐標(biāo)系中(3)斯托克斯定理從矢量的旋度定義出導(dǎo)出一個(gè)重要的關(guān)系式，稱為斯托克斯定理，表示為:其意義是：任意矢量場F的旋度沿場中任一個(gè)以c為周界的非閉合曲面s的面積分，等于矢量場F沿此周界的閉合線積分。(4)旋度與散度的區(qū)別比較矢量的旋度和散度的定義及在常用坐標(biāo)系中的表示式可看出，旋度和散度有以下不同：(a)一個(gè)矢量場的旋度是一個(gè)矢量場，而一個(gè)矢量場的散度是一個(gè)標(biāo)量場。(b)旋度所表示的是矢量場中各點(diǎn)的場量與漩渦源的關(guān)系，而散度所表示的是矢量場中各點(diǎn)的場量與通量源的關(guān)系。(c)旋度所描述的是矢量場的各個(gè)分量沿著與它相垂直的方向上的變化規(guī)律，而散度所描述的是矢量的各個(gè)分量沿著各自方向上的變化規(guī)律。例題:已知矢量場A的表示式為:試求：(a)矢量A沿圓周的閉合線積分；(b)對該圓面積的積分。解:(a)應(yīng)用圖14所示的關(guān)系，得:故上式變?yōu)閥xao圖1.1.16沿的線積分(b)本題的結(jié)論驗(yàn)證了斯托克斯定理。

例題:已知矢量求:和解：應(yīng)用球坐標(biāo)系中的散度和旋度表示式分別得:1.1.6拉普拉斯運(yùn)算入拉普拉斯算符，表示為:可用標(biāo)量函數(shù)得梯度得散度來表示，即在直角坐標(biāo)系中，對標(biāo)量函數(shù)有

即在圓柱坐標(biāo)系中，對標(biāo)量函數(shù)有:在球坐標(biāo)系中，對標(biāo)量函數(shù)有:

矢性拉普拉斯算符，定義為:可以證明，在直角坐標(biāo)系中有:應(yīng)該注意。標(biāo)性拉普拉斯算符和矢性拉普拉斯算符兩者在本質(zhì)上是完全不同的!!!，只有在直角坐標(biāo)系中，才有(2)式那樣簡單的表示式。在圓柱和圓球坐標(biāo)系下只能由(1)式進(jìn)行復(fù)雜的運(yùn)算。這時(shí)場的分量之間有耦合。1.1.7亥姆霍茲定理空間有限區(qū)域內(nèi)的任一個(gè)矢量場F，由該矢量場的散度、旋度以及邊界條件惟一地確定，并可表示為:式中如果g和G已知。則有亥姆霍茲定理斷言，當(dāng)g和G給定時(shí)，F(xiàn)就是確定的了，最多相差一個(gè)積分常量，而利用給定的邊界條件就可以確定該積分常量。1.2電磁場中的基本物理量及基本實(shí)驗(yàn)定律（１）電荷及電荷密度在電磁理論研究中，通常引入以下四種電荷源模型。體電荷模型面電荷模型(c)線電荷模型(d)點(diǎn)電荷模型2.電流及電流密度電荷在電場作用下的宏觀定向運(yùn)動形成電流通常用電流強(qiáng)度來描述，其定義是單位時(shí)間內(nèi)通過某一橫截面的電荷，表示為：電流強(qiáng)度一般簡稱為電流，它的單位為A。在電磁理論研究中，常用到以下三種電流源模型：體電流模型電荷在某一體積內(nèi)定向運(yùn)動所形成的電流稱為體電流。表示為：J又稱為體電流密度，但要注意，體電流密度J的單位是(b)面電流模型電流在一個(gè)厚度可以忽略的薄層內(nèi)流動所形成的電流稱為面電流，用面電流密度矢量來描述其分布。如圖1.2.1所示，與電流方向垂直的橫截面厚度趨于零，面積元變?yōu)榫€元，故得面電流密度矢量的大小為面電流密度的單位是。方向仍為正電荷運(yùn)動的方向。圖1.2.1面電流密度(c)線電流模型電荷在一個(gè)橫截面積可以忽略的細(xì)線中流動所形成的電流稱為線電流。長度元中流過電流I

，將稱為電流元，也是電磁理論中的重要概念。3.電流連續(xù)性方程它表明電荷體密度隨時(shí)間變化的點(diǎn)是體電流密度矢量場的源點(diǎn)。有則得這是恒定電流的連續(xù)性方程。

1.2.2電磁場的場量庫侖定律和電場強(qiáng)度庫侖定律是關(guān)于兩個(gè)點(diǎn)電荷之間作用力的定量描述，是實(shí)驗(yàn)結(jié)果。其數(shù)學(xué)表示為：如圖1.2.2所示。式中的稱為真空（或自由空間）的介電常數(shù)。實(shí)驗(yàn)表明，任何電荷都在自己周圍空間產(chǎn)生電場，電荷之間的相互作用力是通過電場傳遞的。用試驗(yàn)電荷在電場中所受的力來定義電場強(qiáng)度，表示為式中稱為試驗(yàn)電荷，表示它足夠的小，以使其引入不會影響原電場。對于圖1.2.2所示的情況，產(chǎn)生電場的源是點(diǎn)電荷q，其位置矢量為r’；試驗(yàn)電荷q，其位置矢量為r；，方向從源點(diǎn)指向場點(diǎn)。圖1.2.2

兩個(gè)點(diǎn)電荷之間的作用力oOxyz圖1.2.3

點(diǎn)電荷q的電場點(diǎn)電荷q的電場強(qiáng)度為電場強(qiáng)度E的單位是對線性媒質(zhì)中的線性支配方程可用疊加原理。對于由N個(gè)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場，場點(diǎn)r處的電場強(qiáng)度等于各個(gè)點(diǎn)電荷單獨(dú)產(chǎn)生的電場強(qiáng)度的矢量和，即對于電荷分別以體密度、面密度和線密度連續(xù)分布的帶電體，我們得到下列公式：

例題：計(jì)算均勻帶電有限長直導(dǎo)線的電場強(qiáng)度。解：如圖1.2.5所示，直導(dǎo)線的長度為2l,其上均勻分布著線密度為的電荷。對于直線狀帶電體，選用圓柱坐標(biāo)系是適宜的。此時(shí)電場分布具有軸對稱性，只需計(jì)算坐標(biāo)變量的平面上的電場分布。為簡便，取，此時(shí)場點(diǎn)的位置矢量為。取長度元將電荷視為點(diǎn)電荷，其位置矢量為可得:

圖1.2.5長為2l的直線電荷對于無限長均勻帶電直導(dǎo)線，在上式中令即得點(diǎn)的電場強(qiáng)度為

例:計(jì)算均勻帶電的環(huán)形薄圓盤軸線上任意點(diǎn)的電場強(qiáng)度。P(0,0,z)abrRds’dEyzx圖1.2.6