初中數(shù)學(xué)輔助線總結(jié)計(jì)劃大全詳細(xì)例題付

初中數(shù)學(xué)輔助線總結(jié)計(jì)劃大全詳細(xì)例題付初中數(shù)學(xué)輔助線總結(jié)計(jì)劃大全詳細(xì)例題付PAGE35/35PAGE35初中數(shù)學(xué)輔助線總結(jié)計(jì)劃大全詳細(xì)例題付PAGE初中數(shù)學(xué)輔助線大全詳細(xì)例題付答案

[引出問(wèn)題]在幾何證明或計(jì)算問(wèn)題中，常常需要增加必需的輔助線，它的目的可以歸納為以下三點(diǎn)：

一是經(jīng)過(guò)增加輔助線，使圖形的性質(zhì)由隱蔽得以顯現(xiàn)，從而利用相關(guān)性質(zhì)去解題；二是經(jīng)過(guò)增加輔助線，

使分其余條件得以會(huì)合，從而利用它們的互相關(guān)系解題；三是把新問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)橐呀?jīng)解決過(guò)的舊問(wèn)題加以解

決。值得注意的是輔助線的增加目的與已知條件和所求結(jié)論相關(guān)。下邊我們分別舉例加以說(shuō)明。

[例題解析]

一、倍角問(wèn)題

例1：如圖1，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于D。

求證：∠DBC=1∠BAC.A2D解析：∠DBC、∠BAC所在的兩個(gè)三角形有公共角∠C，可利用三角形內(nèi)角和來(lái)溝通∠DBC、∠BAC和∠C的關(guān)系。BC證法一：∵在△ABC中，AB=AC，∴∠ABC=∠C=1（180°-∠BAC）=90°-1∠BAC。22∵BD⊥AC于D°∴∠BDC=90°°°-1∠BAC)=1∠BAC∴∠DBC=90-∠C=90-(9022即∠DBC=1∠BAC2解析二：∠DBC、∠BAC分別在直角三角形和等腰三角形中，由所證的結(jié)論“∠DBC=?∠BAC”中含有角的倍、半關(guān)系，所以，可以做∠A的均分線，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)，把?∠A放在直角三角形中求解；也可以把∠DBC沿BD翻折構(gòu)造2∠DBC求解。證法二：如圖2，作AE⊥BC于E，則∠EAC+∠C=90°A1AB=AC∴∠EAG=∠BAC2DBD⊥AC于D

∴∠DBC+∠C=90°BCE∴∠EAC=∠DBC（同角的余角相等）

即∠DBC=1∠BAC。2證法三：如圖3，在AD上取一點(diǎn)E，使DE=CD連接BEA∵BD⊥ACE∴BD是線段CE的垂直均分線D∴BC=BE∴∠BEC=∠CBC°∠C∴∠EBC=2∠DBC=180-2AB=AC

∴∠ABC=∠C

°∴∠BAC=180-2∠C

∴∠EBC=∠BAC

∴∠DBC=1∠BAC2

說(shuō)明：例1也可以取BC中點(diǎn)為E，連接DE，利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半和等腰

三角形的性質(zhì)求解。同學(xué)們沒(méi)關(guān)系試一試。

例2、如圖4，在△ABC中，∠A=2∠B

22求證：BC=AC+AC?AB

22解析：由BC=AC+AC?AB=AC（AC+AB），啟示我們成立兩個(gè)相似

的三角形，且含有邊BC、AC、AC+AB.又由已知∠A=2∠B知，

成立以AB為腰的等腰三角形。

證明：延伸CA到D,使AD=AB,則∠D=∠DBA

A

∵∠BAC是△ABD的一個(gè)外角

∴∠BAC=∠DBA+∠D=2∠D

∵∠BAC=2∠ABC

∴∠D=∠ABC

又∵∠C=∠C

B

C

∴△ABC∽△BDC∴

ACBC

BCCD

2∴BC=AC?CDAD=AB

22∴BC=AC（AC+AB）=AC+AC?AB二、中點(diǎn)問(wèn)題例3．已知：如圖，△ABC中，AB=AC,在AB上取一點(diǎn)D，在AC的延伸線上取一點(diǎn)E,連接DE交BC于點(diǎn)F,若F是DE的中點(diǎn)。求證：ABD=CE解析：因?yàn)锽D、CE的形成與D、E兩點(diǎn)相關(guān)，D但它們所在的三角形之間因?yàn)椴皇峭惾切危?/p>

關(guān)系不顯然，因?yàn)闂l件F是DE的中點(diǎn)，如何利用這個(gè)

中點(diǎn)條件，把不一樣樣類三角形轉(zhuǎn)變?yōu)橥惾切问絾?wèn)題的要點(diǎn)。

由已知AB=AC,聯(lián)系到當(dāng)過(guò)D點(diǎn)或E點(diǎn)作平行線，就可以形成新

的圖形關(guān)系——構(gòu)成等腰三角形，也就是相當(dāng)于先把BD或CE

挪動(dòng)一下地點(diǎn)，從而使問(wèn)題得解。

證明：證法一：過(guò)點(diǎn)D作DG∥AC,交BC于點(diǎn)G（如上圖）

∴∠DGB=∠ACB,∠DGF=∠FCE

∵AB=AC∴∠B=∠ACB

∴∠B=∠DGB∴BD=DG

∵F是DE的中點(diǎn)∴DF=EF

在△DFG和△DEFC中，

BC

GF

E

DFG=EFC

DGF=FCE

DF=EF

∴△DFG≌EFC

∴DG=CE∴BD=CE

A

證法二：如圖，在AC上取一點(diǎn)H,使CH=CE,連接DH∵F是DE的中點(diǎn)DHBCFE∴CF是△EDH的中位線∴DH∥BC

∴∠ADH=∠B,∠AHD=∠BCA

∵AB=AC∴∠B=∠BCA

∴∠ADH=∠AHD∴AD=AH

∴AB-AD=AC-AH∴BD=HC

∴BD=CE

說(shuō)明：本題信息特色是“線段中點(diǎn)”。也可以過(guò)E作EM∥BC,交AB延伸線于點(diǎn)G，模擬證法二求解。

例4．如圖，已知AB∥CD，AE均分∠BAD，且E是BC的中點(diǎn)求證：AD=AB+CD

AB證法一：延伸AE交DC延伸線于F

AB∥CD∴∠BAE=∠F,∠B=∠ECF

E是BC的中點(diǎn)∴BE=CEE

在△ABE和△CEF中

BAE=F

B=ECF

BE=CE

∴△ABE≌△CEF

AB=CF

AE均分∠ABD

∴∠BAE=∠DAE

∴∠DAE=∠F

AD=DF

DF=DC+CF

CF=AB

AD=AB+DC

證法二：取AD中點(diǎn)F，連接EF

AB∥CD，E是BC的中點(diǎn)∴EF是梯形ABCD的中位線

F

C

AB

FE

D

CEF∥AB,EF=1（AB+CD）2

∴∠BAE=∠AEF

AE均分∠BAD

∴∠BAE=∠FAE

∴∠AEF=∠FAE

AF=EF

AF=DF

1∴EF=AF=FD=AD2∴1(AB+CD)=1AD22

∴AD=AB+CD

三．角均分線問(wèn)題

例5．如圖（1），OP是∠MON的均分線，請(qǐng)你利用圖形畫(huà)一對(duì)以O(shè)P所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形。

請(qǐng)你參照這個(gè)全等三角形的方法，解答以下問(wèn)題。

1）如圖（2），在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°,AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的均分線，

AD、CE訂交于點(diǎn)F,請(qǐng)你判斷并寫(xiě)出EF與FD之間的數(shù)目關(guān)系。

（2）如圖（3），在△ABC中，假如∠ACB不是直角，而（1）中的其余條件不變，請(qǐng)問(wèn)，你在（1）

中所得的結(jié)論能否依舊成立若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明原由。

ME

OBAPE

FD

F

NAC

(1

(2

B

ED

解析：本題屬于學(xué)習(xí)慣題型。這種題型的特色是描述一種方法，要修業(yè)生依據(jù)指定的方法解題。指定

方法是角均分問(wèn)題的“翻折法”得全等形。

解：（1）EF=FD

（2）答：（1）結(jié)論EF=FD依舊成立

原由：如圖（3），在AC上截取AG=AE,連接FG

在△AEF和△AGF中，

AE=AG

EAF=FAG

AF=AF

∴△AEF≌△AGF

EF=GF,∠EFA=∠GFA

由∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC∠BCA的均分線

可得∠FAG+∠FCA=60°

∴∠EFA=∠GFA=∠DFC=60°

∴∠GFC=60°

在△CFG和△CFD中

GFC=DFC

CF=CF

DCE=ACE

∴△CFG≌△CFD

FG=FD

又因?yàn)镋F=GFEF=FD

說(shuō)明：學(xué)習(xí)慣問(wèn)題是新課程下的新式題，意在觀察學(xué)生現(xiàn)場(chǎng)學(xué)習(xí)能力和自學(xué)能力。

拋開(kāi)本題要求從角均分線的角度想，本題也可以利用角均分線的性質(zhì)“角均分線上的點(diǎn)到角的兩邊

的距離相等”達(dá)到求解的目的。

B解法二：（2）答（1）中的結(jié)論EF=FD依舊成立。原由：作FG⊥AB于G,FH⊥AC于H,FM⊥BC于M∵∠EAD=∠DAC∴FG=FHEGMD∵∠ACE=∠BCE∴FH=FGF∵∠B=60°∴∠DAC+∠ACE=60°∴∠EFD=∠AFC=180°-60°=120°

在四邊形BEFD中

∠BEF+∠BDF=180°

∵∠BDF+∠FDC=180°∴∠FDC=∠BEF

在△EFG和△DFM中

AHC

(3

FDC=BEF

EGF=DMF=900

FG=FM

EFG≌△DFM

EF=DF

四、線段的和差問(wèn)題

例6如圖，在△ABC中，AB=AC,點(diǎn)P是邊BC上一點(diǎn)，PD⊥AB于D,PE⊥AC于E,CM⊥AB于M,試一試究線段PD、PE、CM的數(shù)目關(guān)系，并說(shuō)明原由。

解析：判斷三條線斷的關(guān)系，一般是指兩較短線段的和與較長(zhǎng)線段的大小關(guān)系，經(jīng)過(guò)丈量猜想

PD+PE=CM.解析：在CM上截取MQ=PD，得□PQMD,再證明CQ=PEA答：PD+PE=CM證法一：在CM上截取MQ=PD，連接PQ.MQEDCM⊥AB于M,PD⊥AB于D

∴∠CMB=∠PDB=90°

CM∥DP

∴四邊形PQMD為平行四邊形

PQ∥AB

∴∠CQP=∠CMB=90°∠QPC=∠B

AB=AC

∴∠B=∠ECP

∴∠QPC=∠ECP

PE⊥AC于E

∴∠PEC=90°在△PQC和△PEC中APQC=PECQPC=ECPPC=PCME∴△PQC≌△PEC∴QC=PED∵M(jìn)Q=PD∴MQ+QC=PD+PEBPC∴PD+PE=CM解析2：延伸DF到N使DN=CM,連接CN,得平行四邊形DNCM,N

再證明PN=PE

證法2：延伸DF到N，使DN=CM，連接CN

同證法一得平行四邊形DNCM，及△PNC≌△PEC

PN=PE

PD+PE=CM

解析3：本題中含有AB=AC及三條垂線段PD、DE、CM，且SVPABSVPACSVABC，所以可以用面積法求解。A證法三：連接AP,∵PD⊥AB于D,PE⊥AC于E,CM⊥AB于M

∠PQC=∠PEC∠QPC=∠ECPPC=PCM

ED∴SVABP1AB?PD2SVACP1AC?PE2SABC1AB?CMV2∵AB=AC且SVPABSVPACSVABC1AB?PD1AB?PE1AB?CM∴222QAB0PDPECM說(shuō)明：當(dāng)題目中含有兩條以上垂線段時(shí)，可以考慮面積法求解。

五、垂線段問(wèn)題例7在平行四邊形ABCD中，P是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，且PEAB,PFBC,垂足分別是E、F求證：ABPFCBCDPEPFAEB解析：將比率式ABPF轉(zhuǎn)變?yōu)榈确e式AB?PEBC?PF，聯(lián)想到11，BCPEAB?PE2BC?PF2即△PAB與△PBC的面積相等，從而用面積法達(dá)到證明的目的。

證明：連接AC與BD交于點(diǎn)O,連接PA、PC

在平行四邊形ABCD中，AO=CO

SVAOBSVBOCSVAOPSVCOP同理，SVAOBSVAOPSVBOCSVCOPSVPABSVPBC∵PEAB,PFBC,SVPAB11AB?PE,SVPBCBC?PF2211AB?PEBC?PF22

AB?PEBC?PF

ABPF

BCPE

A

ED

BFC

例8求證：三角形三條邊上的中線訂交于一點(diǎn)。

解析：這是一個(gè)文字表達(dá)的命題。要證明文字命題，需要依據(jù)

題意畫(huà)出圖形，再依據(jù)題意、聯(lián)合圖形寫(xiě)出已知、求證。

已知：△ABC中，AF、BD、CE是其中線。

求證：AF、BD、CG訂交于一點(diǎn)。

解析：要證三線交于一點(diǎn)，只要證明第三條線經(jīng)過(guò)另兩條線的交點(diǎn)即可。

證明：設(shè)BD、CE訂交于點(diǎn)G，連接AG，并延伸交BC于點(diǎn)F,.QADDCSVABDSVCBD,SVAGDSVCGDSVAGBSVCGB同理，SVCGBSVAGCSVAGBSVAGC作BM⊥AF,于M,CN⊥AF,于N

則SVAGB1AG?BM,SVAGC1AG?CN2211AG?BMAG?CN22BMCN,,在△BMF和△CNF中BFMCFN

BMFCNF

BMCN

∴△BMF≌△CNF

BF'CF'

AF,是BC邊上的中線

又∵AF時(shí)BC邊上的中線

AF與AF,重合即AF經(jīng)過(guò)點(diǎn)D

AF、BD、CE三線訂交于點(diǎn)G

所以三角形三邊上的中線訂交于一點(diǎn)。

六、梯形問(wèn)題例9．以線段a=16,b=13為梯形的兩底，以c=10為一腰，則另一腰長(zhǎng)d的取值范圍是＿解析：如圖，梯形ABCD中，上底b=13，下底a=16，腰AD=c=10，過(guò)B作BE∥AD,獲得平行四邊形ABED，從而得AD=BE=10,AB=DE=13AB所以EC=DC-DE=16-13=3.所以另一腰d的取值范圍是10-3＜d＜10+3DEC答案：7＜d＜13例10．如圖，已知梯形ABCD中，AB∥DC,高AE=12,BD=15,AC=20,求梯形ABCD的面積。

解析：已知條件中給出兩條對(duì)角線的長(zhǎng)，但對(duì)角線地點(diǎn)交錯(cuò)，條件一時(shí)用不上。其余，求梯形面積

只要求出上、下底的和即可，不用然求出上、下底的長(zhǎng)，所以考慮平移腰。解：解法一：如圖，過(guò)A作AF∥BD,交CD延伸線于F

QAB//FC

AB

四形ABDF是平行四形

FDAB,AFBD15

FCABDC

QAEFCAEF。FDECAEC90在直角三角形AEF中，AE=12,AF=15EFAF2AE21521229在直角三角形AEC中，AE=12,AF=15

ECAC2AE220212216ABDCFCEFEC91625S梯形ABCD1(ABDC)?AE1251215022

AB

解法二：如圖，過(guò)B作BF⊥DC于F

∴∠BFC=90°∵AE⊥DC于E

AED=AEC=90。。DEFCAEC=BFC=90

AE//BF

QAB//DC

ABFE是平行四形

BFAC12,ABEF在直角三角形ABC中，AE12,AC20ECAC2AE216在直角三角形BDF中，

BF12,BD15DFBD2BF29ABDCDFCE91625S梯形ABCD1(ABDC)?AE1251215022

例11.如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC,∠B+∠C=90°,M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，

試說(shuō)明：MN1(BCAD)2G

解析1：∠B+∠C=90°，考慮延伸兩腰，使它們訂交于

AD

一點(diǎn)，M

構(gòu)成直角三角形。

解法1：延伸BA、CD交于點(diǎn)G,連接GM、GNBCNQBC90。BGC90。AMMDGMAMGAMAGM又BNCNGNBNBBGNQADPBCGAMBAGMBGN∵B、A、G共線∴G、M、N共線QGM1AD,GN1BC22MNGNGM1(BCAD)2解析2：考慮M、N分別為AD、BC中點(diǎn)，可以過(guò)M分別作AB、DC的平行線，梯形ABCD內(nèi)部構(gòu)成直

角三角形，把梯形轉(zhuǎn)變?yōu)槠叫兴倪呅魏腿切巍?/p>

解法2：作ME∥AB交BC于E,作MF∥DC交BC于F

∵AD∥BC∴四邊形ABEM、DCFM都是平行四邊形

∴BE=AM,FC=DMADMQAMMDBEFCQBNCNENFNBC由MEPAB,MFPDCMEFB,MFECENF。。QBC90MEFMFE90∴∠EMF=90°,又∵EN=FN

MN1EF1(BCAD)22

[模式歸納]

經(jīng)過(guò)上邊各例的解析、解證，發(fā)現(xiàn)增加合適的輔助線能使解題思路暢達(dá)，解答過(guò)程簡(jiǎn)捷。但輔助線

的增加靈巧多變，憂如比較難以掌握。其實(shí)添什么樣的輔助線怎么添輔助線與已知條件的特色和所求

問(wèn)題的形成關(guān)系親近。下邊分類歸納幾種常用的輔助線的增加方法。

一、倍角問(wèn)題

研究∠α＝2∠β或∠β=1∠α問(wèn)題通稱為倍角問(wèn)題。倍角問(wèn)題分兩種情況：21.∠α與∠β在兩個(gè)三角形中，常作∠α的均分線，得∠1=1∠α，此后證明∠1=∠β；或把∠β2

翻折，得∠2=2∠β，此后證明∠2=∠α（如圖一）

∠α與∠β在同一個(gè)三角形中，這樣的三角形常稱為倍角三角形。倍角三角形問(wèn)題常用構(gòu)造等腰三角形的方法增加輔助線（如圖二）

αα1ββ2圖二圖一

二中點(diǎn)問(wèn)題

已知條件中含有線段的中點(diǎn)信息稱為中點(diǎn)問(wèn)題。這種問(wèn)題常用三種方法增加輔助線

（1）延伸中線至倍（也許倍長(zhǎng)中線），如圖一。若圖形中沒(méi)有顯然的三角形的中線，也可以構(gòu)造

中線后，再倍長(zhǎng)中線，如圖二。2）構(gòu)造中位線，如圖三

3）構(gòu)造直角三角形斜邊上的中線，如圖四。

圖一圖二圖三圖四

三、角均分線問(wèn)題

已知條件中含有角均分線信息稱為角均分線問(wèn)題。常用的輔助線有兩種：

以角均分線所在直線為對(duì)稱軸，構(gòu)造全等三角形，如圖一、二所示。

由角均分線上的點(diǎn)向角的兩邊做垂線，構(gòu)造全等三角形，如圖二所示。

圖一圖二圖三

四、線段的和差問(wèn)題

已知條件或所求問(wèn)題中含有a+b=c或a=c-b，稱為線段的和差問(wèn)題，常用的輔助線有兩種：

短延伸：若AB=a,則延伸AB到M,使BM=b,此后證明AM=c；

長(zhǎng)截短：若AB=c,則在線段AB上截取AM=a,此后證明MB=b。

五、垂線段問(wèn)題

已知條件或所求問(wèn)題中含有兩條也許兩條以上的垂線段時(shí)，而所研究的問(wèn)題關(guān)系又不顯然時(shí)，可

以借助于可求圖形的面積轉(zhuǎn)變。常用的面積關(guān)系有：同（等）底的兩個(gè)三角形的面積與其高的關(guān)系；

同（等）高的兩個(gè)三角形的面積與其底的關(guān)系。

六、梯形問(wèn)題

梯形可以看作是一個(gè)組合圖形，構(gòu)成它的基本圖形是三角形、平行四邊形、矩形等。所以，可以

經(jīng)過(guò)增加合適的輔助線，把梯形問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)槿切?、平行四邊形、矩形等?wèn)題求解，其基本思想為：

轉(zhuǎn)變

梯形問(wèn)題三角形也許平行四邊形問(wèn)題切割、拼接

在轉(zhuǎn)變、切割、拼接常常用的輔助線：

平移一腰。即從梯形一個(gè)極點(diǎn)作另一個(gè)腰的平行線，把梯形分成一個(gè)平行四邊形和一個(gè)三角形（如圖一）。研究相關(guān)腰的問(wèn)題常常用平移一腰。

過(guò)極點(diǎn)作高。即從同一底的兩端作另一底所在直線的垂線，把梯形轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)矩形和兩個(gè)直角三角形（如圖二）。研究相關(guān)底或高的問(wèn)題常常過(guò)極點(diǎn)作高。

平移一條對(duì)角線。即從梯形的一個(gè)極點(diǎn)作一條對(duì)角線的平行線，把梯形轉(zhuǎn)變?yōu)槠叫兴倪呅魏腿切危ㄈ鐖D三）。研究相關(guān)對(duì)角線問(wèn)題常常用平移對(duì)角線。這種增加輔助線的方法，

可以將梯形兩條對(duì)角線及兩底的和會(huì)合在一個(gè)三角形內(nèi)，使梯形的問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)槿切蔚膯?wèn)

題。此三角形的面積等于梯形的面積。

4.延伸兩腰交于一點(diǎn)。把梯形問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)閮蓚€(gè)相似的三角形問(wèn)題（圖四）；

過(guò)底的中點(diǎn)作兩腰的平行線。當(dāng)已知中有底的中點(diǎn)時(shí)，常過(guò)中點(diǎn)做兩腰的平行線，把梯形轉(zhuǎn)變?yōu)閮蓚€(gè)平行四邊形和一個(gè)三角形（圖五）；

過(guò)一腰中點(diǎn)作直線與兩底訂交。當(dāng)已知中有一腰的中點(diǎn)時(shí)，常連接梯形一極點(diǎn)和其中點(diǎn)，并延伸交另一底于一點(diǎn)，將梯形問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)橐粚?duì)全等三角形和一個(gè)含有梯形兩底之和的三

角形。此三角形的面積等于梯形的面積（圖六）；

作梯形中位線。當(dāng)已知中有一腰的中點(diǎn)時(shí)，常取另一腰的中點(diǎn)，作梯形的中位線，（圖七），利用梯形中位線性質(zhì)解題。

圖一圖二圖三

圖四圖五圖六

圖七

[拓展延伸]1.已知：如圖，△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是CA延伸線上一點(diǎn)，F(xiàn)連接FD交AB于E，若AE=AF求證：BE=CFA證法一：延伸ED到G使DG=DE,連接CG.E在△BDE和△