新高考二輪復(fù)習(xí)真題源導(dǎo)數(shù)專題講義第32講 整數(shù)解問(wèn)題之虛設(shè)零點(diǎn)（解析版）

第32講整數(shù)解問(wèn)題之虛設(shè)零點(diǎn)1．設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，記，是否存在整數(shù)，使得關(guān)于x的不等式有解？若存在，請(qǐng)求出的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（參考數(shù)據(jù)：）【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）存在，的最小值為0【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，就的不同取值可求的解，從而可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.（2）利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合虛設(shè)零點(diǎn)可求，從而可得整數(shù)的最小值.（1）因?yàn)椋?，①?dāng)時(shí)，由，解得；②當(dāng)時(shí)，由，解得；③當(dāng)時(shí)，由，解得；④當(dāng)時(shí)，由，解得；⑤當(dāng)時(shí)，由，解得，綜上所述，當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為；時(shí)，的增區(qū)間為.（2）當(dāng)時(shí)，，所以，而，因?yàn)榫鶠樯系脑龊瘮?shù)，故為上的增函數(shù)，而，，故在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且且時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故，因?yàn)椋?，所以，而整?shù)，使得關(guān)于x的不等式有解，故，故存在整數(shù)滿足題意，且的最小值為0.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值時(shí)，如果導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)不易求得，則可以虛設(shè)零點(diǎn)，利用零點(diǎn)滿足的關(guān)系式化簡(jiǎn)最值，從而得到最值的范圍或符號(hào).2．已知函數(shù)，求：（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，總有，求整數(shù)的最小值.【答案】（1）（2）-3【分析】（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，計(jì)算出斜率，再用點(diǎn)斜式即可；（2）分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.（1）當(dāng)時(shí)，在點(diǎn)處的切線方程為即（2）由題意，，即，即，又，恒成立.令，令，則恒成立.在上遞減，，使，即，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，且，，即整?shù)k的最小值為-3【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于零點(diǎn)不可求問(wèn)題，可以設(shè)而不求，整體替換從而求出范圍。3．已知函數(shù)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)在有唯一零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若不等式對(duì)任意的恒成立，求整數(shù)的最大值．【答案】（1）極小值為，無(wú)極大值；（2）；（3）.【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)可確定單調(diào)性，由極值定義可求得結(jié)果；（2）利用導(dǎo)數(shù)可確定的單調(diào)性；當(dāng)時(shí)，可知，解不等式可知無(wú)滿足題意的值；當(dāng)時(shí)，根據(jù)，分別在，和三種情況下，根據(jù)在有唯一零點(diǎn)可構(gòu)造不等式求得結(jié)果；（3）將恒成立不等式化為，令得，令可確定，使得，由此可得，進(jìn)而得到的范圍，從而得到.（1）當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的極小值為，無(wú)極大值.（2），，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，若在上有唯一零點(diǎn)，則，即，解得：（舍）；②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)，即時(shí)，，則在上無(wú)零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)，即時(shí)，在上有唯一零點(diǎn)，滿足題意；當(dāng)，即時(shí)，由得：，在上有唯一零點(diǎn)，此時(shí)需，即；綜上所述：當(dāng)或時(shí)，在上有唯一零點(diǎn)，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.（3）若對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，則，令，則，令，則，在上單調(diào)遞增，，，，使得，即，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，，，整數(shù)的最大值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解本題恒成立問(wèn)題的常用方法是能夠通過(guò)分離變量的方法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為變量與函數(shù)最值之間的大小關(guān)系比較問(wèn)題，即若恒成立，則；若恒成立，則.4．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)在處的切線方程（2）證明：在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)；（3）若對(duì)于任意的，都有，求整數(shù)的最大值．【答案】（1）y＝－1；（2）見(jiàn)解析；（3）3﹒【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可切線；(2)先利用導(dǎo)數(shù)證明在上單調(diào)遞增，再結(jié)合零點(diǎn)存在定理，得證；(3)參變分離得，令，原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求在上的最小值，結(jié)合(2)中結(jié)論和隱零點(diǎn)的思維，即可得解．（1），，，，在處的切線為；（2）證明：，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，（3），（4），在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)．（3），且，，令，則，，由（2）知，在上單調(diào)遞增，且在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)，設(shè)該零點(diǎn)為，則，故當(dāng)時(shí)，，即，在上單調(diào)遞減，當(dāng)，時(shí)，，即，在，上單調(diào)遞增，，，故整數(shù)的最大值為3．【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，以及不等式問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化與劃歸思想，邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．5．已知函數(shù)，.（1）若，討論函數(shù)在定義域內(nèi)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）若，函數(shù)在上恒成立，求整數(shù)的最大值.【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）最大值為3.【分析】（1）求，計(jì)算方程的，分別討論和時(shí)的單調(diào)性，由單調(diào)性可得極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）先求出，再計(jì)算，再構(gòu)造函數(shù)，利用的單調(diào)性以零點(diǎn)存在定理可判斷的單調(diào)性，進(jìn)而可得的最小值，只需，再結(jié)合是整數(shù)即可求解.【詳解】（1）的定義域?yàn)?；且，因?yàn)榉匠痰?，①?dāng)，即時(shí)，恒成立，此時(shí)對(duì)于恒成立，所以在上單調(diào)遞增，故極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為；②當(dāng)，即時(shí)，設(shè)方程的兩根分別為和，則，，所以，，設(shè)，則，，由即可得：或，由即可得：所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為2；綜上所述，當(dāng)時(shí)，極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為，當(dāng)時(shí)，極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.（2）時(shí)，，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，而，，所以存在，使，即，故，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，所以，因?yàn)?，即的最大值?.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：由不等式恒成立（或能成立）求參數(shù)時(shí)，（1）可對(duì)不等式變形，分離參數(shù)，根據(jù)分離參數(shù)后的結(jié)果，構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的最值，進(jìn)而可求出結(jié)果；（2）可根據(jù)不等式，直接構(gòu)成函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法，利用分類討論求函數(shù)的最值，即可得出結(jié)果.6．已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）令，若在恒成立，求整數(shù)a的最大值．參考數(shù)據(jù)：，【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）3.【分析】求得，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)對(duì)a進(jìn)行討論求解單調(diào)性；由題設(shè)可得，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究最小值，由即可求整數(shù)a的最大值．【詳解】的定義域?yàn)榍?，①?dāng)時(shí)，由得：，∴時(shí)，的增區(qū)間為，減區(qū)間為，②當(dāng)時(shí)，令得：或，∴的增區(qū)間為和減區(qū)間為③當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)的增區(qū)間為，無(wú)遞減區(qū)間：④當(dāng)時(shí)，令得：或，∴的遞增區(qū)間為和，減區(qū)間為．，則恒成立．令，則，令，，知在上遞增且，，∴，使，即在遞減，在遞增，∴，∴由知：整數(shù)a的最大值為3．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問(wèn)，將題設(shè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造函數(shù)并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究最值，求參數(shù).7．已知函數(shù)，．（1）討論的單調(diào)性；（2）若恒成立，求整數(shù)的最大值．【答案】（1）答案不唯一，具體見(jiàn)解析；（2）-1．【分析】（1）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，根據(jù)a分類討論，即可求解；（2）由原不等式恒成立，分離參數(shù)可得，利用導(dǎo)數(shù)求的最小值即可求解.【詳解】（1）的定義域?yàn)?，，?）當(dāng)時(shí)，，由得，由得，．∴的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為（2）當(dāng)時(shí)，，由得或，由得，∴的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為和（3）當(dāng)時(shí)，，在上恒成立，∴單調(diào)增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間；（4）當(dāng)時(shí)，，由得或，由得，∴的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為和．綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為和；當(dāng)時(shí)，單調(diào)增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為和當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（2）設(shè)，則．設(shè)，則恒成立∴在上單調(diào)遞增，∵∴使得，時(shí)，從而，∴時(shí)，，在上為減函數(shù)，時(shí)，，從而，∴時(shí)，在上為增函數(shù)，∴，把代入得令，，則為增函數(shù)，∴，，∴∴整數(shù)的最大值為-1．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)求出后，需要構(gòu)造函數(shù)，在利用函數(shù)的單調(diào)性求的最小值，是解題的關(guān)鍵，屬于難題.8．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若在上恒成立，求整數(shù)的最大值.(參考數(shù)據(jù)：，).【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）最大值為3.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，在恒成立，令，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出的最小值，求出的最大值即可．【詳解】解：（1）的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為.當(dāng)時(shí)，恒成立，所以的減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，所以的增區(qū)間為，減區(qū)間為.（2）由在上恒成立.可得：在上恒成立，令，則.令，∵與在上均單調(diào)遞增，∴在上單調(diào)遞增，且，.∴，使得，此時(shí)，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，∵在恒成立，∴，∴整數(shù)的最大值為3.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解恒成立問(wèn)題的關(guān)鍵是能夠?qū)?wèn)題轉(zhuǎn)化為，在恒成立,再利用導(dǎo)數(shù)求最值.9．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若在上恒成立，求整數(shù)的最大值．【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）求得，分、兩種情況討論，分析導(dǎo)數(shù)在上的符號(hào)變化，由此可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；（2）由參變量分離法得出，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的最大值，進(jìn)而可得出整數(shù)的最大值.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?（1）因?yàn)?，所以．?dāng)時(shí)，對(duì)恒成立；當(dāng)時(shí)，由得，得．綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）由得，所以，即對(duì)恒成立．令，則，令，則，因?yàn)椋?，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以存在滿足.當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，因?yàn)?，，所以的最大值為．【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.10．設(shè)函數(shù)，（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)圖象在處的切線方程；（2）求的單調(diào)區(qū)間；（3）若不等式對(duì)恒成立，求整數(shù)的最大值.【答案】（1）；（2）單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；（3）2【分析】（1）當(dāng)時(shí)，可得，，求出，，即可求出切線方程；（2）求出，求出極值點(diǎn)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可；（3）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，即：恒成立，等價(jià)于當(dāng)時(shí)，恒成立；即對(duì)恒成立，令，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求其最值，即可求得答案.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，可得，，可得：，所求切線方程為（2）.令，則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.（3）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立即：恒成立，等價(jià)于當(dāng)時(shí)，恒成立；即對(duì)恒成立.令，，，令，，，在上單調(diào)遞增.又，，在上有唯一零點(diǎn)，且，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，故整數(shù)的最大值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間和根據(jù)不等式恒成立求參數(shù)值，解題關(guān)鍵是掌握根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法和構(gòu)造函數(shù)求最值的步驟，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于難題.11．已知函數(shù).（1）若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求的值；（2）若的導(dǎo)函數(shù)存在兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，是否存在整數(shù)，使得關(guān)于的不等式恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）；（3）存在，最大值為.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由題意得出從而可求出實(shí)數(shù)的值；（2）令，可得知函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，分和兩種情況討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性和極值，由題意轉(zhuǎn)化為函數(shù)極值相關(guān)的不等式，解出即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）將代入函數(shù)的解析式得出，對(duì)該函數(shù)求導(dǎo)得出，構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在定理找出函數(shù)的極小值點(diǎn)，并滿足，結(jié)合此關(guān)系式計(jì)算得出，從而可得出整數(shù)的最大值.【詳解】（1），因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線方程為，所以，得；（2）因?yàn)榇嬖趦蓚€(gè)不相等的零點(diǎn).所以存在兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，則.①當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，至多有一個(gè)零點(diǎn)②當(dāng)時(shí)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以時(shí)，.因?yàn)榇嬖趦蓚€(gè)零點(diǎn)，所以，解得.因?yàn)椋?因?yàn)?，所以在上存在一個(gè)零點(diǎn).因?yàn)椋?因?yàn)?，設(shè)，則，因?yàn)?，所以單調(diào)遞減，所以，所以，所以在上存在一個(gè)零點(diǎn).綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為；（3）當(dāng)時(shí)，，，設(shè)，則.所以單調(diào)遞增，且，，所以存在使得，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，即，所以單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即，所以單調(diào)遞增，所以時(shí)，取得極小值，也是最小值，此時(shí)，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，且為整?shù)，所以，即的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查利用切線方程求參數(shù)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，同時(shí)也考考查了利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題，涉及隱零點(diǎn)法的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于難題.12．已知函數(shù)（）.（1）若曲線在處的切線與直線平行，求的值；（2）若對(duì)于任意且，都有恒成立，求的取值范圍.（3）若對(duì)于任意，都有成立，求整數(shù)的最大值.（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）【答案】（1）；（2）；（3）.【詳解】分析：（1）由題意得：，由題意可得，解得.（2）因?yàn)椋?，記，可知在上單調(diào)遞增.所以在上恒成立，即在上恒成立，記，即可求得的取值范圍.（3）若對(duì)于任意，都有成立，所以對(duì)于任意恒成立，即對(duì)于任意恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，即可得到整數(shù)的最大值.詳解：（1）由題意得：，又曲線在處的切線與直線平行，所以，解得.（2）因?yàn)?，所以，記，又因?yàn)榍?，所以在上單調(diào)遞增.所以在上恒成立，即在上恒成立，記，所以，令，解得，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取到最大值，所以.（3）若對(duì)于任意，都有成立，所以對(duì)于任意恒成立，即對(duì)于任意恒成立，令，所以，再令，所以在恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以必存在唯一的解，使得，即，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以的最大整?shù)為，所以整數(shù)的最大值為.點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題及恒成立，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是難題．13．已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線過(guò)點(diǎn)．(1)求實(shí)數(shù)的值，并求出函數(shù)單調(diào)區(qū)間；(2)若整數(shù)使得在上恒成立，求的最大值．【答案】（1），在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（2）7.【詳解】分析：（1）函數(shù)求導(dǎo)，由處的切線斜率為，利用點(diǎn)斜式得到切線方程，將代入求解的值，并根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可得單調(diào)區(qū)間；（2）由等價(jià)于，記，求導(dǎo)得，記，繼續(xù)求導(dǎo)可知在單調(diào)遞增，易知存在，使得，從而得到，