人教版 初中數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè) 12.3.1角的平分線的性質(zhì) 第二課時(shí)

角平分線的性質(zhì)第二課時(shí)

不利用工具，請(qǐng)你將一張用紙片做的角分成兩個(gè)相等的角。你有什么辦法？AOBC活動(dòng)1

再打開(kāi)紙片，看看折痕與這個(gè)角有何關(guān)系？（對(duì)折）情境問(wèn)題（對(duì)折后的折痕是這個(gè)角的平分線）這說(shuō)明：活動(dòng)2情境問(wèn)題

把對(duì)折的紙片再任意折一次，然后把紙片展開(kāi)，又看到了什么？

（再折一次，又會(huì)出現(xiàn)兩條折痕，而且這兩條折痕是等長(zhǎng)的）．角的平分線除了有平分角的性質(zhì)，還有其他性質(zhì)，今天我們就來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題．你與同伴用三角板檢測(cè)你們所折的折痕是否符合圖示要求．活動(dòng)3合作探究

折出如圖所示的折痕PD、PE畫一畫：按照折紙的順序畫出一個(gè)角的三條折痕，并度量所畫PD、PE是否等長(zhǎng)？探究角平分線的性質(zhì)

將∠AOB對(duì)折，再折出一個(gè)直角三角形（使第一條折痕為斜邊），然后展開(kāi)，觀察兩次折疊形活動(dòng)4

猜想:

角的平分線上的點(diǎn)

到角的兩邊的距離相等.證明：∵OC平分∠AOB（已知）

∴∠1=∠2（角平分線的定義）

∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知）

∴∠PDO=∠PEO（垂直的定義）在△PDO和△PEO中

∠PDO=∠PEO（已證）

∠1=∠2（已證）

OP=OP（公共邊）

∴

△PDO≌△PEO（AAS）

∴PD=PE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）PAOBCED12已知：如圖，OC平分∠AOB，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA于點(diǎn)D，PE⊥OB于點(diǎn)E求證:PD=PE探究角平分線的性質(zhì)活動(dòng)5驗(yàn)證猜想角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。得到角平分線的性質(zhì)：活動(dòng)6

利用此性質(zhì)怎樣書寫推理過(guò)程?PAOBCED12用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述：∵∠1=∠2,

∴PD=PEPD⊥OA，PE⊥OB要在Ｓ區(qū)建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，使它到公路，鐵路距離相等且離公路，鐵路的交叉處５００米，應(yīng)建在何處？（比例尺1：20000）ＳＯ公路鐵路實(shí)踐應(yīng)用(1)解：設(shè)500米的圖上距離為X厘米

ABC

然后從O點(diǎn)起在射線OC上取2.5厘米處即為建集貿(mào)市場(chǎng)處。1：20000=X:50000X=2.5厘米

作∠AOB的角平分線OC(如圖）

思考：那么到角的兩邊距離相等的點(diǎn)是否在這個(gè)角的平分線上呢？猜想:PAOBCED12活動(dòng)7到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上.？

證明：

PAOBCED12已知：如圖，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA于點(diǎn)D，PE⊥OB于點(diǎn)E且PE=PD求證:∠1=∠2探究角平分線的性質(zhì)活動(dòng)8驗(yàn)證猜想∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知）

∴∠PDO=∠PEO（垂直的定義）

在Rt△PDO和Rt△PEO中PD=PE（已知）OP=OP（公共邊）∴

△PDO≌△PEO（HL）∴∠1=∠2（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）到角兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上。得到與角平分線有關(guān)的另一個(gè)性質(zhì)：活動(dòng)9

利用此性質(zhì)怎樣書寫推理過(guò)程?PAOBCED12用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述：∵PD⊥OA，PE⊥OBPD=PE∴∠1=∠2

如圖：在△ABC中，∠C=90°AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上，BD=DF；求證：CF=EBACDEBF實(shí)踐應(yīng)用(2)

分析:要證CF=EB,首先我們想到的是要證它們所在的兩個(gè)三角形全等,即Rt△CDF≌

Rt△EDB.

現(xiàn)已有一個(gè)條件BD=DF(斜邊相等),還需要我們找什么條件DC=DE(因?yàn)榻堑钠椒志€的性質(zhì))再用HL證明.試試自己寫證明。你一定行！證明：∵AD平分∠CAB,DC⊥AC,DE⊥AB,∴DC=DE(角平分線的性質(zhì)）

在Rt△DCF和Rt△DEB中DC=DEDF=DB(已知）∴Rt△DCF≌Rt△DEB（HL)∴CF=BE(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）3.△ABC的角平分線BM，CN相交于點(diǎn)P，求證：點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等．實(shí)踐應(yīng)用(3)證明：過(guò)P點(diǎn)作PD⊥ABPE⊥BCPF⊥AC垂足分別為D.E.F點(diǎn)∵BM平分∠ABC,∴PD=PE同理PE=PF∴PD=PE=PF∴點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等．

隨堂練習(xí)BOAC·DPE1.如圖，OC是∠AOB的平分線，∵∴PD=PEPD⊥OA，PE⊥OB2.如圖,在△ABC中，AC⊥BC，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB，AB＝7㎝，AC＝3㎝，求BE的長(zhǎng)。EDCBA回顧與小結(jié)1.角平分線的性質(zhì)1：

2.與角平分線有關(guān)的性質(zhì)：

PAOBCED12角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。

∴∠1=∠2,

用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述：∵∠1=∠2,PD⊥OA，PE⊥OB∴P