《立體幾何中的向量方法》試卷（） 全市一等獎

《立體幾何中的向量方法》試卷一、選擇題1.(2022·鄭州模擬)把邊長為2的正方形ABCD沿對角線BD折起,使得平面ABD⊥平面CBD,則異面直線AD,BC所成的角為()(A)120°(B)30° (C)90° (D)60°2.在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面為邊長為1的正三角形,側(cè)棱AA1⊥底面ABC,點D在棱BB1上,且BD=1,若AD與平面AA1C1C所成的角為(A) (B) (C) (D)3.(2022·佛山模擬)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,二面角A1-BD-C1()(A) (B) (C) (D)4.(2022·湛江模擬)在三棱錐S-ABC中,△ABC是邊長為4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=2,M,N分別為AB,SB的中點,如圖所示,則點B到平面CMN的距離為()(A) (B) (C) (D)5.(2022·三亞模擬)如圖,正方形ACDE與等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直,且AC=BC=2,∠ACB=90°,F,G分別是線段AE,BC的中點,則AD與GF所成的角的余弦值為()(A) (B)- (C) (D)-6.如圖,平面ABCD⊥平面ABEF,四邊形ABCD是正方形,四邊形ABEF是矩形,且AF=AD=a,G是EF的中點,則GB與平面AGC所成角的正弦值為()(A) (B) (C) (D)二、填空題7.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,M,N分別是C1D1,CC1的中點,則直線B1N與平面BDM所成角的正弦值為8.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,O是底面A1B1C1D1的中心,則點O到平面ABC1D1的距離為9.二面角的棱上有A,B兩點,直線AC,BD分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi),且都垂直于AB.已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=2,則該二面角的大小為.10.(2022·江門模擬)如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.若PD=AD,則二面角A-PB-C的余弦值為.三、解答題11.(2022·安陽模擬)如圖,正方形ABCD所在平面與等腰三角形EAD所在平面相交于AD,EA=ED,AE⊥平面CDE.(1)求證:AB⊥平面ADE.(2)設(shè)M是線段BE上一點,當(dāng)直線AM與平面EAD所成角的正弦值為時,試確定點M的位置.12.(2022·東莞模擬)如圖,四棱錐P-ABCD中,PB⊥底面ABCD,CD⊥PD,底面ABCD為直角梯形,AD∥BC,AB⊥BC,AB=AD=PB=3,點E在棱PA上,且PE=2EA.(1)求直線PC與平面PAD所成角的余弦值.(2)求證:PC∥平面EBD.(3)求二面角A-BE-D的余弦值.13.(能力挑戰(zhàn)題)已知正方形ABCD的邊長為2,AC∩BD=O.將正方形ABCD沿對角線BD折起,使AC=a,得到三棱錐A-BCD,如圖所示.(1)當(dāng)a=2時,求證:AO⊥平面BCD.(2)當(dāng)二面角A-BD-C的大小為120°時,求二面角A-BC-D的正切值.答案解析1.【解析】選D.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(,0,0),B(0,,0),C(0,0,),D(0,-,0),∴=(-,-,0),=(0,-,),∴||=2,||=2,·=2,∴cos<,>===.∴異面直線AD,BC所成的角為60°.2.【解析】選D.如圖,建立坐標(biāo)系,易求點D(,,1),平面AA1C1C的一個法向量是n=(1,0,0),所以cos<n,>==,即sinα3.【解析】選D.設(shè)正方體棱長為1,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz,易知A1E⊥BD,C1E⊥BD,則∠A1EC1是二面角A1-BD-C1的平面角,=(,-,1),=(-,,1),cos<,>=.【方法技巧】求二面角的策略(1)法向量法.其步驟是:①建系;②分別求構(gòu)成二面角的兩個半平面的法向量;③求法向量夾角的余弦值;④根據(jù)題意確定二面角的余弦值或其大小.(2)平面角法.該法就是首先利用二面角的定義,找出二面角的平面角,然后用向量法或解三角形法求其余弦值.4.【解析】選C.取AC的中點O,連接OS,OB.∵SA=SC,AB=BC,∴AC⊥SO,AC⊥BO.∵平面SAC⊥平面ABC,平面SAC∩平面ABC=AC,∴SO⊥平面ABC,∴SO⊥BO.如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,則A(2,0,0),B(0,2,0),C(-2,0,0),S(0,0,2),M(1,,0),N(0,,).∴=(3,,0),=(-1,0,),=(-1,,0).設(shè)n=(x,y,z)為平面CMN的一個法向量,則取z=1,則x=,y=-,∴n=(,-,1).∴點B到平面CMN的距離d=5.【解析】選A.如圖,正方形ACDE與等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直,且AC=BC=2,∠ACB=90°,F,G分別是線段AE,BC的中點.以C為原點建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz,A(0,2,0),B(2,0,0),D(0,0,2),G(1,0,0),F(0,2,1),=(0,-2,2),=(-1,2,1),∴||=2,||=,·=-2,∴cos<,>==-.∴直線AD與GF所成角的余弦值為.【誤區(qū)警示】本題容易忽視異面直線所成角的范圍而誤選B.【變式備選】在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M為DD1的中點,O為底面ABCD的中心,P為棱A1B1(A) (B) (C) (D)【解析】選D.建立坐標(biāo)系,通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算可知AM⊥OP恒成立,即AM與OP所成的角為.6.【解析】選C.如圖,以A為原點建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(0,2a,0),C(0,2a,2a),G(a,a,0),F(a,0,0),=(a,a,0),=(0,2a,2a),=(a,-a,0),=(0,0,2a).設(shè)平面AGC的一個法向量為n1=(x1,y1,1),由???n1=(1,-1,1).設(shè)θ為GB與平面AGC所成的角,則sinθ===.7.【解析】以D為坐標(biāo)原點,分別以,,的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,則B1(2,2,2),N(0,2,1),=(2,0,1),又M(0,1,2),D(0,0,0),B(2,2,0),則=(2,2,0),=(0,1,2),可得平面BDM的一個法向量n=(2,-2,1),因為cos<n,>==,故直線B1N與平面BDM所成角的正弦值是.答案:8.【解析】以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,則A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),C1(0,1,1),O(,,1),=(0,1,0),=(-1,0,1),設(shè)平面ABC1D1的法向量n=(x,y,z),由得令x=1,得n=(1,0,1).又=(-,-,0),∴O到平面ABC1D1的距離d===.答案:9.【解析】由條件,知·=0,·=0,=++,∴||2=||2+||2+||2+2·+2·+2·=62+42+82+2×6×8cos<,>=(2)2,∴cos<,>=-,<,>=120°,∴二面角的大小為60°.答案:60°10.【解析】如圖,以D為坐標(biāo)原點,AD的長為單位長,射線DA,DB,DP分別為x軸,y軸,z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,則A(1,0,0),B(0,,0),C(-1,,0),P(0,0,1).=(-1,,0),=(0,,-1),=(-1,0,0).設(shè)平面PAB的一個法向量為n=(x,y,z),則即因此可取n=(,1,).設(shè)平面PBC的一個法向量為m,則可取m=(0,-1,-),則cos<m,n>==-.由圖形知二面角A-PB-C為鈍角.故二面角A-PB-C的余弦值為-.答案:-11.【解析】(1)∵AE⊥平面CDE,CD?平面CDE,∴AE⊥CD.在正方形ABCD中,CD⊥AD,∵AD∩AE=A,∴CD⊥平面ADE.∵AB∥CD,∴AB⊥平面ADE.(2)由(1)得平面EAD⊥平面ABCD,取AD中點O,連結(jié)EO.∵EA=ED,∴EO⊥AD,∴EO⊥平面ABCD.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AB=2,則A(1,0,0),B(1,2,0),E(0,0,1).設(shè)M(x,y,z).∴=(x-1,y-2,z),=(-1,-2,1),∵B,M,E三點共線,設(shè)=λ,∴M(1-λ,2-2λ,λ),∴=(-λ,2-2λ,λ).設(shè)AM與平面EAD所成角為θ,∵平面EAD的一法向量為n=(0,1,0),∴sinθ=|cos<,n>|==,解得λ=,即點M為BE的中點.【變式備選】(2022·石家莊模擬)如圖,已知正四棱錐P-ABCD的所有棱長都是2,底面正方形兩條對角線相交于O點,M是側(cè)棱PC的中點.(1)求此正四棱錐的體積.(2)求直線BM與側(cè)面PAB所成角θ的正弦值.【解析】(1)由題可得,PO⊥底面ABCD.在Rt△AOP中,∵AO=AC=,AP=2,∴PO===.故VP-ABCD=·S底·PO=×4×=.(2)由(1)知PO⊥底面ABCD,且OA⊥OB,以O(shè)點為原點,OA,OB,OP所在的直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則各點的坐標(biāo)為A(,0,0),B(0,,0),P(0,0,),M(-,0,),∴=(,,-),=(-,,0),=(-,0,).設(shè)平面ABP的一個法向量為n=(x,y,z),則有即取x=1,則y=1,z=1,∴n=(1,1,1),∴sinθ=cos(90°-θ)===.12.【解析】(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B-xyz.設(shè)BC=a,則A(0,3,0),P(0,0,3),D(3,3,0),C(a,0,0),=(3-a,3,0),=(3,3,-3).∵CD⊥PD,∴·=0,即3(3-a)+9=0.∴a=6.設(shè)平面PAD的一個法向量為n=(x,y,1),則?所以n=(0,1,1).設(shè)直線PC與平面PAD所成角為θ,則sinθ===,cosθ===,所以,直線PC與平面PAD所成角的余弦值為.(2)連接AC交BD于G,連接EG,∴==,又=,∴=,∴PC∥EG.又EG?平面EBD,PC?平面EBD,∴PC∥平面EBD.(3)設(shè)平面BED的一個法向量為n1=(x1,y1,1),因為=(0,2,1),=(3,3,0),由得所以于是n1=(,-,1),又因為平面ABE的一個法向量n2=(1,0,0),所以cos<n1,n2>==,∴二面角A-BE-D的余弦值為.13.【解析】(1)根據(jù)題意,在△AOC中,AC=a=2,AO=CO=,所以AC2=AO2+CO2,所以AO⊥CO.又AO⊥BD,BD∩CO=O,所以AO⊥平面BCD.(2)方法一:由(1)知,CO⊥OD,以O(shè)為原點,OC,OD所在的直線分別為x軸、y軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系O-xyz,則有O(0,0,0),D(0,,0),C(,0,0),B(0,-,0).設(shè)A(x0,0,z0)(x0<0),則=(x0,0,z0),=(0,,0).平面ABD的一個法向量為n=(z0,0,-x0).平面BCD的一個法向量為m=(0,0,1),且二面角A-BD-C的大小為120°,所以|cos<m,n>|=|cos120°|=,得=3.因為|OA|=,所以=.解得x0=-,z0=.所以A(-,0,).平面ABC的一個法向量為l=(1,-1,).設(shè)二面角A-BC-D的平面角為θ,所以cosθ=|cos<l,m>|=||=.所以tanθ=.所以二面角A-BC-D的正切值為.方法二:折疊后,BD⊥AO,BD⊥CO.所以∠AOC是二面角A-BD-C的平面角,即∠AOC=120°.在△AOC中,AO=CO=,所以AC=.如圖,過點A作CO的垂線交CO延長線