第三章 矩陣的初等變換

第三章矩陣的初等變換與線性方程組§1矩陣的初等變換二、消元法解線性方程組一、矩陣的初等變換1、定義下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:一、矩陣的初等變換

同理可定義矩陣的初等列變換(所用記號(hào)是把“r”換成“c”)．2、定義2

矩陣的初等列變換與初等行變換統(tǒng)稱為初等變換．

初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類型相同．逆變換逆變換逆變換等價(jià)關(guān)系的性質(zhì)：具有上述三條性質(zhì)的關(guān)系稱為等價(jià)．3、定義3如果矩陣A經(jīng)有限次初等變換變成矩陣B，就稱矩陣A與B等價(jià)，記作A～B引例求解線性方程組分析：用消元法解下列方程組的過(guò)程．同解方程組二、消元法解線性方程組

解用“回代”的方法求出解：解得小結(jié)：1．上述解方程組的方法稱為消元法．2．始終把方程組看作一個(gè)整體變形，用到如下三種變換（1）交換方程次序；（2）以不等于０的數(shù)乘某個(gè)方程；（3）一個(gè)方程加上另一個(gè)方程的k倍．（與相互替換）（以替換）（以替換）3．上述三種變換都是可逆的．由于三種變換都是可逆的，所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的．故這三種變換是同解變換．因?yàn)樵谏鲜鲎儞Q過(guò)程中，僅僅只對(duì)方程組的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，未知量并未參與運(yùn)算．若記則對(duì)方程組的變換完全可以轉(zhuǎn)換為對(duì)矩陣B(方程組(1)的增廣矩陣）的變換．用矩陣的初等行變換解方程組（2）：特點(diǎn)：（1）可劃出一條階梯線，線的下方全為零；（2）每個(gè)臺(tái)階只有一行，臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個(gè)元素為非零元，即非零行的第一個(gè)非零元．都稱為行階梯形矩陣和矩陣4、例如，行最簡(jiǎn)形矩陣再經(jīng)過(guò)初等列變換，可化成標(biāo)準(zhǔn)形．例1將下列矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)型：1、定義

由單位矩陣

E

經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的方陣稱為初等矩陣.三種初等變換對(duì)應(yīng)著三種初等方陣.矩陣的初等變換是矩陣的一種基本運(yùn)算，應(yīng)用廣泛.三、初等矩陣的概念2、三種初等矩陣?yán)?以下矩陣是否初等矩陣?4、初等矩陣均可逆3、初等矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣仍為初等矩陣.四、初等矩陣的應(yīng)用例4引理

設(shè)

A

是一個(gè)

mn矩陣,對(duì)

A施行一次初等行變換，相當(dāng)于在

A

的左邊乘以相應(yīng)的

m

階初等矩陣；對(duì)

A

施行一次初等列變換,相當(dāng)于在

A

的右邊乘以相應(yīng)的

n

階初等矩陣.初等變換初等矩陣五、初等行變換求逆矩陣解例5又如：20面2題例6解又如：20面3、4題§2矩陣的秩一、矩陣秩的概念二、矩陣秩的求法三、矩陣秩的一些結(jié)論一、矩陣秩的概念矩陣的秩顯然有：例1解例2解計(jì)算A的3階子式，例3解問(wèn)題：經(jīng)過(guò)初等變換矩陣的秩變嗎？二、矩陣秩的求法1、初等變換求矩陣秩的方法：

把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩.2、例2另解顯然，非零行的行數(shù)為2，此方法簡(jiǎn)單！例4行初等變換則這個(gè)子式便是A的一個(gè)最高階非零子式.又如：19面二、1題答案：秩為3又如：19面一、2題答案：秩為2又如：25面一、4題答案：秩為2例5解分析：例6解：第二、三行元素成比例，所以，又如：23面2題，24面2題,20面5題（講解）(見(jiàn)下節(jié))三、矩陣秩的一些結(jié)論9.又如：19面一、3題答案：0例7設(shè)A為n階矩陣，證明又如：25面一、5題；25面二題利用A+E-A+E=2E§3線性方程組的解一、線性方程組有解的判定條件二、線性方程組的解法一、線性方程組有解的判定條件線性方程組系數(shù)矩陣為線性方程組可記為：1)m=n時(shí),A是n階方陣,若|A|0,則可用克萊默法則求解,或用A的逆矩陣表示解.2)對(duì)一般的情況如何判定有沒(méi)有解?有解時(shí)如何求解?例1

若某方程組經(jīng)同解變換化為顯然，有唯一解.例2

若某方程組經(jīng)同解變換化為顯然，無(wú)解.例3解方程組解無(wú)解.例4解方程組解為方程組的全部解.增廣矩陣經(jīng)

行

初等變換化為行最簡(jiǎn)形矩陣，該階梯形與方程組解的關(guān)系：行最簡(jiǎn)形矩陣中非零行的行數(shù)<未知量個(gè)數(shù)無(wú)窮多解該數(shù)不為零，無(wú)解行最簡(jiǎn)形矩陣中非零行的行數(shù)=未知量個(gè)數(shù)唯一解1.非齊次線性方程組有唯一解bAx=()()nBRAR==?()()nBRAR<=?有無(wú)窮多解.bAx=無(wú)解bAx=()()BRAR?2.齊次方程方程組例5求解齊次線性方程組二、線性方程組的解法例6求解齊次線性方程組例7求解齊次線性方程組例8求解非齊次線性方程組故方程組無(wú)解．例9求解非齊次線性方程組例10求解非齊次方程組的通解例11設(shè)有線性方程組解其通解為這時(shí)又分兩種情形：齊次線性方程組：系數(shù)矩陣化成行最簡(jiǎn)形矩陣，便可寫(xiě)出其通解；非齊次線性方程組：增廣矩陣化成行階梯形矩陣，便可判斷其是否有解．若有解，化成行最簡(jiǎn)形矩陣，便可寫(xiě)出其通解.求解線性方程組步驟:三、推廣到矩陣方程定理7矩陣方程AX=B有解充要條件是R(A)=R(A,B).定理8設(shè)AB=C,則定理9矩陣方程只有零解的充分必要條件是R(A)=n.()()nBRAR==?()()nBRAR<=?有無(wú)窮多解.