第六章 彎曲變形 - 仲愷農(nóng)業(yè)技術(shù)學(xué)院

第六章彎曲變形拉壓伸長量扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角彎曲撓度轉(zhuǎn)角工程上的梁變形問題不容忽視影響使用引發(fā)破壞產(chǎn)生不安全感減少?zèng)_擊、振動(dòng)利用變形作為開關(guān)提高性能本章的任務(wù)1.建立小變形撓度、轉(zhuǎn)角曲線微分方程2.用積分法和疊加法求梁的撓度和轉(zhuǎn)角研究范圍：等直梁在彎曲時(shí)（線、角）位移的計(jì)算研究目的：①對梁作剛度校核②解超靜定梁§6－2梁撓曲的近似微分方程§6－3積分法求梁變形§6－1梁變形的基本概念第六章彎曲變形§6－4疊加法求梁變形§6-6靜不定梁§6－5

梁的剛度校核6.1梁變形的基本概念

變形后梁軸線撓曲線

撓度：y

變形后梁截面：仍為平面

梁截面轉(zhuǎn)角：PxyCqC1變形前梁截面：平面f

1.撓度：橫截面形心沿垂直于軸線方向的線位移用y表示，與坐標(biāo)f同向?yàn)檎?，反之為?fù)

2.轉(zhuǎn)角：橫截面繞其中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角度，用表示順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正，反之為負(fù)

3.撓曲線：梁變形后，軸線變成的光滑曲線其方程為y=f(x)5.剛度校核4.轉(zhuǎn)角與撓曲線的關(guān)系：小變形xPyCqC1f已知曲率為小變形fxM>0fxM<0彎矩與2階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)相反上式取負(fù)號(hào)6.2梁撓曲的近似微分方程——

撓曲線近似微分方程對于等截面直梁，可寫成如下形式：1.微分方程的積分6.3積分法求梁變形利用位移邊界條件確定積分常數(shù)支點(diǎn)位移條件連續(xù)條件光滑條件固定支座PD2.位移邊界條件鉸支座PABC

積分法求梁變形①適用于小變形、線彈性材料、細(xì)長構(gòu)件的平面彎曲②可應(yīng)用于各種載荷的等截面或變截面梁的位移③積分常數(shù)由撓曲線變形的幾何相容條件（邊界條件、連續(xù)條件）確定④優(yōu)點(diǎn)——使用范圍廣，精確；缺點(diǎn)——計(jì)算較繁鉸連接PDC

積分法求梁變形的基本步驟：①寫出彎矩方程；若彎矩不能用一個(gè)函數(shù)給出，要分段寫出②由撓曲線近似微分方程，積分出轉(zhuǎn)角、撓度函數(shù)③利用邊界條件、連續(xù)條件確定積分常數(shù)

如果分n段寫出彎矩方程，則有2n個(gè)積分常數(shù)邊界條件、連續(xù)條件應(yīng)用舉例彎矩圖三段，共6個(gè)積分常數(shù)需6個(gè)邊界條件和連續(xù)條件邊界條件、連續(xù)條件應(yīng)用舉例彎矩圖分三段，共

6個(gè)積分常數(shù)需6個(gè)邊界條件和連續(xù)條件積分法求梁的變形舉例已知q=8kN/m，l=2m，E=210GPa，求θmax，wmax；解：求A,B支座反力FA=FB=ql/2=8kN寫出梁的彎矩方程（如圖b)：M(x)=FAx-qx2/2=(qlx/2)-qx2/2EIzf”=M(x)=q(l-x)x/2------(1)積分后得到:邊界條件：x=0,f=0；D=0；x=l,f=0；C=-ql3/24由（1）可知：

θmax為M(x)=0的點(diǎn)；即x=0和x=l

處（A,B端點(diǎn)）θmax=θAmax=－θBmax=C/(EIzz)=－(ql3)/(24EIzz)f=－qx(l3+x3－2lx2)/(24EIz)；f’=0；x=l/2；fx=l/2=－5ql4/(384EIz)疊加原理：承受復(fù)雜載荷時(shí)，可分解成幾種簡單載荷，利用簡單載荷作用下的位移計(jì)算結(jié)果，疊加后得在復(fù)雜載荷作用下的撓度和轉(zhuǎn)角條件：材料服從胡克定律和小變形撓度和轉(zhuǎn)角均與載荷成線性關(guān)系6.4疊加法求梁變形疊加法求梁的變形舉例用疊加法求圖示梁B截面的轉(zhuǎn)角和C截面的撓度疊加結(jié)果為查表

在工程中，對梁的設(shè)計(jì)除滿足強(qiáng)度條件外，梁的位移也需加以控制，從而保證其正常工作。

在土建工程中，通常對梁的撓度加以控制，例如：梁的剛度條件為：通常情況下，強(qiáng)度條件滿足，剛度條件一般也滿足。

但是，當(dāng)位移限制很嚴(yán)，或按強(qiáng)度條件所選截面過于單薄時(shí)，剛度條件也起控制作用。6.5

梁的剛度校核

例

一簡支梁荷載如圖示．已知材料的許用應(yīng)力[σ]＝160MPa，許用撓度[w]=l/500，彈性模量E=200GPa，試選擇工字鋼的型號(hào)。

解：1、作出梁的彎矩圖2、根據(jù)彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件，要求3、梁的剛度條件為：解得

由型鋼表中查得，22a工字鋼的彎曲截面系數(shù)Wz＝3.09×l0-4m3，慣性矩Iz=3.40×10-5m4，可見．選擇.22a工字鋼作梁將同時(shí)滿足強(qiáng)度和剛度要求。F=35kN2mAB2ml=4m

M圖Lq0MABAq0LRBABxq0LABf或6.6靜不定梁處理方法：3種方程（變形協(xié)調(diào)、物理、平衡）相結(jié)合，求全部未知力解：建立靜定基確定超靜定次數(shù)用反力代替多余約束得新結(jié)構(gòu)

——

靜定基等價(jià)幾何方程——變形協(xié)調(diào)方程q0LRBAB=+RBABq0AB物理方程補(bǔ)充方程求解其它問題

（反力、應(yīng)力、變形等）幾何方程——

變形協(xié)調(diào)方程解：建立靜定基例

求B點(diǎn)反力=LBCxfq0LABCq0LRBAB=RBAB+q0AB+物理方程——變形與力的關(guān)系