第二章平面匯交力系與力偶系

第二章平面匯交力系與力偶系

平面匯交力系：各力的作用線都在同一平面內(nèi)且匯交于一點(diǎn)的力系。引言研究方法：幾何法，解析法。例：起重機(jī)的掛鉤。力系分為：平面力系、空間力系①平面匯交力系②平面力偶系③平面平行力系④平面一般力系平面特殊力系平面任意力系

§2-1平面匯交力系合成與平衡的幾何法一、合成的幾何法2.任意個(gè)共點(diǎn)力的合成為力多邊形1.兩個(gè)共點(diǎn)力的合成合力方向由正弦定理：由余弦定理： 由力的平行四邊形法則作，也可用力的三角形來作。F2F3F4F1R

結(jié)論：即：即：平面匯交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用線通過各力的匯交點(diǎn)。二、平面匯交力系平衡的幾何條件在上面幾何法求力系的合力中，合力為零意味著力多邊形自行封閉。所以平面匯交力系平衡的必要與充分的幾何條件是：平面匯交力系平衡的充要條件是：力多邊形自行封閉或力系中各力的矢量和等于零F2F3F4F1F5R[例1]已知：P=10kN,BC=AC=2m，AC與BC相互垂直。求：在P的作用下AC、BC所受力的大小。①選鉸鏈C為研究對(duì)象②取分離體畫受力圖解：∵BC桿與AC桿是二力桿,這時(shí)FBC與FAC和外力P構(gòu)成一平衡力系。由平衡的幾何條件，力多邊形封閉，故ACPBPFBCFACPFBCFAC由作用力和反作用力的關(guān)系，AC、BC桿受力等于。此題也可用力多邊形方法用比例尺去量。幾何法解題步驟：①選研究對(duì)象；②作出受力圖；③作力多邊形，選擇適當(dāng)?shù)谋壤?；④求出未知?shù)幾何法解題不足：①精度不夠，誤差大②作圖要求精度高；③不能表達(dá)各個(gè)量之間的函數(shù)關(guān)系。下面我們研究平面匯交力系合成與平衡的另一種方法：

解析法。

§2-2平面匯交力系合成與平衡的解析法一、力在坐標(biāo)軸上的投影力投影

X=Fx=Fcosa：Y=Fy=Fsina=Fcosb投影力二、合力投影定理由圖可看出，各分力在x軸和在y軸投影的和分別為：合力投影定理：合力在任一軸上的投影，等于各分力在同一軸上投影的代數(shù)和。即：合力的大?。悍较颍?/p>

作用點(diǎn)：∴為該力系的匯交點(diǎn)三、平面匯交力系的平衡方程從前述可知：平面匯交力系平衡的必要與充分條件是該力系的合力為零。 即：為平衡的充要條件，也叫平衡方程[例2]鉚接薄板在孔心A、B和C處受三力作用，如圖所示F1=100N，沿鉛直方向；F3=50N，沿水平方向，并通過點(diǎn)A；F2=50N，力的作用線也通過A，尺寸如圖。求此力系的合力。BF3CA60㎜80㎜F2F1解：如圖建立坐標(biāo)系，則xy所以③列平衡方程代入下式解得：ACPB①選鉸鏈C為研究對(duì)象②取分離體畫受力圖④解平衡方程[例3]已知：P=10kN,BC=AC=2m，AC與BC相互垂直。求：在P的作用下AC、BC所受力的大小。PFBCFACxy由上一式得：由下一式解得：ACPB另一種列方程的方法PFBCFACxy（坐標(biāo)軸的方向變化可以使計(jì)算變得簡(jiǎn)單）由上一式解得：1、一般地，對(duì)于只受三個(gè)力作用的物體，且角度特殊時(shí)用幾何法（解力三角形）比較簡(jiǎn)便。解題技巧及說明：3、投影軸常選擇與未知力垂直，最好使每個(gè)方程中只有一個(gè)未知數(shù)。2、一般對(duì)于受多個(gè)力作用的物體，無論角度不特殊

或特殊，都用解析法。5、解析法解題時(shí)，力的方向可以任意設(shè)，如果求出負(fù)值，說明力方向與假設(shè)相反。對(duì)于二力構(gòu)件，一般先設(shè)為拉力，如果求出負(fù)值，說明物體受壓力。4、對(duì)力的方向判定不準(zhǔn)的，一般用解析法。①是代數(shù)量。當(dāng)F=0或d=0時(shí)，=0。③是影響轉(zhuǎn)動(dòng)的獨(dú)立因素。⑤=2⊿AOB=Fd,2倍⊿形面積。力對(duì)物體可以產(chǎn)生移動(dòng)效應(yīng)--取決于力的大小、方向

轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)--取決于力矩的大小、方向§2-3平面力對(duì)點(diǎn)之矩的概念及計(jì)算一、力對(duì)點(diǎn)之矩（力矩）-+說明：②F↑,d↑轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)明顯。④國際單位Nm，工程單位kgfm。即如果以表示由點(diǎn)O到點(diǎn)B的矢量，由矢量積定義，的大小就是三角形OAB的面積的兩倍。由此可見，此矢量積的模就等于力F對(duì)點(diǎn)O的矩的大小，其指向與力矩的轉(zhuǎn)向符合右手法則。

定理：平面匯交力系的合力對(duì)平面內(nèi)任一點(diǎn)的矩，等于所有各分力對(duì)同一點(diǎn)的矩的代數(shù)和 即：二、合力矩定理[證]OArF1F2FiFnR為平面匯交力系的合力，即：為矩心O到匯交點(diǎn)A的矢徑，對(duì)上式兩端作矢積，有以由于每個(gè)力都有與點(diǎn)O共面，上式各矢積平行，因此上式矢量和可按代數(shù)和計(jì)算。而各矢量積的大小就是力對(duì)點(diǎn)O之矩，于是證得合力矩定理。三、力矩與合力矩的解析表達(dá)式如圖所示，已知力F，作用點(diǎn)A（x，y）及其夾角。求力F對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)O之矩，可按合力矩定理，通過其分力Fx與Fy對(duì)點(diǎn)O之矩而得到，即或上式為平面內(nèi)力矩的解析表達(dá)式，X、Y為力F在x、y軸的投影（注意正負(fù)號(hào)）。對(duì)平面匯交力系合力R對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)之矩的解析表達(dá)式為[例4]已知：如圖F、Q、l,求：和 解：①用力對(duì)點(diǎn)之矩定義②應(yīng)用合力矩定理

①兩個(gè)同向平行力的合力

大?。篟=Q+P 方向：平行于Q、P且指向一致 作用點(diǎn)：C處 確定C點(diǎn)，由合力距定理一、力偶與力偶矩力偶：兩力大小相等，作用線不重合的反向平行力叫力偶。性質(zhì)1：力偶既沒有合力，本身又不平衡，是一個(gè)基本力學(xué)量。§2-4

平面力偶理論②兩個(gè)反向平行力的合力

大?。篟=Q-P 方向：平行于Q、P且與較大的相同 作用點(diǎn)：C處 （推導(dǎo)同上）性質(zhì)2：力偶對(duì)其所在平面內(nèi)任一點(diǎn)的矩恒等于力偶矩，而與矩心的位置無關(guān)，因此力偶對(duì)剛體的效應(yīng)用力偶矩度量。力偶無合力R=F'-F=0說明：①

m是代數(shù)量，有+、-；②F、d都不獨(dú)立，只有力偶矩

是獨(dú)立量；③m的值m=±2⊿ABC；④單位：Nm由于O點(diǎn)是任取的+-d性質(zhì)3：平面力偶等效定理作用在同一平面內(nèi)的兩個(gè)力偶，只要它的力偶矩的大小相等，轉(zhuǎn)向相同，則該兩個(gè)力偶彼此等效。[證]設(shè)物體的某一平面上作用一力偶(F,F')現(xiàn)沿力偶臂AB方向加一對(duì)平衡力(Q,Q'),Q',F'合成R'，再將Q,F合成R，得到新力偶(R,R'),將R,R'移到A',B'點(diǎn)，則(R,R')，取代了原力偶(F，F(xiàn)')并與原力偶等效。②只要保持力偶矩大小和轉(zhuǎn)向不變，可以任意改變力偶中力的大小和相應(yīng)力偶臂的長短，而不改變它對(duì)剛體的作用效應(yīng)。由上述證明可得下列兩個(gè)推論：比較(F,F')和(R,R')可得m(F,F')=2△ABD=m(R,R')=2△ABC即△ABD=△ABC，且它們轉(zhuǎn)向相同。①力偶可以在其作用面內(nèi)任意移動(dòng)，而不影響它對(duì)剛體的作用效應(yīng)。平面力偶系:作用在物體同一平面的許多力偶叫平面力偶系設(shè)有兩個(gè)力偶 dd平面力偶系平衡的充要條件是:所有各力偶矩的代數(shù)和等于零。

結(jié)論:平面力偶系合成結(jié)果還是一個(gè)力偶,其力偶矩為各力偶矩的代數(shù)和。[例5]在一鉆床上水平放置工件,在工件上同時(shí)鉆四個(gè)等直徑的孔,每個(gè)鉆頭的力偶矩為求工件的總切削力偶矩和A、B端水平反力?解