高考數(shù)學(xué)第四章三角函數(shù)解三角形第四節(jié)函數(shù)y=Asin(ωxφ)的圖象及其應(yīng)用教案

高考數(shù)學(xué)第四章三角函數(shù)、解三角形第四節(jié)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象及其應(yīng)用教課方案高考數(shù)學(xué)第四章三角函數(shù)、解三角形第四節(jié)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象及其應(yīng)用教課方案24/24高考數(shù)學(xué)第四章三角函數(shù)、解三角形第四節(jié)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象及其應(yīng)用教課方案第四節(jié)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及其應(yīng)用1．y＝Asin(ωx＋φ)的相關(guān)看法y＝Asin(ωx＋φ)振幅周期頻率相位初相(A＞0，ω＞0)2π1ωAT＝ωf＝T＝2πωx＋φφ2．五點(diǎn)法畫(huà)y＝Asin(ωx＋φ)一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖五點(diǎn)法畫(huà)y＝Asin(ωx＋φ)一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖時(shí)，要找五個(gè)重點(diǎn)點(diǎn)，以下表所示：xφφππ－φ3πφ2π－φ－ω－ω＋2ωω2ω－ωωωx＋φ0ππ3π2π22y＝Asin(ωx＋0A0－A0)3．由函數(shù)y＝sinx的圖象變換獲取y＝sin(ω＋φ)(＞0，ω＞0)的圖象的兩種方AxA法[小題體驗(yàn)]π1．函數(shù)y＝Asinωx＋3的振幅為3，周期為π，則A＋ω＝________.答案：5．用五點(diǎn)法作函數(shù)y＝sinx－π在一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，主要確定的五個(gè)點(diǎn)是、26____________、______、______、______.π2π7π5π13π答案：6，03，16，03，－16，03．將函數(shù)f(x)＝2sin2x的圖象上每一點(diǎn)向右平移π個(gè)單位長(zhǎng)度，得函數(shù)y＝g(x)的6圖象，則()＝________.gx答案：2sin2－πx31．函數(shù)圖象變換要明確，要弄清楚是平移哪個(gè)函數(shù)的圖象，獲取哪個(gè)函數(shù)的圖象．2．要注意平移前后兩個(gè)函數(shù)的名稱(chēng)可否一致，若不一致，應(yīng)先利用引誘公式化為同名函數(shù)．3．由y＝sinωx的圖象獲取y＝sin(ω＋φ)的圖象時(shí)，需平移的單位數(shù)應(yīng)為φ，AAxω而不是

|φ|.[小題糾偏

]1

π1．(2019·連云港調(diào)研

)若將函數(shù)

y＝sin

2x的圖象向左平移

3個(gè)單位長(zhǎng)度，則所獲取的圖象的函數(shù)剖析式為

________．剖析：將函數(shù)y＝sin12x的圖象向左平移π3個(gè)單位長(zhǎng)度，所獲取的圖象的函數(shù)剖析式為y＝sin1x＋πx＋π23＝sin26.答案：y＝sinxπ＋622．要獲取函數(shù)y＝sin2x的圖象，只需把函數(shù)y＝sin2x＋π3的圖象向右平移______個(gè)單位長(zhǎng)度．答案：π6考點(diǎn)一函數(shù)y＝Aωx＋φ的圖象與變換重點(diǎn)保分型考點(diǎn)——師生共研[典例引領(lǐng)]f(x)＝Asin(ωx＋φ)π某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫(huà)函數(shù)ω＞0，|φ|＜2在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，以下表：ωx＋φ0ππ3π22π2xπ5π36Asin(ωx＋φ)05－50請(qǐng)將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完滿，并直接寫(xiě)出函數(shù)f(x)的剖析式；(2)將y＝f(x)圖象上所有點(diǎn)向左平行搬動(dòng)θ(θ＞0)個(gè)單位長(zhǎng)度，獲取y＝g(x)的圖象．若y＝g(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為5π，求θ的最小值．，012作出函數(shù)f(x)在長(zhǎng)度為一個(gè)周期的閉區(qū)間上的圖象．解：(1)依照表中已知數(shù)據(jù)，解得A＝5，ω＝2，φ＝－π6，數(shù)據(jù)補(bǔ)全以下表：ωx＋φ0ππ3π2π22xππ7π5π13π12312612sin(ω＋φ)050－50Axπ且函數(shù)剖析式為f(x)＝5sin2x－6.π(2)由(1)知f(x)＝5sin2x－6，π則g(x)＝5sin2x＋2θ－6.由于函數(shù)y＝sinx圖象的對(duì)稱(chēng)中心為(kπ，0)，k∈Z，πkππ令2x＋2θ－6＝kπ，k∈Z，解得x＝2＋12－θ，k∈Z.由于函數(shù)y＝g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)5π成中心對(duì)稱(chēng)，，012因此令kπ＋π－θ＝5π，21212kππ解得θ＝2－3，k∈Z.π由θ＞0可知，當(dāng)k＝1時(shí)，θ獲取最小值6.由數(shù)據(jù)作出的圖象以下列圖：[由題悟法]函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的圖象的兩種作法設(shè)z＝ωx＋φ，由z取0，π，π，3π，2π來(lái)求出相應(yīng)的x，經(jīng)過(guò)列表，五點(diǎn)法22計(jì)算得出五點(diǎn)坐標(biāo)，描點(diǎn)后得出圖象由函數(shù)y＝sinx的圖象經(jīng)過(guò)變換獲取y＝Asin(ωx＋φ)的圖象，有兩種主圖象變換法要路子“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”[提示]平移變換和伸縮變換都是針對(duì)x而言，即x自己加減多少值，而不是依賴(lài)于ωx加減多少值．[即時(shí)應(yīng)用]1．(2018·蘇州高三暑期測(cè)試)將函數(shù)＝sin(2x＋φ)(0＜φ＜π)的圖象沿x軸向左y平移π個(gè)單位長(zhǎng)度，獲取函數(shù)y＝f(x)的圖象，若函數(shù)y＝f(x)的圖象過(guò)原點(diǎn)，則φ＝8________.剖析：由題意可得f(x)＝sinπ＋φ＝sinπy＝f(x)的2x＋2x＋＋φ，由于函數(shù)84πππ圖象過(guò)原點(diǎn)，因此sin＋φ＝0，因此4＋φ＝kπ(k∈Z)，即φ＝kπ－4(k∈Z)，又43π由于0＜φ＜π，因此φ＝4.3π答案：4ππ2．(2019·南京、鹽城一模)將函數(shù)y＝3sin2x＋3的圖象向右平移φ0＜φ＜2個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得函數(shù)為偶函數(shù)，則φ＝________.y＝3sin2x＋πy＝剖析：將函數(shù)3的圖象向右平移φ個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得函數(shù)為3sinx－φ＋π＝3sin2x＋π－2φ.由于所得的函數(shù)為偶函數(shù)，因此π－2φ＝kπ333＋π(k∈Z)，解得φ＝－kπ－π(k∈Z)，由于0＜φ＜π，因此k＝－1，得φ＝5π.22122125π答案：12考點(diǎn)二求函數(shù)y＝Aωx＋φ的剖析式重點(diǎn)保分型考點(diǎn)——師生共研[典例引領(lǐng)]1．(2018·南京高三年級(jí)學(xué)情調(diào)研)若函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分圖象以下列圖，則f(－π)的值為_(kāi)_______．剖析：由題圖可得T3π，則＝2π2＝2，＝＝3π，因此ω＝，由最高點(diǎn)的相位可知4ω342ππππ3＋φ＝2kπ＋2，k∈Z，得φ＝2kπ－6，k∈Z，又|φ|＜π，因此φ＝－6.因此f(x)π2sin3x－6，因此f(－π)＝－1.答案：－12．(2019·南師附中檢測(cè))函數(shù)f()＝sin(ω＋φ)xAxπA＞0，ω＞0，|φ|＜2的部分圖象以下列圖，則f(0)＝________.2π5ππ剖析：由圖象可知，A＝1，由4·ω＝6－3，得ω＝1.再依照五點(diǎn)法作圖可得1×π＋φ＝π，∴φ＝π，326ππ1故f(x)＝sinx＋6，∴f(0)＝sin6＝2.1答案：2[由題悟法]確定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)中參數(shù)的方法M－mM＋m求A，b：確定函數(shù)的最大值M和最小值m，則A＝2，b＝2；2π求ω：確定函數(shù)的周期T，則可得ω＝T；求φ：常用的方法有：①代入法：把圖象上的一個(gè)已知點(diǎn)代入(此時(shí)，ω，b已知)或代入圖象與直線y＝bA的交點(diǎn)求解(此時(shí)要注意交點(diǎn)在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)．②五點(diǎn)法：確定φ值時(shí)，經(jīng)常以搜尋“五點(diǎn)法”中的某一個(gè)點(diǎn)為打破口．詳盡以下：第一點(diǎn)圖象上升時(shí)與x軸的交點(diǎn)ωx＋φ＝0π第二點(diǎn)圖象的“峰點(diǎn)”ωx＋φ＝2第三點(diǎn)圖象下降時(shí)與x軸的交點(diǎn)ωx＋φ＝π第四點(diǎn)圖象的“谷點(diǎn)”3πωx＋φ＝2第五點(diǎn)ωx＋φ＝2π[即時(shí)應(yīng)用]1．已知函數(shù)f()＝sin(ω＋φ)的部分圖象以下列圖，則fπ＝________.2xAxTπ－ππ2ππ剖析：由題圖知A＝1，2＝3－6＝2，因此T＝π＝ω，得ω＝2，又f3＝sin2π＋φ＝0，因此φ＝－2π＋2kπ(k∈Z)或φ＝π＋2π(k∈Z)(舍去，由于f(0)3332ππ2π3＜0)，因此f(x)＝sin2x－3，故f2＝sinπ－3＝2.3答案：22．(2018·宿遷、泰州調(diào)研)設(shè)函數(shù)＝sinπ(0＜＜π)，當(dāng)且僅當(dāng)＝π時(shí)，yωx＋3xx12y獲取最大值，則正數(shù)ω的值為_(kāi)_____．剖析：由于0＜x＜π，ω＞0，因此ωx＋πππ，∈，ωπ＋333π又函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)x＝12時(shí)獲取最大值，π5πωπ＋3≤2，解得ω＝2.因此πωππ＋3＝2，答案：2考點(diǎn)三三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合問(wèn)題重點(diǎn)保分型考點(diǎn)——師生共研對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P47[典例引領(lǐng)]已知函數(shù)f(x)＝2sin2π＋x＋3cos2x.4求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞加區(qū)間；(2)若關(guān)于x的方程f(x)－＝2在x∈0，πm的取值范上有兩個(gè)不相同的解，求實(shí)數(shù)m2圍．解：(1)由f(x)＝2sin2π＋x＋3cos2x4π1－cos2＋2x＋3cos2x＝1＋sin2x＋3cos2xπ＝1＋2sin2x＋3，則由2kπ－π≤2x＋π≤2kπ＋π，k∈Z，2325ππ得kπ－12≤x≤kπ＋12，k∈Z.因此函數(shù)的單調(diào)遞加區(qū)間為kπ－5π，kπ＋π，k∈Z.1212由f(x)－m＝2，得f(x)＝m＋2，當(dāng)x∈0，π時(shí)，2x＋π∈π，4π，2333由于f(0)＝1＋2sinπ＝1＋3，函數(shù)f(x)的最大值為1＋2＝3，3f(x)－m＝2在x∈πf(x)＝m＋2在x∈因此要使方程0，2上有兩個(gè)不相同的解，則0，πf(x)和＝＋2在x∈0，π上有兩個(gè)不相同的解，即函數(shù)上有兩個(gè)不相同的交點(diǎn)，即2ym21＋3≤m＋2＜3，即3－1≤m＜1.因此實(shí)數(shù)m的取值范圍為[3－1,1)．[由題悟法]1．三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用問(wèn)題的求解思路先將y＝f(x)化為y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，再借助y＝Asin(ωx＋φ)的圖象和性質(zhì)(如定義域、值域、最值、周期性、對(duì)稱(chēng)性、單調(diào)性等)解決相關(guān)問(wèn)題．2．三角函數(shù)的零點(diǎn)、不等式問(wèn)題的求解思路把函數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)變?yōu)檎倚秃瘮?shù)形式y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)；畫(huà)出長(zhǎng)度為一個(gè)周期的區(qū)間上的函數(shù)圖象；利用圖象解決相關(guān)三角函數(shù)的方程、不等式問(wèn)題．[即時(shí)應(yīng)用](2019·蘇州調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝－2π1sin2ax＋4＋＋b(a＞0，b＞0)的圖象與x22π軸相切，且圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)之間的距離為2.求a，b的值；π(2)求f(x)在0，4上的最大值和最小值．解：(1)由于f(x)圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)之間的距離為π，2因此f(x)的周期為π，因此2π＝π，22a22π1因此a＝2，此時(shí)f(x)＝－2sin4x＋4＋2＋b.又由于f(x)的圖象與x軸相切，1221因此b＋2＝2，b＞0，因此b＝2－2.2π2(2)由(1)可得f(x)＝－2sin4x＋4＋2，πππ5π由于x∈0，4，因此4x＋4∈4，4，π5ππ2＋1πππ因此當(dāng)4x＋4＝4，即x＝4時(shí)，f(x)有最大值為2；當(dāng)4x＋4＝2，即x＝16時(shí)，f(x)有最小值為0.考點(diǎn)四三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用重點(diǎn)保分型考點(diǎn)——師生共研對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P47[典例引領(lǐng)

](2018·蘇北四市調(diào)研

)如圖，一個(gè)水輪的半徑為

4m，水輪圓心

O距離水面

2m，已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)

5圈，若是當(dāng)水輪上點(diǎn)

P從水中浮現(xiàn)時(shí)(圖中點(diǎn)

P0)開(kāi)始計(jì)算時(shí)間．將點(diǎn)P距離水面的高度z(m)表示為時(shí)間t(s)的函數(shù)；點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)大體需要多少時(shí)間？解：(1)以下列圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè)角φ－π是以O(shè)x為始邊，0為終邊的角．＜φ＜02OP每秒鐘內(nèi)所轉(zhuǎn)過(guò)的角為5×2π＝π.OP606π因此OP在時(shí)間t(s)內(nèi)所轉(zhuǎn)過(guò)的角為6t.由題意可知水輪逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，得z＝4sinπ＋φ＋2.6t當(dāng)t＝0時(shí)，z＝0，得sin1πφ＝－2，即φ＝－6.ππ故所求的函數(shù)關(guān)系式為z＝4sin6t－6＋2.(2)令z＝4sinπt－π＋＝，得sinπt－π＝，6626661πππ令6t－6＝2，得t＝4，故點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)大體需要4s.[由題悟法]三角函數(shù)模型在實(shí)質(zhì)應(yīng)用中表現(xiàn)的2個(gè)方面已知函數(shù)模型，利用三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)解決問(wèn)題，其重點(diǎn)是正確理解自變量的意義及自變量與函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)法規(guī)；把實(shí)責(zé)問(wèn)題抽象轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)問(wèn)題，建立三角函數(shù)模型，再利用三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題，其重點(diǎn)是建模．[即時(shí)應(yīng)用]1．(2019·蘇北四市調(diào)研)如圖，摩天輪的半徑為40m，O點(diǎn)距地面的高度為50m，摩天輪作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每12分鐘轉(zhuǎn)一圈，摩天輪上點(diǎn)P的初步地址在最低處，則點(diǎn)P距地面的高度(m)與時(shí)間t(分鐘)的函數(shù)剖析式為_(kāi)_______________．h剖析：作出以下列圖的平面直角坐標(biāo)系，由已知，可設(shè)函數(shù)剖析式為h＝50－40cos(ωt＋φ)，2ππ∵摩天輪作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每12分鐘轉(zhuǎn)一圈，∴ω＝12，ω＝6.∵摩天輪上點(diǎn)P的初步地址在最低處，∴當(dāng)t＝0時(shí)，h＝50－40cosφ＝10，解得φ＝0.π∴所求函數(shù)剖析式為h＝50－40cos6t.π答案：h＝50－40cos6t2．某實(shí)驗(yàn)室一天的溫度(單位：℃)隨時(shí)間t(單位：h)的變化近似滿足函數(shù)關(guān)系：f(t)ππ＝10－3cos12t－sin12t，t∈[0,24)，則實(shí)驗(yàn)室這日的最大溫差為_(kāi)_______℃.3π1πππ剖析：由于f(t)＝10－22cos12t＋2sin12t＝10－2sin12t＋3，πππ7π又0≤t＜24，因此3≤12t＋3＜3，因此－1≤sinπ＋π12t3≤1.ππ當(dāng)t＝2時(shí)，sin12t＋3＝1；π當(dāng)t＝14時(shí)，sin12t＋3＝－1.于是f(t)在[0,24)上的最大值為故實(shí)驗(yàn)室這日最高溫度為12答案：4

12，最小值為℃，最低溫度為

8.8℃，最大溫差為

4℃.一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快π1．y＝2sin2x－4的初相為_(kāi)_______．π答案：－4π2．函數(shù)f(x)＝3sin2－4，x∈R的最小正周期為_(kāi)_______．2π剖析：最小正周期為T(mén)＝1＝4π.2答案：4π3．(2018·蘇州高三期中調(diào)研)函數(shù)y＝sin(2x＋φ)0＜φ＜π圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸是x2π＝12，則φ＝________.ππππ剖析：當(dāng)x＝12時(shí)，函數(shù)y＝sin(2x＋φ)0＜φ＜2獲取最值，因此6＋φ＝kπ＋2，πππk∈Z，解得φ＝kπ＋3，k∈Z，又0＜φ＜2，因此φ＝3.答案：π31|φ|ππ4．已知函數(shù)f(x)＝sin2x＋φ＜2，x＝3為f(x)的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，將f(x)的圖象向左平移π個(gè)單位長(zhǎng)度后獲取(x)的圖象，則()的剖析式為_(kāi)_______．6ggxπ剖析：∵x＝3為f(x)的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，∴π＋φ＝kπ＋π，k∈Z，即φ＝kπ＋π，k∈Z.623又|φ|＜π，∴φ＝π，23∴f(x)＝sin1πx＋.23將f(x)的圖象向左平移π1ππ＝sinx5π個(gè)單位長(zhǎng)度后獲取g(x)＝sinx＋＋＋1262632的圖象．答案：g(x)＝sinx5π＋122ππ5．函數(shù)f(x)＝tanωx(ω＞0)的圖象的相鄰兩支截直線y＝2所得線段長(zhǎng)為2，則f6＝________.π剖析：由題意可知該函數(shù)的周期為2，ππ因此ω＝2，ω＝2，f(x)＝tan2x.ππ因此f6＝tan3＝3.答案：3．·啟東中學(xué)檢測(cè))在函數(shù)y＝－2sin4x＋2π的圖象與x軸的交點(diǎn)中，離原點(diǎn)6(20183近來(lái)的交點(diǎn)坐標(biāo)是________．剖析：當(dāng)y＝0時(shí)，sin4x＋2π＝，因此4x＋2π＝π，∈，因此x＝kπ，k303kkZ4π－6∈Z，取k＝0，則x＝－π，取k＝1，則x＝π，因此離原點(diǎn)近來(lái)的交點(diǎn)坐標(biāo)π，0.61212π答案：12，0二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)31．振動(dòng)量y＝2sin(ωx＋φ)的頻率為2，則ω＝________.322π剖析：由于y＝2sin(ωx＋φ)的頻率為2，因此其周期T＝3，因此ω＝2＝3π.3答案：3π2．(2018·南通一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將函數(shù)y＝sin2＋πx3的圖象向右平π移φ0＜φ＜2個(gè)單位長(zhǎng)度．若平移后獲取的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則φ的值為_(kāi)_______．剖析：將函數(shù)＝sin2x＋π的圖象向右平移φ0＜φ＜π個(gè)單位長(zhǎng)度，y32π獲取函數(shù)y＝sin2x－2φ＋3的圖象．π∵平移后獲取的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且0＜φ＜2，∴－2φ＋π＝0，解得φ＝π.36π答案：6π3.函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(x∈R)ω＞0，|φ|＜2的部分圖ππ象以下列圖，若是x1，x2∈－6，3，且f(x1)＝f(x2)，則f(x1＋x2)________.Tπππ剖析：由圖可知，2＝3－－6＝2，則T＝π，ω＝2，ππ－6＋3ππ又由于2＝12，因此f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)12，1，即sin2×π＋φ＝1，得φ＝π，123因此f(x)＝sin2x＋π.3πππ而x1＋x2＝－＋＝，因此f(x1＋x2)＝fπππ2π36＝sin2×6＋3＝sin3＝2.3答案：24．(2019·啟東中學(xué)檢測(cè))將函數(shù)f(x)＝2sin(2x＋φ)(φ＜0)的圖象向左平移π個(gè)單3位長(zhǎng)度，獲取偶函數(shù)g(x)的圖象，則φ的最大值是________．剖析：將函數(shù)f(x)＝2sin(2x＋φ)(φ＜0)的圖象向左平移π個(gè)單位長(zhǎng)度，獲取函數(shù)g(x)3＝2sin2x＋π3＋φ2π2sin2x＋3＋φ的圖象．∵g(x)是偶函數(shù)，∴2π＋φ＝π＋kπ，k∈Z，32π∴φ＝－6＋kπ，k∈Z.π又φ＜0，∴φ的最大值是－6.π答案：－6已知函數(shù)f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)為奇函數(shù)，該函數(shù)的部分圖象以下列圖，△EFG(點(diǎn)G是圖象的最高點(diǎn))是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則f(1)＝________.2ππ剖析：由題意得，A＝3，T＝4＝ω，ω＝2.又由于f(x)＝Acos(ωx＋φ)為奇函數(shù)，πππ因此φ＝2＋kπ，k∈Z，取k＝0，則φ＝2，因此f(x)＝－3sin2x，因此f(1)＝－3.答案：－3πππ6．若函數(shù)f(x)＝3sinωx－3(ω＞0)的最小正周期為2，則f3＝________.ππ剖析：由f(x)＝3sinωx－3(ω＞0)的最小正周期為2，得ω＝4.π＝3sin4×π－π因此f333＝0.答案：07．已知函數(shù)f(x)＝3sinπ(ω＞0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的圖象完滿相同，若ωx－6πx∈0，2，則f(x)的值域是________．πππ2π剖析：f(x)＝3sinωx－6＝3cos2－ωx－6＝3cosωx－3，易知ω＝2，則f(x)＝3sin2x－π，6由于x∈ππ≤2x－π5π0，，因此－66≤6，23因此－2≤f(x)≤3.答案：3－，328．已知函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ為實(shí)數(shù)，若f(x)≤fπ對(duì)x∈R恒建立，6π且f2＞f(π)，則f(x)的單調(diào)遞加區(qū)間是________．剖析：由于f(x)≤fπ對(duì)x∈R恒建立，即fπ＝sinπ＋φ＝1，因此φ＝663kπ＋π6π(k∈Z)．由于f2＞f(π)，因此sin(π＋φ)＞sin(2π＋φ)，即sinφ＜0，因此φ＝－5π5π，因此由三角函數(shù)的單調(diào)性知2x＋2kπ(k∈Z)，因此f(x)＝sin2x－665πππ－6∈2kπ－2，2kπ＋2(k∈Z)，解得x∈kπ＋π，kπ＋2π(k∈Z)．63答案：kπ＋π，kπ＋2π(k∈Z)63π9．(2019·連云港調(diào)研)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0，|φ|＜2的最小正π周期為π，點(diǎn)P6，2為其圖象上一個(gè)最高點(diǎn)．求f(x)的剖析式；(2)將函數(shù)f(x)圖象上所有點(diǎn)都向左平移π個(gè)單位長(zhǎng)度，獲取函數(shù)( )的圖象，求(x)3gxgπ在區(qū)間2，π上的值域．解：(1)由于函數(shù)f(x)的最小正周期為π，2π因此ω＝π，解得ω＝2.π又點(diǎn)P6，2為其圖象上一個(gè)最高點(diǎn)，因此A＝2，sinπ＋φ＝1，3πππ又－2＜φ＜2，因此φ＝6，因此f(x)＝2sin2x＋π6.π由題意得g(x)＝fx＋3ππ5π＝2sin2x＋3＋6＝2sin2x＋6，當(dāng)x∈π，π時(shí)，2x＋5π∈11π17π，6，266因此sin2x＋5π∈－1，1，2sin2x＋5π∈(－1,2]，626π，π上的值域?yàn)?－1,2]．故g(x)在區(qū)間210．已知函數(shù)f(x)＝sinωxcosωx＋3cos23ωx－(ω＞0)，直線x＝x1，x＝x2是2y＝f(x)圖象的任意兩條對(duì)稱(chēng)軸，且

|

x1－x2|的最小值為

π4.求f(x)的表達(dá)式；將函數(shù)f(x)的圖象向右平移π個(gè)單位長(zhǎng)度后，再將獲取的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)8為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，獲取函數(shù)y＝g(x)的圖象，若關(guān)于x的方程g(x)＋k＝0在區(qū)間0，π上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．2解：(1)f(x)＝1sin2ωx＋3(2cos2ωx－1)＝1sin2ωx＋3cos2ωx＝2222πsin2ωx＋3，由題意知，最小正周期T＝2×π＝π，422πππT＝2ω＝ω＝2，因此ω＝2，因此f(x)＝sin4x＋π3.(2)將f(x)的圖象向右平移π個(gè)單位后，獲取y＝sin4x－π的圖象，再將所得圖象所68有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，獲取y＝sin2x－π的圖象，因此g(x)＝6πsin2x－6.令2－π＝，若0≤≤π，則－π≤≤5π.2666由于

g(x)＋k＝0在區(qū)間

0，π2

上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，即函數(shù)

y＝sin

t

與y＝－k在π5π區(qū)間－6，6

上有且只有一個(gè)交點(diǎn)，作出函數(shù)

y＝sin

t

的圖象以下列圖．1

1由正弦函數(shù)的圖象可知－

2≤－k＜2或－k＝1.1

1因此－

2＜k≤2或

k＝－1.因此實(shí)數(shù)k的取值范圍為11－2，2∪{－1}．三登臺(tái)階，自主選做志在沖刺名校1．已知函數(shù)f(x)＝2sin2x－π－1在區(qū)間[a，b](a，b∈R，且a＜b)上最少含有103個(gè)零點(diǎn)，在所有滿足條件的[，]中，－a的最小值為_(kāi)_______．a(chǎn)bb剖析：要使b－a最小，則f(x)在區(qū)間[a，b]上零點(diǎn)個(gè)數(shù)恰好是10，由函數(shù)f(x)的圖象可知，一個(gè)周期內(nèi)只有2個(gè)零點(diǎn)，且兩個(gè)零點(diǎn)之間的最小間隔為π，因此滿足條件的b－3π13πa的最小值為3＋4π＝3.13π答案：32.水車(chē)在古代是進(jìn)行灌溉引水的工具，是人類(lèi)的一項(xiàng)古老的發(fā)明，也是人類(lèi)利用自然和改造自然的象征．如圖是一個(gè)半徑為R的水車(chē)，一個(gè)水斗從點(diǎn)(33，－3)出發(fā)，沿圓周按逆時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)一周用A時(shí)60秒．經(jīng)過(guò)t秒后，水斗旋轉(zhuǎn)到P點(diǎn)，設(shè)P的坐標(biāo)為(x，y)，其縱坐標(biāo)滿足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ)t≥0，ω＞0，|φ|＜π2.則以下表達(dá)正確的選項(xiàng)是________．ππ①R＝6，ω＝30，φ＝－6；②當(dāng)t∈[35,55]時(shí)，點(diǎn)P到x軸的距離的最大值為6；③當(dāng)t∈[10,25]時(shí)，函數(shù)y＝f(t)單調(diào)遞減；④當(dāng)t＝20時(shí)，|PA|＝63.2π剖析：①由點(diǎn)A(33，－3)，可得R＝6，由旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)60秒，可得T＝ω＝60，則ω＝π，由點(diǎn)(33，－3)，可得∠＝π，則φ＝－π，故①正確；30AAOx66ππππ5ππ②由①知，f(t)＝6sin30t－6，當(dāng)t∈[35,55]時(shí)，30t－6∈π，3，即當(dāng)30t－π＝3π時(shí)，點(diǎn)(0，－6)，點(diǎn)P到x軸的距離的最大值為6，故②正確；62Pπππ2π③當(dāng)t∈[10,25]時(shí)，30t－6∈6，3，由正弦函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)y＝f(t)在[10,25]上有增有減，故③錯(cuò)誤；④f(t)＝6sin306t＝20時(shí)，水車(chē)旋轉(zhuǎn)了三分之一周期，則∠AOP3πt－π，當(dāng)＝2π，因此|PA|＝63，故④正確．答案：①②④3.(2019·如皋中學(xué)模擬)如圖，在海岸線EF一側(cè)有一休閑游樂(lè)場(chǎng)，游樂(lè)場(chǎng)的前一部分界線為曲線段FGBC，該曲線段是函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，φ∈(0，π))，x∈[－4,0]的圖象，圖象的最高點(diǎn)為B(－1,2)．界線的中間部分為長(zhǎng)1km的直線段CD，且CD∥EF.游樂(lè)場(chǎng)的后一部分界線是以O(shè)為圓心的一段圓弧DE.求曲線段FGBC的函數(shù)表達(dá)式；曲線段FGBC上的入口G距海岸線EF的近來(lái)距離為1km，現(xiàn)準(zhǔn)備從入口G修一條筆直的景觀路到O，求景觀路GO的長(zhǎng)；如圖，在扇形ODE地域內(nèi)建一個(gè)平行四邊形休閑區(qū)OMPQ，平行四邊形的一邊在海岸線EF上，一邊在半徑OD上，別的一個(gè)極點(diǎn)P在圓弧DE上，且∠POE＝θ，求平行四邊形休閑區(qū)OMPQ面積的最大值及此時(shí)θ的值．解：(1)由已知條件，得A＝2，T2ππ∵＝3，∴＝＝12，∴ω＝.4Tω6又∵當(dāng)x＝－1時(shí)，有y＝2sin－π＋φ＝2，φ∈(0，π)，6∴φ＝2π.∴曲線段的剖析式為3FGBCy＝2sinπx＋2π，x∈[－4,0]．63(2)由y＝2sinπ2πx＋＝1，63π2πππ2π5π得6x＋3＝6＋2kπ(k∈Z)或6x＋3＝6＋2kπ(k∈Z)，解得x＝12k－3或x＝12k＋1(k∈Z)，又x∈[－4,0]，∴x＝－3，∴G(－3,1)，∴OG＝10.∴景觀路GO長(zhǎng)為10km.如圖，易知OC＝3，CD＝1，∴OD＝2，∠COD＝π6，作PP1⊥x軸于P1點(diǎn)，在Rt△OPP1中，PP1＝OPsinθ＝2sinθ，在△OMP中，OPOM2π＝π，sin3sin3－θOP·sinπ－θπ－θ＝2cosθ－∴＝3＝4·sin23sinθ.OM2π333sin3故S平行四邊形OMP·1＝23·2sin43233232343π23πθ＝2sin2θ＋3cos2θ－3＝3sin2θ＋6－3，θ∈0，3.當(dāng)πππ232θ＋＝，即θ＝時(shí)，平行四邊形Q面積的最大值為.626OMP3命題點(diǎn)一同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及引誘公式1.(2017·北京高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的1β＝________.終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．若sinα＝，則sin3剖析：法一：當(dāng)角α的終邊在第一象限時(shí)，取角α終邊上一點(diǎn)P1(22，1)，其關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)

(－22，1)在角β的終邊上，此時(shí)

sin

β＝1；當(dāng)角α的終邊在第二象限時(shí)，3取角α終邊上一點(diǎn)

P2(－22，1)，其關(guān)于

y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)

(2

2，1)在角β的終邊上，此時(shí)sin

1β＝3.綜上可得

sin

1β＝3.法二：令角α與角β均在區(qū)間(0，π)內(nèi)，故角α與角β互補(bǔ)，得sinβ＝sinα13.sinβ＝sin(2kπ＋π－α)＝sin(π－α)＝sin1(k∈Z)．法三：由已知可得，α＝31答案：32．(2016·全國(guó)卷Ⅲ改編)若tan32α＝________.α＝，則cosα＋2sin24322α＝cos2α＋4sinαcosα1＋4tanα剖析：由于tanα＝，則cosα＋2sin22＝2＝4sinα＋cosαtanα＋131＋4×46432＝25.4＋164答案：25π53．(2014·江蘇高考)已知α∈2，π，sinα＝5.π求sin4＋α的值；5π求cos6－2α的值．解：(1)由于α∈π，π，sinα＝525，因此cosα＝－1－sin2α＝－255.π＋αππ故sin4＝sin4cosα＋cos4sinα＝2×－25＋2×5＝－10.25251052554(2)由(1)知sin2α＝2sinαcosα＝2×5×－＝－5，cos2α＝1－2sin2523α＝1－2×＝，55因此cos5π－2α＝cos5πcos2α＋sin5πsin2α666＝－3×3＋1×－425254＋33＝－10.4．(2018·浙江高考)已知角α的極點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，它4的終邊過(guò)點(diǎn)P－5，－5.(1)求sin(α＋π)的值；5若角β滿足sin(α＋β)＝13，求cosβ的值．解：(1)由角α的終邊過(guò)點(diǎn)P－3，－4，554得sinα＝－5.因此sin(α＋π)＝－sin4α＝.54由角α的終邊過(guò)點(diǎn)P－5，－5，3得cosα＝－5.由sin(α＋β)＝5，得cos(α＋β)＝±12.1313由β＝(α＋β)－α，得cosβ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα，5616因此cosβ＝－65或cosβ＝65.命題點(diǎn)二三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.(2018·江蘇高考)已知函數(shù)y＝sin(2x＋φ)ππx＝π－＜φ＜的圖象關(guān)于直線322對(duì)稱(chēng)，則φ的值為_(kāi)_______．剖析：由題意得fπ2π＋φ3＝sin3＝±1，2ππ∴3＋φ＝kπ＋2，k∈Z，π∴φ＝kπ－，k∈Z.ππ∵φ∈