大學物理 動量與動量守恒定律

合力的沖量等于各分力沖量之和

例2.7

質量為m質點用繩子系住，在水平面內作勻速率圓周運動(圓錐擺)，周期為t，在質點運動一周的過程中，繩的拉力T的沖量為多少？合力的沖量為多少？

由對稱性分析可得

動量沖量（矢量）

動量定理

在給定的時間間隔內，外力作用在質點上的沖量，等于質點在此時間內動量的增量．二、質點的動量定理1.某方向受到?jīng)_量，該方向上動量就改變．說明：2．動量定理是由牛頓第二定律推出的，所以它也僅對慣性系成立.

3.動量定理非常適用于打擊和碰撞問題。注意越小，則越大在一定時在打擊或碰撞過程中，一般沖力遠遠大于重力，往往可忽略重力

質量為m的質點用繩子系住，在水平面內作勻速率圓周運動(圓錐擺)，周期為t，在質點運動一周的過程中，合力沖量各為多少？繩的拉力T的沖量為多少？重力的沖量為多少？解：由對稱性分析可得Tmg由動量定理得：重力的沖量:繩的拉力T的沖量:TxTy例2.8：一籃球質量m=0.58kg，從h=2.0m的高度下落，到達地面后，接觸地面時間t=0.019s。速率反彈，以同樣沖力的峰值575N=自身重5.75N×100

求：籃球對地的平均沖力解：籃球到達地面的速率mgF例2.9質量為m的質點自高y0

為處沿水平方向以速率v0拋出，與地面相碰后跳起的最大高度為y0/2，水平速率為v0/2，則碰撞過程中,（1）地面對m的垂直沖量為？（2）地面對m的水平?jīng)_量為？

解：三、質點系動量定理和動量守恒定律Fipi

fji

fij為質點i受的合外力，········i

j質點系

為質點i受質點j的內力，為質點i的動量。對質點i

：對質點系：由牛頓第三定律有：所以有：令則有：或質點系動量定理（微分形式）質點系動量定理（積分形式）用質點系動量定理處理問題可避開內力。系統(tǒng)總動量由外力的沖量決定，與內力無關。注意例2.10一輛裝煤車以的v=3m/s速率從煤斗下面通過，每秒鐘落入車廂的煤為△m=500kg，如果使車廂的速率保持不變，應用多大的牽引力拉車廂？（車廂與軌道的摩擦忽略不計）解：m：表示t時刻煤車和已落入煤車的煤的總質量；

dm：表示t時刻后dt時間內又落入煤車的煤的質量。t時刻此系統(tǒng)的水平總量，mv+dm×0=mvt+dt時刻此系統(tǒng)的水平總量，(m+dm)vFdt=dp=

(m+dm)v—mv=dmv

F=dm/dtv=500×3=1500(N)

這就是質點系的動量守恒定律。即說明：

1.動量定理及動量守恒定律只適用于慣性系。質點系所受合外力為零時，質點系的總動量不隨時間改變。2.動量守恒定律的條件是，而不是。這是因為后者只說明始末兩態(tài)的動量相等，不能保證動量始終不變。

3.嚴格不受外力或外力矢量和為零的系統(tǒng)是很少見的，但a.當外力<<內力

4.動量守恒定律是比牛頓定律更普遍、更基本且作用時間極短時（如碰撞），可認為動量近似守恒。的定律，它在宏觀和微觀領域均適用。5.用守恒定律作題，應注意分析過程、系統(tǒng)和條件。

b.若某個方向上合外力為零，則該方向上動盡管總動量可能并不守恒。量守恒，解題步驟：1．選好系統(tǒng)和過程；2．進行受力分析，判斷守恒條件；3．確定系統(tǒng)的任意時刻的動量、初動量或末動量；4．建立坐標系，列方程求解；

例2.11一枚返回式火箭以2.5103

m·s-1的速率相對慣性系S沿水平方向飛行．空氣阻力不計．現(xiàn)使火箭分離為兩部分,前方的儀器艙質量為100kg，后方的火箭容器質量為200kg，儀器艙相對火箭容器的水平速率為1.0103m·s-1．求儀器艙和火箭容器相對慣性系S的速度．已知求

,解例2.12在光滑的水平面上，有一長為L，質量為M的小車，車上站一質量為m的人，人和車原來保持靜止。當人從車的一端走到另一端時，問人和車相對于地面各走了多遠？

解：取車和人作為系統(tǒng)，該系統(tǒng)水平方向動量守恒。設人和車相對于地面的速度分別為v和V，則例2.13如圖所示，在一個水平面上，炮車發(fā)射炮彈。炮身質量為M，仰角為，炮彈質量為m。炮彈剛出口時，相對于炮身的速度為u。不計地面摩擦，求炮彈剛出口時炮車的速度。

u解：取炮車和炮彈為系統(tǒng)。系統(tǒng)所受的外力是重力和支持力，都沿豎直方向，所以水平方向動量守恒。

炮彈速度的水平分量為

例2.14一繩跨過一定滑輪，兩端分別系有質量分別為M和m的兩物體M>m，且M靜止于地面上，當m自由下落的距離h后，繩子才被拉緊，求繩子剛被拉緊時兩物體的速度及M能上升的最大高度。Mmm解：繩子拉緊前瞬間，m的速度

取m、M為系統(tǒng)，拉緊過程中合外力不為0；

取m、M、繩為系統(tǒng)，拉緊過程中

合外力不為0。所以此過程動量不守恒，可以用動量定理來求解。

設張緊過程需時

之后過程中：

說明M減速上升

例2.15

一彈性球，質量m＝0.20kg，速度v＝5m/s，與墻碰撞后彈回.設彈回時速度大小不變，碰撞前后的運動方向和墻的法線所夾的角都是α，設球和墻碰撞的時間Δt＝0.05s,α＝60，求在碰撞時間內，球和墻的平均相互作用力.解

以球為研究對象.設墻對球的平均作用力為f,球在碰撞前后的速度為v1和v2,由動量定理可得將沖量和動量分別沿圖中N和x兩方向分解得：解方程得按牛頓第三定律，球對墻的平均作用力和的方向相反而等值，即垂直于墻面向里.22例2.16

一質量為m的球在質量為M的1/4圓弧形滑槽中從靜止滑下.設圓弧形槽的半徑為R，如所有摩擦都可忽略，求當小球m滑到槽底時，M滑槽在水平上移動的距離.解：以m和M為研究系統(tǒng)，其在水平方向不受外力,故水平方向動量守恒.設在下滑過程中,m相對于M的滑動速度為v,M對地速度為V,并以水平向右為x軸正向,則在水平方向上有解得設m在弧形槽上運動的時間為t，而m相對于M在水平方向移動距離為R，故有于是滑槽在水平面上移動的距離mx小結沖量質點的動量定理質點系的動量定理動量守恒定律微分形式積分形式慣性系§2-3

功動能勢能機械能守恒定律一、功變力的功？空間積累：功workMMabsxyzOab

一段上的功：m在說明(1)功是標量，且有正、負。(2)合力的功等于各分力的功的代數(shù)和。(3)功依賴于參考系。

m例2.17:

質量m=2Kg的物體，從靜止開始沿固定的四分之一圓弧軌道下滑。已知圓弧軌道半徑為R=4m，物體滑至軌道末端時速率為vb=6m/s，求摩擦力的功。解：xyzO幾種常見力的功1.重力的功重力mg在曲線路徑a、b上的功為重力的功只與始、末位置有關，而與質點所行經(jīng)的路徑無關。重力是保守力。mG結論②①2.彈性力的功彈性力的功只與始、末位置有關，而與質點所行經(jīng)的路徑無關。彈性力是保守力。彈簧彈性力由x1到x2

路程上彈性力的功為結論xO3.萬有引力的功

上的元功為萬有引力的功，也是只與始、末位置有關，而與質點所行經(jīng)的路徑無關。萬有引力是保守力。Mabm結論在位移元4.摩擦力的功在這個過程中所作的功為

摩擦力的功，不僅與始、末位置有關，而且與質點所行經(jīng)的路徑有關。摩擦力方向始終與質點速度方向相反結論摩擦力二、質點動能定理作用于質點的合力在某一路程中對質點所作的功，等于質點在同一路程的始、末兩個狀態(tài)動能的增量。

(1)Ek是一個狀態(tài)量,W

是過程量。(2)動能定律只用于慣性系。

說明abmm例2.18:

質量m=2Kg的物體，從靜止開始沿固定的四分之一圓弧軌道下滑。已知圓弧軌道半徑為R=4m，物體滑至軌道末端時速率為vb=6m/s，求摩擦力的功。解：由動能定理知

例2.19．如圖所示，小車M以速度v0

在光滑的水平面上作勻速直線運動?，F(xiàn)在小車前放一小物體m，初時m相對地面的速度為0。若小車與物體之間的摩擦系數(shù)為μ，要使物體不致于從小車上滑下，小車至少有多長？

選為系統(tǒng)，系統(tǒng)在水平方向動量守恒

由動能定理

解：三、質點系動能定理把質點動能定理應用于質點系內所有質點并把所得方程相加有:（各質點位移不一定相同）。注意：內力雖成對出現(xiàn)，但內力功的和不一定為零.即：作用在所有質點上的內力所做的功與外力所做的功之和等于系統(tǒng)總動能的增量。1.它僅適用于慣性系。2.雖然系統(tǒng)的內力不能改變系統(tǒng)的總動量和總角動量，但可以改變系統(tǒng)的總動能。如手榴彈爆炸，系統(tǒng)的總動能明顯增加。例2.20如圖所示，在光滑水平面上，質量為m的子彈射擊質量為m′的木塊，阻力與進入深度成正比f=-kx，k為常量，求木塊最小厚度l。解：取子彈和木塊為系統(tǒng)動量守恒動能定理f四、勢能機械能守恒定律potentialenergy

lawofconservationofmechanicalenergy保守力如果力所做的功與路徑無關，而只決定于物體的始末相對位置，這樣的力稱為保守力。保守力沿閉合路徑一周所做的功為零。

即例如重力、萬有引力、彈性力都是保守力。

作功與路徑有關的力稱為非保守力。

例如:摩擦力勢能函數(shù)叫做勢能函數(shù)

保守力的功等于系統(tǒng)勢能增量的負值

質點在保守力場中某點a的勢能，在量值上等于質點從該點a移動至零勢能點b

的過程中保守力所作的功。要確定某一狀態(tài)的勢能，還必須選一參考狀態(tài)，并假定此狀態(tài)的勢能為零，這個狀態(tài)叫勢能零點

常數(shù)取決于勢能零點的選取

1.重力勢能xyzO對重力勢能，常選地面處為勢能零點

即取

若選

則時則時2.彈性勢能Ox對彈性勢能，常選彈簧原長處勢能為零

即取

若選

則時則時3.萬有引力勢能rMm等勢面對引力勢能，常選兩物體相距無限遠時勢能為零

即取

若選

則時則時(1)由于勢能零點可以任意選取，所以某一點的勢能值是相對的。(2)保守力場中任意兩點間的勢能差與勢能零點選取無關。說明（3）在學習中，常談到能量的“所有者”。對動能，它顯然是屬于運動物體的。對勢能，由于它是由一對保守力引起的，所以它應屬于由保守力相互作用著的質點系所共有，是系統(tǒng)內質點之間的相互作用能。如物體與地球之間的引力勢能，是雙方共有的，不能說它屬于那個物體，更不能按比例分給雙方(4)只有保守力才能引入勢能的概念。非保守力一般不能引入勢能概念，如不存在“摩擦勢能”(5)自然界的系統(tǒng)滿足能量最低原理

功能原理、機械能守恒定律對質點系，動能定理:當機械能守恒定律功能原理是系統(tǒng)對整個過程而言，質點系的變化過