計算方法 數(shù)值積分-插值型積分

第6次數(shù)值積分-插值型積分-誤差-求積公式的收斂性與穩(wěn)定性計算方法(NumericalAnalysis)整理課件第四章數(shù)值積分數(shù)值積分引論機械求積方法以簡單函數(shù)近似逼近被積函數(shù)方法-插值型求積公式插值型求積公式的例子求積公式的收斂性和穩(wěn)定性整理課件數(shù)值積分引論整理課件第四章數(shù)值積分4.0引言若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)且其原函數(shù)為F(x),則可用Newton-Leibnitz公式:求定積分的值。評論：Newton-Leibnitz公式無論在理論上還是在解決實際問題上都起了很大作用，但它并不能完全解決定積分的計算問題。整理課件

(1)被積函數(shù)f(x)沒有用初等函數(shù)的有限形式表示的原

函數(shù)F(x)，例如：(2)被積函數(shù)f(x)的原函數(shù)能用初等函數(shù)表示，但表

達式太復雜，例如的原函數(shù)：則無法應用Newton-Leibnitz公式。在實際計算中經(jīng)常遇到以下三種情況：整理課件(3)被積函數(shù)f(x)沒有具體的解析表達式,其函數(shù)關系由表格或圖形表示。對于以上情況，通過Newton-Leibniz公式求原函數(shù)計算積分的準確值都是十分困難的。因而需要研究一種新的積分方法：數(shù)值解法來建立積分的近似計算方法。將積分區(qū)間細分,在每一個小區(qū)間內(nèi)用簡單函數(shù)代替復雜函數(shù)進行積分，這就是數(shù)值積分的思想，用代數(shù)插值多項式去代替被積函數(shù)f(x)進行積分是本章討論數(shù)值積分的主要內(nèi)容。Home整理課件機械求積方法整理課件4.1數(shù)值積分概述圖4-1數(shù)值積分的幾何意義積分值的幾何表示：由x=a,x=b,y=0以及y=f(x)這四條邊所圍的曲邊梯形面積。該面積難于計算是因為它有一條曲邊y=f(x)。

4.1.1數(shù)值積分的基本思想y=f(x)yab整理課件最常用的建立數(shù)值積分公式的兩種方法：本段講授機械求積方法.即所求的曲邊梯形的面積恰好等于底為(b-a)，高為的矩形面積。但點ξ的具體位置是未知的,因而的值也是未知的。第1種：機械求積方法.第2種：使用簡單函數(shù)近似代替被積函數(shù)的方法由積分中值定理可知，對于連續(xù)函數(shù)f(x)，在積分區(qū)間[a,b]內(nèi)存在一點ξ，使得謎整理課件三個求積分公式y(tǒng)構(gòu)造出一些求積分值的近似公式。則分別得到如下的梯形公式和中矩形公式。梯形公式中的y中矩形公式中的例如分別取：整理課件①梯形公式xaby=f(x)ab用梯形面積代表積分值整理課件②中矩形公式y(tǒng)=f(x)abyx(a+b)/2ab用區(qū)間中點的函數(shù)值為高的矩形面積代表積分值整理課件y=f(x)y③Simpson公式abSimpson公式是以函數(shù)f(x)在a,b,(a+b)/2這三點的函數(shù)值的加權(quán)平均值作為平均高度f().

(a+b)/2Home整理課件以簡單函數(shù)近似逼近被積函數(shù)方法插值型求積公式整理課件先用某個簡單函數(shù)近似逼近f(x),用代替原被積函數(shù)f(x)，即函數(shù)應該對f(x)有充分的逼近程度,并且容易計算其積分。第2種：使用簡單函數(shù)近似代替被積函數(shù)的方法以此構(gòu)造數(shù)值算法。通常，將選取為f(x)的插值多項式,這樣f(x)的積分就可以用其插值多項式的積分來近似代替。要求：整理課件4.1.2插值求積公式

其中，對k=0,…,n

設已知f(x)在節(jié)點有函數(shù)值,作n次拉格朗日插值多項式……整理課件其中

稱為求積系數(shù)。取作為的近似值，即記為整理課件定義4.1求積公式當其系數(shù)時，則稱求積公式為插值（型）求積公式。(4.1)整理課件記(4.1)的余項為，由插值余項定理得其中注意：當f(x)是次數(shù)不高于n的多項式時，

因此，求積公式(4.1)成為準確的等式。整理課件例1給定插值節(jié)點為定積分構(gòu)造插值求積公式。解：以這三點為插值節(jié)點的Lagrange插值基函數(shù)為整理課件從而，得到插值型求積公式如下：整理課件例2設積分區(qū)間[a,b]為[0,2]，取

解:梯形公式和辛卜生的計算結(jié)果與準確值比較如下表所示計算其積分結(jié)果并與準確值進行比較。分別用梯形和辛卜生公式：整理課件f(x)1xx2x3x4ex定積分準確值222.6746.406.389梯形公式計算值2248168.389辛卜生公式計算值222.6746.676.421可以看出，當f(x)是x2,

x3

,x4

時,辛卜生公式比梯形公式更精確。梯形公式辛卜生公式同學們，自己驗證整理課件某求積公式能對多大次數(shù)的多項式f(x)成為準確等式，是衡量該公式的精確程度的重要指標。代數(shù)精度的定義：如果求積公式（4.1）對于一切次數(shù)小于等于m的多項式是準確的，而對于次數(shù)為m+1的多項式是不準確的，則稱該求積公式具有m次代數(shù)精度。

…整理課件在公式4.1中，令f(x)=1,x,x2,x3,…,xn若求積公式（4.1）的代數(shù)精度為n，則其系數(shù)應滿足:

………其系數(shù)矩陣當互異時，有唯一解………………整理課件定理4.1n+1個節(jié)點的求積公式為插值型求積公式公式至少具有n次代數(shù)精度。

證:必要性.設n+1個節(jié)點的求積公式插值型求積公式判斷條件為插值型求積公式，求積系數(shù)為：又，當f(x)為不高于n次的多項式時,f(x)=P(x),其余項R(f)=0。因而這時求積公式至少具有n次代數(shù)精度。整理課件充分性：若求積公式至少具有n次代數(shù)精度,則對n次多項式精確成立，即從而所以由（*）和(**)知：,即求積公式為插值型求積公式。其中(*)(**)整理課件重要結(jié)論：梯形公式具有1次代數(shù)精度；辛卜生公式有3次代數(shù)精度（同學們自己驗證）。取f(x)=1，顯然上式兩端相等。

取f(x)=x,取f(x)=x2,所以梯形公式只有1次代數(shù)精度。下面以梯形公式為例進行驗證Home整理課件插值型求積公式的例子整理課件例3試確定一個至少具有2次代數(shù)精度的公式解:要使公式具有2次代數(shù)精度，則對f(x)=1,x,x2

，求積公式準確成立，即得如下方程組。

解之得：所求公式為：插值型求積公式系數(shù)的值與1）積分區(qū)間[a,b]有關，2）節(jié)點的選取有關；3）和具體的f(x)無關整理課件例4試確定求積系數(shù)A,B,C，使得可驗證，該公式對于f(x)=x3也成立(意外收獲)，而對x4

不成立。因此，該求積公式有3次代數(shù)精度。A=1/3,B=4/3,C=1/3具有最高的代數(shù)精度。解:分別取f(x)=1,x,x2

，使求積公式準確成立,得:Simpson求積公式整理課件做法：選定n+1個插值節(jié)點，按照插值公式構(gòu)造求積公式后，應驗算該求積公式是否還有n+1次或更高的代數(shù)精度。問題：n+1個節(jié)點的插值型求積公式的代數(shù)精度究竟有多高？回答：n+1個節(jié)點的插值求積公式保證了至少有n次代數(shù)精度。結(jié)論：n+1個節(jié)點的插值型求積公式的代數(shù)精度至少為n，但是有可能比n還大？整理課件解：該插值求積公式具有3個節(jié)點，因此至少有2次代數(shù)精度。例5已知插值求積公式（按照插值公式構(gòu)造的系數(shù)）將f(x)=x3代入公式兩端，左端=右端=(b4-a4)/4,公式兩端嚴格相等，再代入f(x)=x4兩端不相等，故該求積公式具有3次代數(shù)精度。討論該公式的代數(shù)精度。Simpson公式是否有3次代數(shù)精度呢？整理課件的代數(shù)精度。例6考察求積公式評論：三個節(jié)點不一定具有2次代數(shù)精度，因為不是插值型的！??！解：可驗證,對于f(x)=1,x時公式兩端相等,再將f(x)=x2代入公式，經(jīng)過計算，左端=2/3，右端=1。所以該求積公式具有1次代數(shù)精度.課堂練習整理課件例7給定求積公式如下：試證此求積公式是插值型的求積公式。證明:從而求積公式至少有2次代數(shù)精度，由定理4.1，此求積公式是插值型求積公式?？沈炞C，該公式有3次代數(shù)精度。課堂練習整理課件上的插值基函數(shù)、和插值求積公式如下：另外一種驗證方法-具體地計算出以下插值型求積公式中的積分系數(shù)A,B,C.實際上，在例1中，已經(jīng)求出了在插值節(jié)點這和題目中所給定的求積公式相同，因此題目中的積分公式是插值型求積公式。這個方法比較復雜。整理課件例8求證不是插值型的。證明:設x0=-1,x1=0,x2=1從而求積公式擁有3個節(jié)點，但是僅有1次代數(shù)精度，由定理4.1，此求積公式不是插值型求積公式。課堂練習整理課件

例9給定求積公式試確定求積系數(shù)A-1,A0,A1,使其有盡可能高的代數(shù)精度，并指出其代數(shù)精度。解：令求積公式對f(x)=1,x,x2準確成立，則有課堂練習整理課件解之得:其代數(shù)精度至少為2,將f(x)=x3代入求積公式兩端相等；將f(x)=x4代入求積公式兩端不相等；所以其代數(shù)精度為3次整理課件構(gòu)造插值求積公式有如下特點：1）復雜函數(shù)f(x)的積分轉(zhuǎn)化為計算多項式的積分；2）求積系數(shù)Ak只與積分區(qū)間及節(jié)點xk有關，而與被

積函數(shù)f(x)無關，無論f(x)如何，永遠可以預先

算出Ak的值；3）n+1個節(jié)點的插值求積公式至少有n次代數(shù)精度；4）求積系數(shù)之和

可用此檢驗計算求積系數(shù)的正確性。整理課件(1)在積分區(qū)間[a,b]上選取節(jié)點xk(3)利用f(x)=1,x,…,xn,…驗算代數(shù)精度構(gòu)造插值求積公式的步驟：(2)求出f(xk)及利用或解關于Ak的線性方程組求出Ak，得到:整理課件例10對,構(gòu)造至少有3次代數(shù)精度的求積

公式。同學自己完成。解:3次代數(shù)精度需4個節(jié)點,在[0,3]上取0,1,2,3四個節(jié)點構(gòu)造求積公式確定求積系數(shù)Ak(k=0,1,2,3),利用求積系數(shù)公式整理課件因為求積公式有4個節(jié)點，所以至少具有3次代數(shù)精度，只需將f(x)=x4代入來驗證其代數(shù)精度。將f(x)=x4代入兩端不相等，所以只有3次代數(shù)精度。Home整理課件求積公式的收斂性和穩(wěn)定性整理課件4.1.5、求積公式的收斂性和穩(wěn)定性一般地，求積公式通常稱為機械求積公式。其中插值型求積公式使用了插值基函數(shù)的定積分