第四章中值定理和導(dǎo)數(shù)應(yīng)用

第四章中值定理和導(dǎo)數(shù)應(yīng)用一、羅爾(Rolle)定理1.費(fèi)馬引理

2.羅爾（Rolle）定理

幾何解釋:注意:若羅爾定理的三個(gè)條件中有一個(gè)不滿足,其結(jié)論可能不成立.例如,又例如,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理幾何解釋:證明作輔助函數(shù)拉格朗日中值公式注意:拉氏公式精確地表達(dá)了函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系.拉格朗日中值定理又稱有限增量定理.拉格朗日中值公式又稱有限增量公式.微分中值定理注意：函數(shù)在點(diǎn)的微分是表示函數(shù)在點(diǎn)的增量的近似值。——證明恒等式的一般方法弦AB的一般方程為弦AB的參數(shù)方程為在參數(shù)方程下，弦AB的斜率為三、柯西(Cauchy)中值定理幾何解釋:證：在(0,x)之間，在之間，.....................................................在(0,x)之間，因此，從而有小結(jié)Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之間的關(guān)系；注意定理成立的條件；注意利用中值定理證明等式與不等式的步驟.2.設(shè)且在內(nèi)可導(dǎo),證明至少存在一點(diǎn)使提示:由結(jié)論可知,只需證即驗(yàn)證在上滿足羅爾定理?xiàng)l件.設(shè)3.若可導(dǎo),試證在其兩個(gè)零點(diǎn)間一定有的零點(diǎn).提示:設(shè)欲證:使只要證亦即作輔助函數(shù)驗(yàn)證在上滿足羅爾定理?xiàng)l件.費(fèi)馬(1601–1665)費(fèi)馬法國(guó)數(shù)學(xué)家,他是一位律師,數(shù)學(xué)只是他的業(yè)余愛(ài)好.他興趣廣泛,博覽群書并善于思考,在數(shù)學(xué)上有許多重大貢獻(xiàn).他特別愛(ài)好數(shù)論,他提出的費(fèi)馬大定理:歷經(jīng)358年,直到1993年才由美國(guó)普林斯頓大學(xué)的安德魯.懷爾斯教授經(jīng)過(guò)十年的潛心研究才得到解決.引理是后人從他研究解決最值的方法中提煉出來(lái)的.拉格朗日(1736–1813)法國(guó)數(shù)學(xué)家.他在方程論,解析函數(shù)論,及數(shù)論方面都作出了重要的貢獻(xiàn),近百余年來(lái),數(shù)學(xué)中的許多成就都直接或間接地溯源于他的工作,他是對(duì)分析數(shù)學(xué)產(chǎn)生全面影響的數(shù)學(xué)家之一.柯西(1789–1857)法國(guó)數(shù)學(xué)家,他對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)主要集中在微積分學(xué),《柯西全集》共有27卷.其中最重要的的是為巴黎綜合學(xué)校編寫的《分析教程》,《無(wú)窮小分析概論》,《微積分在幾何上的應(yīng)用》等,有思想有創(chuàng)建,響廣泛而深遠(yuǎn).對(duì)數(shù)學(xué)的影他是經(jīng)典分析的奠人之一,他為微積分所奠定的基礎(chǔ)推動(dòng)了分析的發(fā)展.復(fù)變函數(shù)和微分方程方面.一生發(fā)表論文800余篇,著書7本,備用題求證存在使1.設(shè)可導(dǎo)，且在連續(xù)，證: