《排列與組合》同步練習（）

《排列與組合》同步練習一、選擇題1．6個人分乘兩輛不同的汽車，每輛車最多坐4人，則不同的乘車方法數(shù)為()A．40 B．50C．60 D．70[答案]B[解析]先分組再排列，一組2人一組4人有Ceq\o\al(2,6)＝15種不同的分法；兩組各3人共有eq\f(C\o\al(3,6),A\o\al(2,2))＝10種不同的分法，所以乘車方法數(shù)為(15＋10)×2＝50，故選B.2．有6個座位連成一排，現(xiàn)有3人就坐，則恰有兩個空座位相鄰的不同坐法有()A．36種 B．48種C．72種 D．96種[答案]C[解析]恰有兩個空座位相鄰，相當于兩個空位與第三個空位不相鄰，先排三個人，然后插空，從而共Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,4)＝72種排法，故選C.3．(2022·廣州市綜合測試二)有兩張卡片，一張的正反面分別寫著數(shù)字0與1，另一張的正反面分別寫著數(shù)字2與3，將兩張卡片排在一起組成一個兩位數(shù)，則所組成的兩位數(shù)為奇數(shù)的概率是()A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(3,8)[答案]C[解析]由這兩張卡片排成的兩位數(shù)共有6個，其中奇數(shù)有3個，∴P＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).4．男、女學生共有8人，從男生中選取2人，從女生中選取1人，共有30種不同的選法，其中女生有()A．2人或3人 B．3人或4人C．3人 D．4人[答案]A[解析]設男生有n人，則女生有(8－n)人，由題意可得Ceq\o\al(2,n)Ceq\o\al(1,8－n)＝30，解得n＝5或n＝6，代入驗證，可知女生為2人或3人．5．某幢樓從二樓到三樓的樓梯共10級，上樓可以一步上一級，也可以一步上兩級，若規(guī)定從二樓到三樓用8步走完，則方法有()A．45種 B．36種C．28種 D．25種[答案]C[解析]因為10級臺階走8步，故可以肯定一步一個臺階的有6步，一步兩個臺階的有2步，那么只需從8步中選取2步，這兩步中每一步上兩個臺階即可，共有Ceq\o\al(2,8)＝28種選法．6．(2022·晉中市祁縣二中高二期末)如圖，用4種不同的顏色涂入圖中的矩形A、B、C、D中，(四種顏色可以不全用也可以全用)要求相鄰的矩形涂色不同，則不同的涂法有()ABCD種 B．48種C．24種 D．12種[答案]A[解析]解法1：(1)4種顏色全用時，有Aeq\o\al(4,4)＝24種不同涂色方法．(2)4種顏色不全用時，因為相鄰矩形不同色，故必須用三種顏色，先從4種顏色中選3種，涂入A、B、C中，有Aeq\o\al(3,4)種涂法，然后涂D，D可以與A(或B)同色，有2種涂法，∴共有2Aeq\o\al(3,4)＝48種，∴共有不同涂色方法，24＋48＝72種．解法2：涂A有4種方法，涂B有3種方法，涂C有2種方法，涂D有3種方法，故共有4×3×2×3＝72種涂法．二、填空題7．(2022·杭州市質檢)用1、2、3、4、5組成不含重復數(shù)字的五位數(shù)，數(shù)字2不出現(xiàn)在首位和末位，數(shù)字1、3、5中有且僅有兩個數(shù)字相鄰，則滿足條件的不同五位數(shù)的個數(shù)是________(注：用數(shù)字作答)．[答案]48[解析]按2的位置分三類：①當2出現(xiàn)在第2位時，即02000，則第1位必為1、3、5中的一個數(shù)字，所以滿足條件的五位數(shù)有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝12個；②當2出現(xiàn)在第3位時，即00200，則第1位、第2位為1、3、5中的兩個數(shù)字或第4位、第5位為1、3、5中的兩個數(shù)字，所以滿足條件的五位數(shù)有2Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＝24個；③當2出現(xiàn)在第4位時，即00020，則第5位必為1、3、5中的一個數(shù)字，所以滿足條件的五位數(shù)有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝12個．綜上，共有12＋24＋12＝48個．8．今有2個紅球、3個黃球、4個白球，同色球不加以區(qū)分，將這9個球排成一列有________種不同的排法．(用數(shù)字作答)[答案]1260[解析]由題意可知，因同色球不加以區(qū)分，實際上是一個組合問題，共有Ceq\o\al(4,9)·Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(3,3)＝1260(種)排法．9．將6位志愿者分成4組，其中兩個組各2人，另兩個組各1人，分赴世博會的四個不同場館服務，不同的分配方案有________種(用數(shù)字作答)．[答案]1080[解析]先將6名志愿者分為4組，共有eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4),A\o\al(2,2))種分法，再將4組人員分到4個不同場館去，共有Aeq\o\al(4,4)種分法，故所有分配方案有：eq\f(C\o\al(2,6)·C\o\al(2,4),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(4,4)＝1080種．三、解答題10．(1)計算Ceq\o\al(98,100)＋Ceq\o\al(199,200)；(2)求20Ceq\o\al(5,n＋5)＝4(n＋4)Ceq\o\al(n－1,n＋3)＋15Aeq\o\al(2,n＋3)中n的值．[解析](1)Ceq\o\al(98,100)＋Ceq\o\al(199,200)＝Ceq\o\al(2,100)＋Ceq\o\al(1,200)＝eq\f(100×99,2)＋200＝4950＋200＝5150.(2)20×eq\f(n＋5！,5！n！)＝4(n＋4)×eq\f(n＋3！,n－1！4！)＋15(n＋3)(n＋2)，即eq\f(n＋5n＋4n＋3n＋2n＋1,6)＝eq\f(n＋4n＋3n＋2n＋1n,6)＋15(n＋3)(n＋2)，所以(n＋5)(n＋4)(n＋1)－(n＋4)(n＋1)n＝90，即5(n＋4)(n＋1)＝90.所以n2＋5n－14＝0，即n＝2或n＝－7.注意到n≥1且n∈Z，所以n＝2.[點評]在(1)中應用組合數(shù)性質使問題簡化，若直接應用公式計算，容易發(fā)生運算錯誤，因此，當m>eq\f(n,2)時，特別是m接近于n時，利用組合數(shù)性質1能簡化運算．一、選擇題11．已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，從這三個集合中各取一個元素構成空間直角坐標系中點的坐標，則確定的不同點的個數(shù)為()A．33 B．34C．35 D．36[答案]A[解析]①所得空間直角坐標系中的點的坐標中不含1的有Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(3,3)＝12個；②所得空間直角坐標系中的點的坐標中含有1個1的有Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(3,3)＋Aeq\o\al(3,3)＝18個；③所得空間直角坐標系中的點的坐標中含有2個1的有Ceq\o\al(1,3)＝3個．故共有符合條件的點的個數(shù)為12＋18＋3＝33個，故選A.12．(2022·山西太原五中月考)如果小明在某一周的第一天和第七天分別吃了3個水果，且從這周的第二天開始，每天所吃水果的個數(shù)與前一天相比，僅存在三種可能：或“多一個”或“持平”或“少一個”，那么，小明在這一周中每天所吃水果個數(shù)的不同選擇方案共有()A．50種 B．51種C．140種 D．141種[答案]D[解析]按第二天到第七天選擇持平次數(shù)分類得Ceq\o\al(6,6)＋Ceq\o\al(4,6)Aeq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(0,6)Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(3,3)＝141種．13．如果在一周內(周一至周日)安排三所學校的學生參觀某展覽館，每天最多只安排一所學校，要求甲學校連續(xù)參觀兩天，其余學校均只參觀一天，那么不同的安排方法有()A．50種 B．60種C．120種 D．210種[答案]C[解析]先安排甲學校的參觀時間，一周內兩天連排的方法一共有6種：(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7)，甲任選一種為Ceq\o\al(1,6)，然后在剩下的5天中任選2天有序地安排其余兩所學校參觀，安排方法有Aeq\o\al(2,5)種，按照分步乘法計數(shù)原理可知共有不同的安排方法Ceq\o\al(1,6)·Aeq\o\al(2,5)＝120種，故選C.14．將甲、乙兩人在內的7名醫(yī)生分成三個醫(yī)療小組，一組3人，另兩組每組各2人，則甲、乙不分在同一組的分法有()A．80種 B．90種C．25種 D．120種[答案]A[解析]解法一：當兩人都在3人組內時，有eq\f(1,2)Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(2,4)種，當兩人都在某個兩人組內時，有Ceq\o\al(3,5)種，∴共有eq\f(1,2)Ceq\o\al(3,7)Ceq\o\al(2,4)－Ceq\o\al(3,5)－eq\f(1,2)Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(2,4)＝80種．解法二：直接法．當甲、乙在兩人小組一組一個時，有eq\f(1,2)Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)種，當甲、乙一個在三人組中，另一個在兩人組中時，有Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(2,2)種，∴共有eq\f(1,2)Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＝80種．二、填空題15．要在如圖所示的花圃中的5個區(qū)域中種入4種顏色不同的花，要求相鄰區(qū)域不同色，有________種不同的種法(用數(shù)字作答)．[答案]72[解析]5有4種種法，1有3種種法，4有2種種法．若1、3同色，2有2種種法，若1、3不同色，2有1種種法，∴有4×3×2×(1×2＋1×1)＝72種．16．在空間直角坐標系O－xyz中有8個點：P1(1,1,1)、P2(－1，1,1)、…、P7(－1，－1，－1)、P8(1，－1，－1)(每個點的橫、縱、豎坐標都是1或－1)，以其中4個點為頂點的三棱錐一共有________個(用數(shù)字作答)．[答案]58[解析]這8個點構成正方體的8個頂點，此題即轉化成以正方體的8個頂點中的4個點為頂點的三棱錐一共有多少個，則共有三棱錐Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,4)＋(Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,4)－2×4－2)＋Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,4)＝58個．[點評]用間接法求解更簡便些，從正方體的8個頂點中任取4個，有不同取法Ceq\o\al(4,8)種，其中這四點共面的(6個對角面、6個表面)共12個，∴這樣的三棱錐有Ceq\o\al(4,8)－12＝58個．三、解答題17．有一排8個發(fā)光二極管，每個二極管點亮時可發(fā)出紅光或綠光，若每次恰有3個二極管點亮，但相鄰的兩個二極管不能同時點亮，根據(jù)這三個點亮的二極管的不同位置和不同顏色來表示不同的信息，求這排二極管能表示的信息種數(shù)共有多少種？[解析]因為相鄰的兩個二極管不能同時點亮，所以需要把3個點亮的二極管插放在未點亮的5個二極管之間及兩端的6個空上，共有Ceq\o\al(3,6)種亮燈辦法．然后分步確定每個二極管發(fā)光顏色有2×2×2＝8(種)方法，所以這排二極管能表示的信息種數(shù)共有8Ceq\o\al(3,6)＝160(種)．18．6男4女站成一排，求滿足下列條件的排法共有多少種？(列出算式即可)(1)任何2名女生都不相鄰，有多少種排法？(2)男甲不在首位，男乙不在末位，有多少種排法？(3)男生甲、乙、丙順序一定，有多少種排法？(4)男甲在男乙的左邊(不一定相鄰)有多少種不同的排法？[解析](1)任何2名女生都不相鄰，則把女生插空，所以先排男生再讓女生插到男生的空中，共有Aeq\o\al(6,6)·Aeq\o\al(4,7)種不同排法．(2)方法一：甲不在首位，按甲的排法分類，若甲在末位，則有Aeq\o\al(9,9)種排法，若甲不在末位，則甲有Aeq\o\al(1,8)種排法，乙有Aeq\o\al(1,8)種排法，其余有Aeq\o\al(8,8)種排法，綜上共有(Aeq\o\al(9,9)＋Aeq\o\al(1,8)Aeq\o\al(1,8)·Aeq\o\al(8,8))種排法．方法二：甲在首位的共有Aeq\o\al(9,9)種，乙在末位的共有Aeq\o\al(9,9)種，甲在首位且乙在末位的有