高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí) 一元二次不等式及其解法 新人教B版

學(xué)案2一元二次不等式及其解法名師伴你行SANPINBOOK1.考點(diǎn)1考點(diǎn)2填填知學(xué)情課內(nèi)考點(diǎn)突破規(guī)律探究考綱解讀考向預(yù)測(cè)考點(diǎn)3考點(diǎn)4名師伴你行SANPINBOOK2.返回目錄

考綱解讀

一元二次不等式的解法(1)會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式模型.(2)通過(guò)函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系.(3)會(huì)解一元二次不等式,對(duì)給定的一元二次不等式,會(huì)設(shè)計(jì)求解的程序框圖.名師伴你行SANPINBOOK3.考向預(yù)測(cè)

從近幾年的高考試題看，高考中常常以小題的形式考查簡(jiǎn)單的一元二次不等式或可化為一元二次不等式的分式不等式的解法，或已知二次函數(shù)零點(diǎn)的分布以小題形式考查相應(yīng)一元二次方程中未知參數(shù)的取值范圍，或以解答題形式出現(xiàn)單獨(dú)考查含參數(shù)的一元二次不等式的解法，也可能與函數(shù)相結(jié)合考查參數(shù)的取值范圍等.返回目錄

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1.任何一個(gè)一元二次不等式都可變形為或

(a＞0)的形式.2.設(shè)a≠0，x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的兩實(shí)根，且x1＜x2，對(duì)一元二次不等式ax2+bx+c＞0.(1)當(dāng)a＞0時(shí),若Δ=b2-4ac＞0，則其解集為

；ax2+bx+c＞0ax2+bx+c＜0{x|x>x2或x<x1}名師伴你行SANPINBOOK5.若Δ=b2-4ac=0，則其解集為

;若Δ=b2-4ac＜0，則其解集為

.(2)當(dāng)a＜0時(shí),若Δ=b2-4ac≥0，則其解集為

;若Δ=b2-4ac<0，則其解集為

.3.一元二次不等式ax2+bx+c＞0恒成立的充要條件是

;ax2+bx+c＜0恒成立的充要條件是

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{

x∈R|x≠}a＜0且b2-4ac＜0{x|x1＜x＜x2}空集Ra＞0且b2-4ac＜0名師伴你行SANPINBOOK6.解下列不等式：（1）①-x2+2x-＞0;②8x-1≤16x2.（2）解關(guān)于x的不等式：ax2-（a+1）x+1＜0.考點(diǎn)1一元二次不等式解法返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK7.【分析】(1)題可直接按一元二次不等式的步驟進(jìn)行求解.（2）題可先分解因式，求出對(duì)應(yīng)方程的根，然后對(duì)根的大小進(jìn)行討論，從而得不等式的解.【解析】（1）①兩邊都乘以-3，得3x2-6x+2＜0,∵3＞0,且方程3x2-6x+2=0的解是x1=1-,x2=1+,∴不等式的解集是〔x|1-＜x＜1+〕.②8x-1≤16x216x2-8x+1≥0(4x-1)2≥0,∴x∈R,∴不等式的解集為R.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK8.(2)原不等式變?yōu)?ax-1)(x-1)＜0,當(dāng)a=0時(shí),不等式的解為x＞1,當(dāng)a≠0時(shí)，不等式變?yōu)閍(x-)(x-1)＜0,若a＜0,則(x-)(x-1)＞0,∴x＜或x＞1.若a＞0,則(x-)(x-1)＜0,∴當(dāng)a＞1時(shí),解為＜x＜1;當(dāng)a=1時(shí),解集為;當(dāng)0＜a＜1時(shí),解為1＜x＜.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK9.綜上,當(dāng)a＜0時(shí),不等式的解集為﹛x|x＜或x＞1﹜;當(dāng)a=0時(shí),不等式的解集為{x|x＞1};當(dāng)0＜a＜1時(shí),不等式的解集為﹛x|1＜x＜﹜;當(dāng)a=1時(shí)，不等式的解集為;當(dāng)a＞1時(shí)，不等式的解集為﹛x︱＜x＜1﹜.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK10.

解含參數(shù)的一元二次不等式，要把握好分類(lèi)討論的層次，一般按下面次序進(jìn)行討論；首先根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)進(jìn)行討論；其次根據(jù)根是否存在，即Δ的符號(hào)進(jìn)行討論；最后在根存在時(shí)，根據(jù)根的大小進(jìn)行討論.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK11.解下列不等式：（1）2x2+4x+3>0;（2）-3x2-2x+8≥0;（3）12x2-ax>a2(a∈R).

【解析】(1)∵Δ=42-4×2×3<0,∴方程2x2+4x+3=0沒(méi)有實(shí)根，二次函數(shù)y=2x2+4x+3的圖象開(kāi)口向上，與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，2x2+4x+3>0恒成立，∴不等式2x2+4x+3>0的解集為R.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK12.（2）原不等式可化為3x2+2x-8≤0,∵Δ=100>0,∴方程3x2+2x-8=0的兩根為-2,,結(jié)合二次函數(shù)y=3x2+2x-8的圖象可知原不等式的解集為｛x|-2≤x≤｝.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK13.(3)由12x2-ax-a2>0(4x+a)(3x-a)>0,①a>0時(shí)，-<,解集為｛x|x<-或x>｝;②a=0時(shí)，x2>0，解集為{x|x∈R且x≠0};③a<0時(shí)，->,解集為｛x|x<或x>-｝.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK14.已知f（x）=x2-2ax+2，當(dāng)x∈［-1,+∞)時(shí)，f（x）≥a恒成立，求a的取值范圍.【分析】可以從函數(shù)的角度進(jìn)行考慮，轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問(wèn)題，也可以從方程的角度考慮，可轉(zhuǎn)化為對(duì)方程根的討論.考點(diǎn)2含參數(shù)的一元二次不等式恒成立問(wèn)題返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK15.【解析】解法一：f（x）=（x-a）2+2-a2，此二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x=a.①當(dāng)a∈(-∞,-1)時(shí)，結(jié)合圖象知，f（x）在［-1,+∞）上單調(diào)遞增，f（x）min=f(-1)=2a+3,要使f（x）≥a恒成立，只需f（x）min≥a,即2a+3≥a,解得a≥-3,又a＜-1,∴-3≤a＜-1;返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK16.②當(dāng)a∈［-1,+∞)時(shí)，f（x）min=f(a)=2-a2,由2-a2≥a,解得-2≤a≤1,又a≥-1,∴-1≤a≤1.綜上所述，所求a的取值范圍為-3≤a≤1.解法二：由已知得x2-2ax+2-a≥0在［-1,+∞)上恒成立，Δ＞0a＜-1f(-1)≥0,解得-3≤a≤1.即Δ=4a2-4（2-a）≤0或返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK17.

解不等式恒成立問(wèn)題，通常借助于函數(shù)思想或方程思想轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值或利用函數(shù)的圖象或判別式的方法求解.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK18.當(dāng)a為何值時(shí)，不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集是全體實(shí)數(shù).

【解析】①當(dāng)a2-1=0,即a=±1時(shí),若a=1,則原不等式為-1<0,恒成立.若a=-1,則原不等式為2x-1<0,即x<,不符合題目要求,舍去.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK19.②當(dāng)a2-1≠0,即a≠±1時(shí),原不等式的解集為R的條件是a2-1<0Δ=(a-1)2+4(a2-1)<0.解之得-<a<1.綜上所述,當(dāng)-<a≤1時(shí),原不等式的解集為全體實(shí)數(shù).返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK20.考點(diǎn)3一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用

某種商品,現(xiàn)在定價(jià)p元,每月賣(mài)出n件,設(shè)定價(jià)上漲x成,每月賣(mài)出數(shù)量減少y成,每月售貨總金額變成現(xiàn)在的z倍.(1)用x和y表示z;(2)設(shè)x與y滿(mǎn)足y=kx(0<k<1),利用k表示當(dāng)每月售貨總金額最大時(shí)x的值;(3)若y=x，求使每月售貨總金額有所增加的x值的范圍.【分析】用所給出的已知量表示出定價(jià)、賣(mài)出數(shù)量、售貨總金額，列出關(guān)系式，正確地將不等關(guān)系轉(zhuǎn)化成不等式問(wèn)題來(lái)求解.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK21.

【解析】

(1)按現(xiàn)在的定價(jià)上漲x成時(shí),上漲后的定價(jià)為p(1+)元,每月賣(mài)出數(shù)量為n(1-)件,每月售貨總金額是npz元,因而npz=p(1+)·n(1-),所以z=.(2)在y=kx的條件下,z=,整理可得返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK22.由于0<k<1,所以>0,所以使z值最大的x值是x=.(3)當(dāng)y=x時(shí),z=,要使每月售貨總金額有所增加,即z>1,應(yīng)有(10+x)>100,即x(x-5)<0,所以0<x<5,所以所求x的范圍是(0,5).返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK23.(1)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題是新課標(biāo)下考查的重點(diǎn),突出了應(yīng)用能力的考查,在不等式應(yīng)用題中常以函數(shù)模型出現(xiàn),如一元二次不等式應(yīng)用題常以二次函數(shù)為模型.解題時(shí)要理清題意,準(zhǔn)確找出其中不等關(guān)系再利用不等式解法求解.(2)不等式應(yīng)用題一般可按如下四步進(jìn)行:①閱讀理解、認(rèn)真審題，把握問(wèn)題中的關(guān)鍵量，找準(zhǔn)不等關(guān)系.②引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào),用不等式表示不等關(guān)系.③解不等式.④回歸實(shí)際問(wèn)題.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK24.某種牌號(hào)的汽車(chē)在水泥路面上的剎車(chē)距離sm和汽車(chē)車(chē)速xkm/h有如下關(guān)系:s=，在一次交通事故中，測(cè)得這種車(chē)的剎車(chē)距離大于39.5m，那么這輛汽車(chē)剎車(chē)前的車(chē)速至少為多少？（精確到0.01km/h)返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK25.

【解析】設(shè)這輛汽車(chē)剎車(chē)前的車(chē)速為xkm/h,根據(jù)題意，有>39.5,移項(xiàng)整理，得x2+9x-7110>0,顯然Δ>0，方程x2+9x-7110=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即x1=-88.94,x2≈79.94.所以不等式的解集為{x|x<-88.94或x>79.94}.在這個(gè)實(shí)際問(wèn)題中，x>0，所以這輛汽車(chē)剎車(chē)前的速度至少為79.94km/h.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK26.已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象過(guò)A(t1,y1),B(t2,y2)兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足a2+(y1+y2)a+y1y2=0.（1）證明：y1=-a或y2=-a;（2）證明：函數(shù)f(x)的圖象必與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；（3）若關(guān)于x的不等式f(x)>0的解集為{x|x>m或x<n,n<m<0}，解關(guān)于x的不等式cx2-bx+a>0.考點(diǎn)4三個(gè)“二次”的關(guān)系問(wèn)題返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK27.(1)∵a2+(y1+y2)a+y1y2=0,∴(a+y1)(a+y2)=0,得y1=-a或y2=-a.(2)當(dāng)a>0時(shí),二次函數(shù)f(x)的圖象開(kāi)口向上,圖象上的點(diǎn)A,B的縱坐標(biāo)至少有一個(gè)為-a且小于零,∴圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn).

【分析】三個(gè)“二次”（二次函數(shù)、二次方程、二次不等式）把初中數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)緊密地聯(lián)系在一起，因而也是高考命題的熱點(diǎn)，解決三個(gè)“二次”問(wèn)題的關(guān)鍵在于數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)算，也就是要利用圖象來(lái)分析、解決問(wèn)題.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK28.當(dāng)a<0時(shí),二次函數(shù)f(x)的圖象開(kāi)口向下,圖象上的點(diǎn)A,B的縱坐標(biāo)至少有一個(gè)為-a且大于零,∴圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn).故二次函數(shù)f(x)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn).(3)∵ax2+bx+c>0的解集為{x|x>m或x<n,n<m<0},從而方程cx2+bx+a=0有兩個(gè)根為x1=,x2=,則方程cx2-bx+a=0的兩個(gè)根為x1=-,x2=-.∵n<m<0,∴-<-.故不等式cx2-bx+a>0的解集為｛x|x>-或x<-｝.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK29.

(1)解一元二次不等式應(yīng)熟記它的解的結(jié)構(gòu),即當(dāng)Δ>0,a>0時(shí),ax2+bx+c>0x>x2或x<x1(x2>x1)(即大于大根或小于小根);ax2+bx+c<0x1<x<x2(即夾在兩根之間).(2)解不等式的逆向問(wèn)題是我們的薄弱點(diǎn),是命題的亮點(diǎn),是高考注重逆向思維考查的落腳點(diǎn),因此我們應(yīng)熟練掌握由一元二次不等式解的結(jié)構(gòu)逆向推出不等式滿(mǎn)足的條件的方法.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK30.已知二次函數(shù)f（x）的二次項(xiàng)系數(shù)為a，且不等式f(x)＞-2x的解集為（1，3）.（1）若方程f(x)+6a=0有兩個(gè)相等的根，求f(x)的解析式；（2）若f（x）的最大值為正數(shù)，求a的取值范圍.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK31.(1)因?yàn)閒（x）+2x＞0的解集為（1，3），所以f（x）+2x=a（x-1）（x-3），且a＜0.因而f（x）=a（x-1）（x-3）-2x=ax2-（2+4a）x+3a.①由方程f（x）+6a=0，得ax2-（2+4a）x+9a=0.②因?yàn)榉匠挞谟袃蓚€(gè)相等的根，所以Δ=［-(2+4a)］2-4a·9a=0，即5a2-4a-1=0.解得a=1或a=-.由于a＜0,舍去a=1.將a=-代入①得f（x）的解析式f（x）=-x2-x-.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK32.