蒙特卡羅法用于分析測試不確定度評定教學(xué)文案

蒙特卡羅法用于分析測試不確定度評定1、蒙特卡洛模擬法介紹

蒙特卡羅方法（MonteCarlomethod,MCM），通過生成隨機(jī)數(shù)來解決問題的方法。待解決的問題先要經(jīng)過綜合分析，形成一定的算法，然后通過生成隨機(jī)數(shù)來模擬結(jié)果，再對模擬結(jié)果從合理性等方面進(jìn)行解析。a)蒙特卡洛模擬法計(jì)算圓周率利用單位圓與邊長為1的正方形面積之比來計(jì)算π的近似值。具體思想如下:如圖所示,單位圓的1/4為一個(gè)扇形,它是邊長為1的正方形的一部分。考慮扇形面積在正方形面積中所占的比例k,得出其結(jié)果為π/4,然后乘以4就可以得到π的值。

另一方面，假設(shè)生成符合均勻分布（U（0,1）)的隨機(jī)數(shù)對（x，y），共生成n個(gè)，落入扇形的區(qū)域的數(shù)有m個(gè)，那么：

兩式結(jié)合：算法：0、計(jì)數(shù)器置0，m=0；設(shè)置總模擬次數(shù)n1、生成均勻分布的隨機(jī)數(shù)對（x，y）2、判斷（x，y）是否落在扇形內(nèi)，如果落在扇形內(nèi)m=m+13、判斷模擬次數(shù)是否為n：小于或者等于n，回到1，繼續(xù)

；大于n，終止，計(jì)算4*m/n，輸出結(jié)果

模擬結(jié)果b)蒙特卡洛模擬計(jì)算定積分

蒙特卡洛模擬計(jì)算定積分是依據(jù)：定積分是曲線在一定區(qū)間內(nèi)和x軸圍成的面積可以通過蒙塔卡洛模擬估計(jì)出來；尤其對那些沒有原函數(shù)的函數(shù)定積分計(jì)算尤為適應(yīng)。舉例：計(jì)算定積分：該定積分精確解是：7.2432解題思想：生成隨機(jī)數(shù)對，判斷是否落入陰影區(qū)域，陰影區(qū)域面積和正方形的面積比，等于落入陰影內(nèi)的數(shù)的個(gè)數(shù)和總數(shù)的比值，據(jù)此能得到陰影部分的面積，也就是就算出上述定積分的值。算法：0、計(jì)數(shù)器置0，m=0；設(shè)置模擬次數(shù)n；1、生成隨機(jī)數(shù)對（x，y），x符合U（0,4）的均勻分布，y符合U（0,3）的均勻分布；2、判斷隨機(jī)數(shù)對（x，y）是否落入陰影部分，如果落入m=m+1；3、判斷模擬次數(shù)n，n小于定于設(shè)定值，繼續(xù)1；n大于設(shè)定值終止。4、計(jì)算定積分的值：12*m/n二、蒙特卡洛法用于分析方法不確定度評定

1、什么是不確定度以及評定的目的a）分析過程是一個(gè)隨機(jī)過程，分析結(jié)果是一個(gè)隨機(jī)變量。

滿足隨機(jī)變量的兩個(gè)因素：可能的結(jié)果區(qū)間已知，但是

某次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果實(shí)驗(yàn)前不知道。b）分析結(jié)果是隨機(jī)變量，不確定度評定就是依據(jù)分析過程

各分量的特性，對分析結(jié)果進(jìn)行的區(qū)間估計(jì)。

c）不確定度評定的結(jié)果，是反應(yīng)分析結(jié)果離散程度的一個(gè)

參數(shù)。不確定度越大，表明分析結(jié)果的離散程度高，不

確定度并不反映分析結(jié)果的準(zhǔn)確性。d）什么是區(qū)間估計(jì)

區(qū)間估計(jì)就是通過從總體樣本中抽樣或者其他方式，對隨機(jī)變量總體分布的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)的一種數(shù)學(xué)方法。通常以置信水平（概率）和區(qū)間的形式給出。例如：標(biāo)樣證書上，標(biāo)稱量值就是以區(qū)間估計(jì)的形式給出：

該物質(zhì)的真值落入?yún)^(qū)間（188,212）的可能性為95%。區(qū)間估計(jì)還可以通過抽樣符合的分布，來構(gòu)造一定置信水平下的置信區(qū)間來完成。關(guān)于這部分內(nèi)容如有疑問，可參考概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙大四版)二、與不確定度評定相關(guān)的計(jì)量學(xué)名詞a)直接測量量那些能直接從測量儀表的讀數(shù)獲取被測量量值的量b)間接測量量通過測量與被測量有函數(shù)關(guān)系的其他量，然后經(jīng)過計(jì)算得到的量。c)測量函數(shù)（測量模型）把間接測量量表示為直接測量量的關(guān)系式d)真值

是一個(gè)變量本身所具有的真實(shí)值，它是一個(gè)理想的概念，一般是無法得到的。所以在計(jì)算誤差時(shí)，一般用約定真值或相對真值來代替。e)最佳估計(jì)值

對多次測量的結(jié)果求平均值得到的結(jié)果。

舉例：假設(shè)要測一個(gè)長方形的面積s，可以通過分別測量長a，寬b，再根據(jù)s=a*b計(jì)算得到。a，b可以千分尺直接測得，是直接測量量s可以由a，b計(jì)算得到，是間接測量量。f)真值、測量結(jié)果以及不確定度間的關(guān)系

在測量過程中雖然不能得到真值，但是通過對計(jì)量器具的檢定校準(zhǔn)，再用正確的測試方法，在穩(wěn)定的環(huán)境中（還有測量者的高素質(zhì)），檢測得到測量結(jié)果，同時(shí)再考慮到每個(gè)直接測量量引入的不確定度合成得到測量結(jié)果的不確定度，在一定的置信水平下對測試結(jié)果的真值的區(qū)間進(jìn)行估計(jì)。

雖然得不到真值，但是通過正確的測量方法，用計(jì)量過的測量器具，通過不確定度評定和檢測結(jié)果去包含真值。這就是不確定評定的意義所在。例如：用經(jīng)過計(jì)量檢定的100mL注射器（檢定結(jié)果為最大誤差±1mL），去取液體，讀數(shù)為100mL，雖然由于很多因素的影響，液體體積的真值不能得到，但是可以有100%的把握認(rèn)為，液體的真值在（99,101）之間。3、不確定度評定方法不確定度評定方法：JJF

1059.1-2012測量不確定度評定與表示（GUM）JJF1059.2-2012用蒙特卡洛法評定測量不確定度（MCM）GB/T27411-2012檢測實(shí)驗(yàn)室中常用不確定度評定方法與表示GB/T27411-2012評定不確定度的方法是：在實(shí)驗(yàn)室質(zhì)控活動(dòng)中（能力驗(yàn)證或者實(shí)驗(yàn)室自行進(jìn)行的日常質(zhì)控活動(dòng)）得到的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，這些實(shí)驗(yàn)結(jié)果在滿足一定偏倚的條件下，依據(jù)分析結(jié)果的離散性進(jìn)行不確定度評定。測量學(xué)中偏倚是指一切測量值對真值的偏離。GUM法評定不確定度的原理GUM法評定不確定度時(shí)認(rèn)為：分析結(jié)果符合正態(tài)分布，依據(jù)各個(gè)分量通過模型得值來計(jì)算得到分析結(jié)果；利用方差傳播定理和測試模型來計(jì)算分析結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差s；通過各分量不確定度和自由度計(jì)算分析結(jié)果分布的自由度n，然后在給定的置信概率下，確定包含因子K，最后按照要求把評定結(jié)果表示出。注釋：由于正態(tài)分布的方差未知，測試結(jié)果（x）和真值（μ)的關(guān)系為：

符合自由度為n-1的t分布，所謂的包含因子，就是在一定的置信概率下的自由度為n-1的t雙側(cè)分為數(shù)，通常置信概率取95%，自由度一般都很大，包含因子k=2b)GUM法不確定度評定的步驟1、確定測試模型：把間接測量量表示為直接測量量的函數(shù)2、因果圖：進(jìn)行各分量不確定度來源分析3、各分量不確定度評定：A類和B類

4、各分量自由度確定5、各分量靈敏度計(jì)算（用測試模型對各分量求一階偏導(dǎo)）6、依據(jù)各分量測試值，計(jì)算測試結(jié)果x；計(jì)算合成不確定

度U7、合成自由度計(jì)算n8、在給定的置信概率下，結(jié)合自由度n差t分布分位數(shù)表，

確定包含因子k9、評定結(jié)果表示：（x-kU，x+kU），同時(shí)報(bào)告置信概率

c)GUM法存在的缺點(diǎn)GUM法做出的分析結(jié)果符合正態(tài)分布的假設(shè)，在對某些測試模型的處理中與實(shí)際情況偏差較大。有的測試模型明顯不符合正態(tài)分布。

測試模型函數(shù)的分布理論上可以依據(jù)各個(gè)分量的分布通過卷積計(jì)算出來，但是在計(jì)算過程中需要用到積分，有的函數(shù)“不可積”，因而測試模型函數(shù)的分布不能準(zhǔn)確獲得。

d)多次實(shí)驗(yàn)結(jié)果的均值和標(biāo)準(zhǔn)差

假設(shè)對某個(gè)量值穩(wěn)定均勻的樣品進(jìn)行了n次重復(fù)測量，得到的結(jié)果分別為：，那么分析結(jié)果的均值和標(biāo)準(zhǔn)差為：這兩個(gè)公式是蒙特卡洛模擬法的重要理論基礎(chǔ)之一e)MCM法的原理MCM法無論測量模型的函數(shù)滿足何種分布，依據(jù)各個(gè)分量的分布，生成相應(yīng)的隨機(jī)數(shù)對分析結(jié)果的均值和標(biāo)準(zhǔn)差（不確定度）進(jìn)行模擬；MCM法克服了GUM法對測量模型函數(shù)的分布都滿足正態(tài)分布這一理論缺陷。f)MCM法的步驟1、確定測試模型2、確定各個(gè)分量的分布

通過測量工具的檢定證書

引用標(biāo)物的標(biāo)物證書

根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)和慣例對某個(gè)分量分布的處理3、依據(jù)測試模型進(jìn)行模擬，模擬次數(shù)一般取n>106

隨機(jī)數(shù)的生成可以借助matlab等工具軟件；

也可以自行編程解決，依托開發(fā)工具提供產(chǎn)生的均勻

分布隨機(jī)數(shù)來產(chǎn)生其他分布的隨機(jī)數(shù)。4、模擬結(jié)果升序排列，計(jì)算模擬結(jié)果的均值和標(biāo)準(zhǔn)偏

差，然后依據(jù)給定的概率劃定不同的包含區(qū)間，以

最短的包含區(qū)間為評定結(jié)果。

蒙特卡羅模擬法評定不確定度的簡單例子假設(shè)測試模型為z=x+y，x符合分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布x~（0,1）；y符合（0,1）之間的均勻分布U（0,1），給出置信概率95%下的z的置信區(qū)間和標(biāo)準(zhǔn)差。1、確定測試函數(shù)2、確定模擬次數(shù)3、按要求生成各分量的隨機(jī)數(shù)，依據(jù)測試模型計(jì)算模

擬結(jié)果4、計(jì)算模擬結(jié)果平均值和標(biāo)準(zhǔn)差5、依據(jù)給定的置信概率，劃分置信區(qū)間，以最短的置信區(qū)間作為評定結(jié)果標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)和均勻分布U(0