高中數(shù)學(xué)人教B版選修2-3課件：2.4 正態(tài)分布

2.4

正態(tài)分布1.通過(guò)實(shí)際問(wèn)題,了解什么是正態(tài)曲線和正態(tài)分布.2.認(rèn)識(shí)正態(tài)曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義.3.會(huì)根據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)求隨機(jī)變量X在某一范圍內(nèi)的概率.知識(shí)拓展(1)正態(tài)分布及正態(tài)曲線完全由變量μ和σ確定,因此我們把正態(tài)分布記作N(μ,σ2).(2)參數(shù)μ是反映隨機(jī)變量取值的平均水平的特征數(shù),可以用樣本均值去估計(jì);σ是衡量隨機(jī)變量總體波動(dòng)大小的特征數(shù),可以用樣本標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì).(3)正態(tài)分布是自然界中最常見的一種分布,許多現(xiàn)象都近似地服從正態(tài)分布,如長(zhǎng)度測(cè)量誤差、正常生產(chǎn)條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)等.(4)一般地,一個(gè)隨機(jī)變量如果是眾多的,互不相干的,不分主次的偶然因素作用結(jié)果之和,它就服從或近似服從正態(tài)分布.2.正態(tài)曲線的性質(zhì)(1)曲線在x軸的上方,并且關(guān)于直線x=μ對(duì)稱.(2)曲線在x=μ時(shí)處于最高點(diǎn),并由此處向左右兩邊延伸時(shí),曲線逐漸降低,呈現(xiàn)“中間高,兩邊低”的形狀;(3)曲線的形狀由σ確定,σ越大,曲線越“矮胖”,表示總體的分布越分散;σ越小,曲線越“高瘦”,表示總體的分布越集中.(4)當(dāng)σ相同時(shí),正態(tài)分布曲線的位置由期望值μ所決定.設(shè)X是一個(gè)按正態(tài)分布的隨機(jī)變量,則對(duì)任意的數(shù)a>0及b,aX+b仍是一個(gè)按正態(tài)分布的隨機(jī)變量.

(5)3σ原則.從理論上可以證明,正態(tài)變量在區(qū)間(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)內(nèi),取值的概率分別是68.3%,95.4%,99.7%.由于正態(tài)變量在(-∞,+∞)內(nèi)取值的概率是1,容易推出,它在區(qū)間(μ-2σ,μ+2σ)之外取值的概率是4.6%,在區(qū)間(μ-3σ,μ+3σ)之外取值的概率是0.3%.于是正態(tài)變量的取值幾乎都在距x=μ三倍標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi),這就是正態(tài)分布的3σ原則.【做一做2-1】

下列是關(guān)于正態(tài)曲線的性質(zhì)的敘述:①曲線關(guān)于直線x=μ對(duì)稱,這個(gè)曲線在x軸上方;②曲線關(guān)于直線x=μ對(duì)稱,這個(gè)曲線只有當(dāng)x∈(-3σ,3σ)時(shí)才有意義;③曲線關(guān)于y軸對(duì)稱,因?yàn)榍€對(duì)應(yīng)的概率密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù);④曲線在x=μ時(shí),處于最高點(diǎn),由這一點(diǎn)向左、向右兩邊延伸時(shí),曲線逐漸降低;⑤曲線的對(duì)稱軸由μ確定,曲線的形狀由σ確定;⑥σ越大,曲線越“矮胖”;σ越小,曲線越“高瘦”.上述說(shuō)法中正確的是(

)A.只有①④⑤⑥ B.只有②④⑤C.只有③④⑤ D.只有①⑤⑥解析:根據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)可知,正態(tài)曲線是一條關(guān)于直線x=μ對(duì)稱的曲線,在x=μ時(shí)處于最高點(diǎn),函數(shù)取得最大值,并由該點(diǎn)向左、向右無(wú)限延伸時(shí)逐漸降低,曲線總位于x軸上方,即函數(shù)值總為正,曲線的形狀由σ確定,而且比較若干不同的σ對(duì)應(yīng)的正態(tài)曲線可以發(fā)現(xiàn),σ越大,曲線越“矮胖”,σ越小,曲線越“高瘦”.μ決定曲線的位置和對(duì)稱性.答案:A什么是小概率事件?有何應(yīng)用?剖析:正態(tài)總體中的小概率事件:由3σ原則,可知正態(tài)總體N(μ,σ2)在區(qū)間(μ-3σ,μ+3σ)之外取值的概率很小(只有0.3%),因此稱在區(qū)間(μ-3σ,μ+3σ)之外發(fā)生的事件為小概率事件.正態(tài)總體在(μ-3σ,μ+3σ)以外取值的概率只有0.3%的性質(zhì),在實(shí)際生產(chǎn)中有比較廣泛的應(yīng)用.我們只要知道了正態(tài)分布的平均數(shù)μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ,利用這個(gè)性質(zhì),就可以判斷哪些情況是異常出現(xiàn)的小概率事件(在生產(chǎn)中一般指生產(chǎn)過(guò)程出現(xiàn)了問(wèn)題,沒(méi)有正常工作).著名的質(zhì)量控制圖就是利用這個(gè)原理的.舉例來(lái)說(shuō),某條生產(chǎn)線上生產(chǎn)的零件重量在正常的情況下可能并不是每一個(gè)都嚴(yán)格相等,往往有一些小的波動(dòng),可以看作一個(gè)隨機(jī)變量,而且往往服從正態(tài)分布N(μ,σ2).那么從上面的分析知道,零件重量在(μ-3σ,μ+3σ)內(nèi)取值的概率為99.7%,即零件重量在(μ-3σ,μ+3σ)外取值的概率為0.3%.這表明在大量的重復(fù)試驗(yàn)中,平均每1

000個(gè)零件只有3個(gè)不在(μ-3σ,μ+3σ)范圍之內(nèi).因此,在質(zhì)量檢查中,零件重量在(μ-3σ,μ+3σ)之外是幾乎不可能發(fā)生的.而如果這種事情一旦發(fā)生了,即零件重量a滿足|a-μ|≥3σ,我們就有理由認(rèn)為這時(shí)候生產(chǎn)出來(lái)的零件的重量服從正態(tài)分布N(μ,σ2)的假設(shè)是不成立的,說(shuō)明該零件不是在正常狀態(tài)下生產(chǎn)出來(lái)的,生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常的情況.比如可能原料、機(jī)器出了問(wèn)題,或者可能工藝流程不完善,或者可能工人操作機(jī)器精力不集中,沒(méi)有遵守操作規(guī)程,需要停機(jī)檢查,找出原因,從而避免繼續(xù)生產(chǎn)廢品、次品,保證產(chǎn)品質(zhì)量,防止造成過(guò)大的損失.題型一題型二題型三題型一題型二題型三反思若X~N(μ,σ2),則X的數(shù)學(xué)期望與方差分別為E(X)=μ,D(X)=σ2.題型一題型二題型三題型一題型二題型三題型一題型二題型三題型一題型二題型三正態(tài)分布的應(yīng)用【例3】

某年級(jí)一次信息技術(shù)測(cè)驗(yàn)成績(jī)近似服從正態(tài)分布N(70,102),如果規(guī)定低于60分為不及格,求:(1)成績(jī)不及格的人數(shù)占多少;(2)成績(jī)?cè)?0~90內(nèi)的學(xué)生占多少.分析:將本題中問(wèn)題與(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)相結(jié)合求解即可.解:(1)設(shè)學(xué)生的得分情況為隨機(jī)變量X,X~N(70,102),則μ=70,σ=10.