202X版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第八章立體幾何與空間向量8.6空間向量及其運(yùn)算課件理新人教A版

§8.6空間向量及其運(yùn)算第八章立體幾何與空間向量NEIRONGSUOYIN內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)題型分類深度剖析課時(shí)作業(yè)1基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)PARTONE1.空間向量的有關(guān)概念及定理知識(shí)梳理ZHISHISHULI

語(yǔ)言描述共線向量(平行向量)如果空間一些向量的基線

，則這些向量叫做共線向量或平行向量共線向量定理兩個(gè)空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在唯一的實(shí)數(shù)x，使______互相平行或重合a＝xb共面向量定理如果兩個(gè)向量a、b不共線，則向量c與向量a，b共面的充要條件是，存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使__________空間向量分解定理如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在一個(gè)

的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使_____________c＝xa＋yb唯一p＝xa＋yb＋zc2.兩向量的夾角已知兩個(gè)非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作

＝a，

＝b，則角∠AOB叫做向量a與b的夾角，記作

，通常規(guī)定

.3.兩條異面直線所成的角把異面直線平移到

，這時(shí)兩條直線的夾角(

)叫做兩條異面直線所成的角.〈a，b〉0≤〈a，b〉≤π一個(gè)平面內(nèi)銳角或直角4.數(shù)量積及坐標(biāo)運(yùn)算(1)兩個(gè)向量的數(shù)量積：①a·b＝

；②a⊥b?

(a，b為非零向量)；③|a|2＝

，|a|＝

.|a||b|cos〈a，b〉a·b＝0a·a(2)向量的坐標(biāo)運(yùn)算：

a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)向量和a＋b＝______________________向量差a－b＝______________________數(shù)量積a·b＝_______________數(shù)乘向量λa＝______________(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)(a1－b1，a2－b2，a3－b3)a1b1＋a2b2＋a3b3(λa1，λa2，λa3)共線a∥b(b≠0)?________________________a∥b?

(b與三個(gè)坐標(biāo)平面都不平行)垂直a⊥b?__________________夾角公式cos〈a，b〉＝________________________a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3a1b1＋a2b2＋a3b3＝01.共線向量與共面向量相同嗎？提示不相同.平行于同一平面的向量就為共面向量.【概念方法微思考】2.零向量能作為基向量嗎？提示不能.由于零向量與任意一個(gè)非零向量共線，與任意兩個(gè)非零向量共面，故零向量不能作為基向量.3.空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算與坐標(biāo)原點(diǎn)的位置選取有關(guān)嗎？提示無(wú)關(guān).這是因?yàn)橐粋€(gè)確定的幾何體，其“線線”夾角、“點(diǎn)點(diǎn)”距離都是固定的，坐標(biāo)系的位置不同，只會(huì)影響其計(jì)算的繁簡(jiǎn)，不會(huì)影響結(jié)果.題組一思考辨析1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)空間中任意兩個(gè)非零向量a，b共面.(

)(2)在向量的數(shù)量積運(yùn)算中(a·b)·c＝a·(b·c).(

)(3)對(duì)于非零向量b，由a·b＝b·c，則a＝c.(

)(4)兩向量夾角的范圍與兩異面直線所成角的范圍相同.(

)基礎(chǔ)自測(cè)JICHUZICE12345√×××6(6)若a·b<0，則〈a，b〉是鈍角.(

)√×題組二教材改編123456√123456123453.正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，則EF的長(zhǎng)為____.＝12＋22＋12＋2(1×2×cos120°＋0＋2×1×cos120°)＝2，6題組三易錯(cuò)自糾4.在空間直角坐標(biāo)系中，已知A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3，2,1)，D(4,3,0)，則直線AB與CD的位置關(guān)系是A.垂直 B.平行C.異面 D.相交但不垂直123456√又AB與CD沒有公共點(diǎn)，∴AB∥CD.123455.已知a＝(2,3,1)，b＝(－4,2，x)，且a⊥b，則|b|＝_____.6解析∵a⊥b，∴a·b＝2×(－4)＋3×2＋1·x＝0，∴x＝2，12345解析

∵P，A，B，C四點(diǎn)共面，62題型分類深度剖析PARTTWO題型一空間向量的線性運(yùn)算師生共研解因?yàn)镻是C1D1的中點(diǎn)，解因?yàn)镸是AA1的中點(diǎn)，用基向量表示指定向量的方法(1)結(jié)合已知向量和所求向量觀察圖形.(2)將已知向量和所求向量轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中.(3)利用三角形法則或平行四邊形法則把所求向量用已知基向量表示出來(lái).思維升華√題型二共線定理、共面定理的應(yīng)用例2如圖，已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn).師生共研(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；證明連接BG，由共面向量定理的推論知E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面.(2)求證：BD∥平面EFGH.所以EH∥BD.又EH?平面EFGH，BD?平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.證明三點(diǎn)共線和空間四點(diǎn)共面的方法比較思維升華三點(diǎn)(P，A，B)共線空間四點(diǎn)(M，P，A，B)共面(2)直線MN是否與平面ABB1A1平行？解當(dāng)k＝0時(shí)，點(diǎn)M，A重合，點(diǎn)N，B重合，MN在平面ABB1A1內(nèi)，當(dāng)0<k≤1時(shí)，MN不在平面ABB1A1內(nèi)，∴MN∥平面ABB1A1.綜上，當(dāng)k＝0時(shí)，MN在平面ABB1A1內(nèi)；當(dāng)0<k≤1時(shí)，MN∥平面ABB1A1.題型三空間向量數(shù)量積的應(yīng)用師生共研例3如圖所示，已知空間四邊形ABCD的各邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于a，點(diǎn)M，N分別是AB，CD的中點(diǎn).(1)求證：MN⊥AB，MN⊥CD；由題意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，且p，q，r三個(gè)向量?jī)蓛蓨A角均為60°.同理可證MN⊥CD.(2)求異面直線AN與CM所成角的余弦值.思維升華跟蹤訓(xùn)練3如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)度都為1，且兩兩夾角為60°.則|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，3課時(shí)作業(yè)PARTTHREE12345678910111213141516基礎(chǔ)保分練A.(0,3，－6) B.(0,6，－20)C.(0,6，－6) D.(6,6，－6)得x＝4a＋2b＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20).√2.在下列命題中：①若向量a，b共線，則向量a，b所在的直線平行；②若向量a，b所在的直線為異面直線，則向量a，b一定不共面；③若三個(gè)向量a，b，c兩兩共面，則向量a，b，c共面；④已知空間的三個(gè)向量a，b，c，則對(duì)于空間的任意一個(gè)向量p總存在實(shí)數(shù)x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.其中正確命題的個(gè)數(shù)是A.0 B.1 C.2 D.312345678910111213141516√12345678910111213141516解析a與b共線，a，b所在的直線也可能重合，故①不正確；根據(jù)自由向量的意義知，空間任意兩向量a，b都共面，故②不正確；三個(gè)向量a，b，c中任意兩個(gè)一定共面，但它們?nèi)齻€(gè)卻不一定共面，故③不正確；只有當(dāng)a，b，c不共面時(shí)，空間任意一向量p才能表示為p＝xa＋yb＋zc，故④不正確，綜上可知四個(gè)命題中正確的個(gè)數(shù)為0，故選A.3.已知向量a＝(2m＋1,3，m－1)，b＝(2，m，－m)，且a∥b，則實(shí)數(shù)m的值等于12345678910111213141516√解析當(dāng)m＝0時(shí)，a＝(1,3，－1)，b＝(2,0,0)，a與b不平行，∴m≠0，∵a∥b，123456789101112131415164.在空間直角坐標(biāo)系中，已知A(1，－2,1)，B(2,2,2)，點(diǎn)P在z軸上，且滿足|PA|＝|PB|，則P點(diǎn)坐標(biāo)為A.(3,0,0) B.(0,3,0)C.(0,0,3) D.(0,0，－3)解析設(shè)P(0,0，z)，解得z＝3.√123456789101112131415165.已知a＝(1,0,1)，b＝(x,1,2)，且a·b＝3，則向量a與b的夾角為解析∵a·b＝x＋2＝3，∴x＝1，∴b＝(1,1,2)，√123456789101112131415166.如圖，在大小為45°的二面角A－EF－D中，四邊形ABFE，CDEF都是邊長(zhǎng)為1的正方形，則B，D兩點(diǎn)間的距離是√123456789101112131415167.已知a＝(2,1，－3)，b＝(－1,2,3)，c＝(7,6，λ)，若a，b，c三向量共面，則λ＝____.－9解析由題意知c＝xa＋yb，即(7,6，λ)＝x(2,1，－3)＋y(－1,2,3)，123456789101112131415168.已知a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，則c＝__________.解得x＝2，y＝－4，此時(shí)a＝(2,4,1)，b＝(－2，－4，－1)，又因?yàn)閎⊥c，所以b·c＝0，即－6＋8－z＝0，解得z＝2，于是c＝(3，－2,2).(3，－2,2)12345678910111213141516平行12345678910111213141516又VA?平面PMN，∴VA∥平面PMN.12345678910111213141516①②123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516(2)判斷點(diǎn)M是否在平面ABC內(nèi).∴M，A，B，C四點(diǎn)共面.∴點(diǎn)M在平面ABC內(nèi).1234567891011121314151612.已知a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2).(1)求|2a＋b|；解2a＋b＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，123456789101112131415161234