第八章彎曲變形

第八章彎曲變形DeflectionofBeams

§8–1基本概念及工程實例（Basicconceptsandexampleproblems)一.工程實例（exampleproblem)

但在另外一些情況下,有時卻要求構(gòu)件具有較大的彈性變形,以滿足特定的工作需要.

例如,車輛上的板彈簧,要求有足夠大的變形,以緩解車輛受到的沖擊和振動作用.

1、撓度（Deflection）

橫截面形心C(即軸線上的點)在垂直于x軸方向的線位移,稱為該截面的撓度.用y表示.二、基本概念（basicconcepts)彎曲變形y撓度C'CAByx2、轉(zhuǎn)角

(slope)

橫截面對其原來位置的角位移,稱為該截面的轉(zhuǎn)角.用表示彎曲變形轉(zhuǎn)角AC'CyB

xy撓度3、撓曲線

(deflectioncurve)梁變形后的軸線稱為撓曲線.式中,x

為梁變形前軸線上任一點的橫坐標,y

為該點的撓度.撓曲線撓曲線方程(Equationofdeflectioncurve)為:yAB

x轉(zhuǎn)角y撓度C'C4、撓度與轉(zhuǎn)角的關(guān)系（relationshipbetween

deflectionandslope)：yABx轉(zhuǎn)角y撓度C'C撓曲線5、撓度和轉(zhuǎn)角符號的規(guī)定（signconventionfordeflectionandslope)：撓度:向下為正,向上為負.轉(zhuǎn)角:自x轉(zhuǎn)至切線方向,順時針轉(zhuǎn)為正,逆時針轉(zhuǎn)為負.

yABx轉(zhuǎn)角y撓度C'C撓曲線§8–2撓曲線的近似微分方程（Differentialequationofthedeflectioncurve)一、推導公式（Derivationoftheformula)1、純彎曲時曲率與彎矩的關(guān)系（Relationshipbetweenthecurvatureofbeamandthebendingmoment)橫力彎曲時,M

和都是x的函數(shù).略去剪力對梁的位移的影響,則:2、由數(shù)學得到平面曲線的曲率

(Thecurvaturefromthemathematics)：與1相比十分微小而可以忽略不計,故上式可近似為在規(guī)定的坐標系中,x軸水平向右為正,y軸豎直向下為正.曲線向上凸時：OxyxOy因此,與的正負號相反曲線向下凸時:3、撓曲線微分方程

此式稱為

梁的撓曲線近似微分方程（Differentialequationofthedeflectioncurve)近似原因:(1)略去了剪力的影響;(2)略去了

項;(3)

§8–3用積分法計算梁的位移（Beamdeflectionbyintegration)一、微分方程的積分

（Integratingthedifferentialequation)若為等截面直梁,其抗彎剛度EI為一常量上式可改寫成2、再積分一次,得撓度方程(Integratingagaingivestheequationforthedeflection)二、積分常數(shù)的確定（Evaluatingtheconstantsofintegration)1、邊界條件（boundaryconditions)

2、連續(xù)條件

(continuityconditions)

1、積分一次得轉(zhuǎn)角方程(Thefirstintegrationgivesthequationfortheslope)AB在簡支梁中,左右兩鉸支座處的撓度和都等于0.在懸臂梁中,固定端處的撓度和轉(zhuǎn)角都應等于零.AB

例題1:圖示一抗彎剛度為EI的懸臂梁,在自由端受一集中力F作用.試求梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程,并確定其最大撓度和最大轉(zhuǎn)角ABxF彎曲變形w(1)彎矩方程為解：(2)撓曲線的近似微分方程為xwABxF彎曲變形對撓曲線近似微分方程進行積分梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為邊界條件為:將邊界條件代入(3)(4)兩式中,可得：BxyAF（）都發(fā)生在自由端截面處和（）例題2:圖示一抗彎剛度為EI的簡支梁,在全梁上受集度為q的均布荷載作用.試求此梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程,并確定其和ABql解:由對稱性可知，梁的兩個支反力為ABqlRARBx此梁的彎矩方程及撓曲線微分方程分別為梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為:彎曲變形邊界條件為:,時

xABqlRARBAB在x=0和x=l處轉(zhuǎn)角的絕對值相等且都是最大值，最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為:wmax在梁跨中點處有最大撓度值,時例題3:圖示一抗彎剛度為EI的簡支梁,在D點處受一集中力F的作用.試求此梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程,并求D截面撓度和A截面轉(zhuǎn)角.ABFDab彎曲變形l解:梁的兩個支反力為RARBABFDabl12xx兩段梁的彎矩方程分別為兩段梁的撓曲線方程分別為：1(0x

a)撓曲線方程轉(zhuǎn)角方程撓度方程撓曲線方程轉(zhuǎn)角方程撓度方程(a

x

l

)2D點的連續(xù)條件:邊界條件:在x=a處在x=0處，在x=l處，代入方程可解得:ABFDab12RARB12將x=0和x=a分別代入轉(zhuǎn)角方程和撓度方程對各段梁,都是由坐標原點到所研究截面之間的梁段上的外力來寫彎矩方程的.所以后一段梁的彎矩方程包含前一段梁的彎矩方程.只增加了(x-a)的項.對(x-a)的項作積分時，應該將(x-a)項作為積分變量.從而簡化了確定積分常數(shù)的工作.積分法的原則

§8–4疊加法計算梁的位移

(Beamdeflectionsbysuperposition)

梁的變形微小,且梁在線彈性范圍內(nèi)工作時,梁在幾項荷載(可以是集中力,集中力偶或分布力)同時作用下的撓度和轉(zhuǎn)角，就分別等于每一荷載單獨作用下該截面的撓度和轉(zhuǎn)角的疊加.當每一項荷載所引起的撓度為同一方向(如均沿y軸方向),其轉(zhuǎn)角是在同一平面內(nèi)(如均在xy

平面內(nèi))時,則疊加就是代數(shù)和.這就是疊加原理.1、載荷疊加：多個載荷同時作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形

等于每個載荷單獨作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形的代數(shù)和.2、結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法）1、

按疊加原理求A點轉(zhuǎn)角和C點撓度.解:(1)載荷分解如圖(2)由梁的簡單載荷變形表，查簡單載荷引起的變形.BqFACaaF=AB+ABq

(3)疊加qFF=+AAABBBCaaq例題：一抗彎剛度為EI的外伸梁受荷載如圖所示,

試按疊加原理并利用附表,求截面B的轉(zhuǎn)角B以及A端和BC中點D的撓度wA

和wD

.ABCDaa2a2qq解：將外伸梁沿B截面截成兩段,將AB段看成B

端固定的懸臂梁,BC

段看成簡支梁.ABCDaa2a2qqBCDq2qa2qAB2qaB截面兩側(cè)的相互作用為：就是外伸梁AC的B,wD簡支梁BC的受力情況與外伸梁AC的BC段的受力情況相同由簡支梁BC求得的B,wD2qaBCDqqBCDBCD簡支梁BC的變形就是MB和均布荷載q分別引起變形的疊加.由疊加原理得:DBC2qaBCDqDBC(1)求B

，wD(2)求wA由于簡支梁上B截面的轉(zhuǎn)動,帶動AB段一起作剛體運動,使A端產(chǎn)生撓度w1

懸臂梁AB本身的彎曲變形,使A端產(chǎn)生撓度w2AA2qB2qa2qaBCDq因此，A端的總撓度應為由附錄1V查得§8–7梁的剛度校核（stiffnesscondition)1、數(shù)學表達式（mathematicalformula)2、剛度條件的應用(applicationofstiffnesscondition)校核剛度（

Checkthestiffnessofthebeam）是構(gòu)件的許可撓度一、增大梁的抗彎剛度EI二、減小跨度或增加支承3、提高剛度的措施基本概念（Basicconcepts）

1.超靜定梁（staticallyindeterminatebeams)§8–7超靜定梁的解法(Solutionmethodsforstaticallyindeterminatebeams)單憑靜力平衡方程不能求出全部支反力的梁,稱為超靜定梁FABABCFRARBRC2.“多余”約束(redundantconstraint)多于維持其靜力平衡所必需的約束3.“多余”反力(redundantreaction)“多余”與相應的支座反力RBABCFFABRARC4.超靜定次數(shù)(degreeof

staticallyindeterminateproblem):超靜定梁的“多余”約束的數(shù)目就等于其超靜定次數(shù).n=未知力的個數(shù)-獨立平衡方程的數(shù)目二、求解超靜定梁的步驟

(procedureforsolvingastaticallyindeterminate)1、畫靜定基建立相當系統(tǒng)：將可動絞鏈支座看作多余約束,解除多余約束代之以約束反力RB.得到原超靜定梁的基本靜定系.2、列幾何方程——變形協(xié)調(diào)方程超靜定梁在多余約束處的約束條件，梁的變形協(xié)調(diào)條件ABqqABRB根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件得變形幾何方程：變形幾何方程為

3、