速率分布函數(shù)

氣體動理論第七章麥克斯韋速率分布律（Maxwellslawofdistributionofspeeds）

§4.5麥克斯韋速率分布律1、速率分布函數(shù)要深入研究氣體的性質(zhì)，一步弄清分子按速率和按能量等的分布情況。不能光是研究一些平均值，還應(yīng)該進整體上看，氣體的速率分布是有統(tǒng)計規(guī)律性的。麥克斯韋（Maxwellslawofdistributionofspeeds）設(shè)總分子數(shù)為NN——表示速率在v

~v+v

區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)。N

與v

、v

有關(guān)。——表示速率處在v

~

v

+v

區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分率。也與v

、v

有關(guān)。——分子速率在v

附近單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。下面列出了Hg分子在某溫度時不同速率的分子數(shù)占總分子的百分比。90以下6.290-----140140----190190----240240----290290----340340----390390以上10.3218.9322.718.312.86.24.0注意：以上速率分布情況只要在相同實驗條件下多次重復(fù)實驗，其結(jié)果一樣。說明盡管每次任取一分子看，分子速率各不相同。但大量分子總體而言卻遵循著確定的規(guī)律。1）實驗數(shù)據(jù)的圖示化6.2%10.32%18.93%22.7%18.3%12.8%6.2%4.0%090140190240290340390從圖中可以看出:1)每個小長方形面積代表某速率區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比N/N2)所有小面積的和恒等于一。3）當速率區(qū)間，小矩形面積的端點連成一函數(shù)曲線----分子速率分布函數(shù)。2）分布函數(shù)的意義要搞清函數(shù)的意義，先要弄清縱坐標的意義。在區(qū)間作一小矩形，小矩形的面積：按函數(shù)的定義故或：當占總分子數(shù)的比例?！甭蕍附近單位速率區(qū)間的概率。由定義式可看出f(v)的意義是：

因為

所以這稱為速率分布函數(shù)的歸一化條件。

即對于一個分子來說，f(v)就是分子處于速“在速率v附近，單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)（functionofdistributionofspeeds）稱速率分布函數(shù)思考：1、若表示速率分布函數(shù)，試說明下列各式的物理意義（1）（2）（3）

（4）

（5）2、麥克斯韋速率分布函數(shù)（1860年從理論上導(dǎo)出）是分子的質(zhì)量，玻耳茲曼常數(shù)速率分布曲線

以

v為橫坐標，為縱坐標，畫出的曲線稱為速率分布曲線。由上式可得到一個分子在v~

v

+dv

區(qū)間的概率為f(v)vv2v1分布曲線的物理意義①小矩形的面積表示速率處在v~

v

+dv

區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分率。②曲邊梯形的面積

表示速率處在

v1

—v2

區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分率。③曲線下的總面積歸一化條件3、三種統(tǒng)計速率最可幾速率

(最概然速率)vpf(v)vvpvp把整個速率區(qū)間分成許多相等的小區(qū)間,則速率大小與相近的氣體分子數(shù)占總分子數(shù)的比率為最大。可由求極值條件求得

分布曲線極大值對應(yīng)的速率叫最可幾速率。物理意義:討論兩種情況：（1）m0

一定,曲線高峰右移,同時高度下降。（2）T

一定，f(v)vvp1vp2f(v)v2.平均速率大量分子速率的算術(shù)平均值叫平均速率。若用dN表示速率在v－v+dv

區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)，v連續(xù)分布時，上式過渡到積分。分立：連續(xù)：viv，對麥氏速率分布經(jīng)計算得：NidNv=Nf(v)dv，平均速率（averagespeed）平均速率

任意函數(shù)(v)對全體分子按速率分布的平均值：3.方均根速率速率平方的平均值方均根速率f(v)v三種速率中，最大，次之，最小附錄:

三種統(tǒng)計速率的計算速率分布函數(shù)中令則速率平方的平均值討論思考題：試說明下列各式的物理意義①②③④⑤速率在的所有分子速率的總和被總分子數(shù)除速率在區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)速率在區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率并非之間的分子的平均速率⑦⑧⑥速率在的所有分子速率總和分子平動動能的平均值速率在內(nèi)的分子的平均速率f(v)vT1T2例1、圖為同一種氣體，處于不同溫度下的速率分布曲線，試問（1）哪一條曲線對應(yīng)的溫度高？（2)如果這兩條曲線分別對應(yīng)的是同一溫度下氧氣和氫氣的分布曲線，問哪條曲線對應(yīng)的是氧氣，哪條對應(yīng)的是氫氣？解：(1)T1<

T2(2)綠：氧

白：氫例2、處理理想氣體分子速率分布的統(tǒng)計方法可用于金屬中自由電子(“電子氣”模型)。設(shè)導(dǎo)體中自由電子數(shù)為N,電子速率最大值為費米速率

，且已知電子速率在v—v+dv

區(qū)間的概率為：A

為常數(shù)（1）畫出電子氣的速率分布曲線（2）由定出常數(shù)A（3）求Ovf(v

)解：（1）（2）由歸一化條件確定常數(shù)A（3）例3、求速率在v1—v2

區(qū)間內(nèi)的分子的平均速率。解：討論：1、用分子數(shù)N，氣體分子速率v和速率分布函數(shù)表示下列各量（1）速率大于的分子數(shù)；（2）速率大于的那些分子的平均速率；（4）分子速率倒數(shù)的平均值。（5）分子平均平動動能。2、設(shè)某種氣體的分子速率分布函數(shù)為f(v),則速率在v1→v2區(qū)間的分子的平均速率為：（3）多次觀察某一分子的速率，發(fā)現(xiàn)其速率大于的概率。（A）2000m/s，1000m/s（B）1000m/s，2000m/s（C）1000m/s，1000m/s（D）1000m/s，1000m/s3、若氣體分子的速率分布曲線如圖所示，圖中A、B兩部分的面積相等，則圖中表示（D

）4、圖示的曲線分別是氫氣和氦氣在同溫度下的分子速率分布曲線，由圖可知，氫氣分子的最概然速率和氧氣分子的最概然速率分別為（）（A）最概然速率（B）平均速率（C）方均根速率（D）速率大于和小于的分子各占一半5、

下列說法中正確的是（

）（A）N個理想氣體分子組成的分子束，都以垂直于器壁的速度v與器壁作完全彈性碰撞。當分子數(shù)N小時，不能使用理想氣體的壓強公式；當N很大時就可以使用它；（B）表示溫度為T的平衡態(tài)下，分子在一個自由度上運動的平均動能；（C）因為氫分子質(zhì)量小于氧分子質(zhì)量，故在相同溫度下它們的速率滿足；（D）氣體分子的速率等于最概然速率的概率最大。6、某氣體分子的速率分布曲線如選7-7圖所示，表示最概然速率，表示速率分布在之間的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分率，當溫度減低時，則（A

）（A）減小，也減?。˙）增大，也增大（C）減小，增大（D）增大，減小7、

設(shè)為N個（N很大）分子組成的系統(tǒng)的速率分布函數(shù)。（1）分別寫出題圖（a）、(b)中陰影面積對應(yīng)的數(shù)學(xué)表達式并回答其物理意義；（2）設(shè)分子質(zhì)量為m，試用表示以下各量：①分子動量大小的平均值；②分子平動動能的平均值。§4.6玻耳茲曼分布律(了解)1、麥克斯韋速度分布律（1859年導(dǎo)出）分子動能上式稱為麥克斯韋速度分布律，滿足歸一化條件，即

上述麥克斯韋速率分布律，未考慮氣體分子的速度方向，更詳細的描述應(yīng)指出氣體分子是如何按速度分布的，如以表示分子的速度，分別表示速度沿x,y,z的分量，則理論表明，平衡態(tài)下，在速度分量區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)dN與總分子數(shù)N的比率為全“速度空間”捕捉粒子的概率為1

“速率區(qū)間v

~v

+v

”對應(yīng)“速度空間”中半徑為v

、厚度為dv

的“球殼”，所以粒子在速率區(qū)間內(nèi)的概率為2、玻耳茲曼分布律

當系統(tǒng)在保守力場中處于平衡態(tài)時，坐標介于內(nèi)，同時速度介于的分子數(shù)為①式改寫一下式中n0為勢能時單位體積內(nèi)具有的各種速度的分子總數(shù)，上式稱為玻耳茲曼分布律(又稱玻耳茲曼分子按能量分布律)。①②式對所有速度積分得體積元內(nèi)的總分子數(shù)

式中的中間項為麥克斯韋速度分布項，它滿足歸一化條件②③令，