高等數(shù)學(xué)上冊主要內(nèi)容

高等數(shù)學(xué)上冊主要內(nèi)容

西飛工學(xué)院高級(jí)工程師馮建軍

初等函數(shù)的概念微分學(xué)部分積分學(xué)部分第一單元初等函數(shù)(之一)函數(shù)的概念函數(shù)的特性基本初等函數(shù)一、函數(shù)的概念

當(dāng)x取遍D中的一切實(shí)數(shù)值時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值全體組成集合M稱為函數(shù)的值域.

１、定義：設(shè)D是由某些實(shí)數(shù)組成的數(shù)集,如果對(duì)每個(gè)數(shù)x∈D,變量y按照一定的法則總有確定的數(shù)值和它對(duì)應(yīng),那么y就稱為定義在數(shù)集D上的x的函數(shù),記作：y=f(x)，x稱為自變量,數(shù)集D稱為函數(shù)的定義域

例如：f(x)=x20f:平方0525-24函數(shù)兩要素:指定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系

函數(shù)相同是指定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都相同.

不同,定義域不同不同,對(duì)應(yīng)關(guān)系不同

相同,定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都相同

辨別下列各對(duì)函數(shù)是否相同,為什么?2、函數(shù)的表示法（2）表格法:常見于實(shí)際生活中的各種表格如同學(xué)們熟悉的,記分冊,成績單等等

（1）解析式法：用解析式表示函數(shù)，如（3）圖象法：用圖象表示函數(shù)關(guān)系３、函數(shù)的定義域在實(shí)際問題中，函數(shù)的定義域由問題的實(shí)際意義確定。

用解析式表示的函數(shù)，其定義域是自變量所能取的使解析式有意義的一切實(shí)數(shù)，通常要考慮以下幾點(diǎn)：（１）在分式中，分母不能為零；（２）在根式中，負(fù)數(shù)不能開偶次方根；

（３）在對(duì)數(shù)式中，真數(shù)必須大于零；

（６）如果函數(shù)表達(dá)式是由幾個(gè)數(shù)學(xué)式子組合而成，則其定義域應(yīng)取各部分定義域的交集。（5）y=arcsinx和y=arccosx中,x∈[-1,1]例１：求下列函數(shù)的定義域［Ａ］．即解得所以定義域?yàn)?-∞,-4)∪(-4,1)∪(1,+∞)即解得所以定義域?yàn)閇-1,1)∪(1,+∞)解:(1)要使函數(shù)有意義，必須有分母(x-1)(x+4)≠0

(2)要使函數(shù)有意義,必須有且有取其公共部分x≥-1,x≠1解(3)要使函數(shù)有意義，必須有x+3>0解得x>-3所以定義域?yàn)?-3,+∞)[B].(3)y=ln(x+3)(4)(4)要使函數(shù)有意義,必須有

即解

得-1≤x≤1，所以定義域?yàn)閇-1,1)練習(xí)1.求下列函數(shù)的定義域[A]

由解得所以定義域?yàn)樗远x域?yàn)橛?-2x>0解得所以定義域?yàn)橛山獾?所以定義域?yàn)閇-2,2].[B]

[C]

由,解得

所以定義域?yàn)?/p>

４．函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系及求函數(shù)值例2.設(shè),求下列函數(shù)值

[A]解:

[B]

解:[C]

解：

例3.[C]設(shè)f(x+1)=x2+3x+5,求f(x) 解:設(shè)x+1=t,則x=t-1,代入得所以f(x)=x2+x+3練習(xí)21、設(shè),求下列函數(shù)值

[A]

[B]

2、[B]設(shè)，求3、[C]設(shè)求得到則設(shè)返回目錄5、函數(shù)的幾種特性（1）奇偶性定義1對(duì)于任意的，如果那么為奇函數(shù)

例如對(duì)函數(shù)因?yàn)橛屑此允瞧婧瘮?shù)。定義2對(duì)于任意的，如果那么是偶函數(shù)。例如對(duì)函數(shù)因?yàn)橛屑此允桥己瘮?shù)

注意:偶函數(shù)的圖象關(guān)于Y軸對(duì)稱.奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.互為反函數(shù)的圖象關(guān)于Y=X對(duì)稱.(2)單調(diào)性定義1對(duì)于任意的，如果那么內(nèi)單調(diào)增加

單調(diào)增函數(shù)圖象沿x軸正向上升

x1x2f(x1)f(x2)(x1,f(x1))aby=f(x)xyo(x2f(x2))例如xyoy=x3xo(1,0)yy=lnx都是單調(diào)增函數(shù)

定義2對(duì)于任意的，如果那么內(nèi)單調(diào)減少

單調(diào)減函數(shù)圖象沿x軸正向下降

x1x2f(x1)f(x2)abxyoy=f(x)(x1,f(x1))(x2f(x2))例如xyoxyo(0,1)都是單調(diào)減函數(shù)

(3)有界性定義對(duì)于任意的X∈（a,b），存在M＞0，|f(x)|≤M，那么f(x)在（a,b）內(nèi)有界。

區(qū)間（a,b）內(nèi)的有界函數(shù)的圖象全部夾在直線y=M和y=-M之間xyoM-My=f(x)ab常見的有界函數(shù)是

y=sinxy=cosx以及反三角函數(shù)（4）周期性定義

對(duì)于任意的x∈D，存在正數(shù)，使f(x+)=f(x),那么f(x)為D上的周期函數(shù)。

以為周期的周期函數(shù)的圖象在定義域內(nèi)每隔長度為的區(qū)間上有相同的形狀。三角函數(shù)是周期函數(shù)三、基本初等函數(shù)冪函數(shù)y=xα（∈R），指數(shù)函數(shù)y=aX（a＞0,且a≠1）,對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax

(a＞0且a≠1),三角函數(shù)反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)。例4[A]判斷下列函數(shù)是否是基本初等函數(shù)（1）y=x（2）y=3x2（3）y=(0.5)x（4）y=2-x（5）u=sinv

（6）y=cos2t（7）y=lgx（8）y=ln(x+1)（9）u=arcosv（是，冪函數(shù)）（否）（是，指數(shù)函數(shù)）（是，正弦函數(shù)）（是，對(duì)數(shù)函數(shù)）（是，反余弦函數(shù)）（否）（否）（否）下列的基本初等函數(shù)的解析式及圖象必須熟記冪函數(shù)xy0(1,1)y=xxy(1,1)0y=x2xy(1,1)0y=x3xy(1,1)0y=x1指數(shù)函數(shù)xy(0,1)0y=ax(a>1)xy(0,1)0y=ax(0<a<1)對(duì)數(shù)函數(shù)xy(1,0)0(a>1)y=logax

xy(1,0)0y=logax

(0<a<1)三角函數(shù)xyf(x)=cosx1-1xyf(x)=sinx1-1反三角函數(shù)xy000y=arctanx四、小結(jié)：1、求函數(shù)式的定義域通常要對(duì)照五種限制，并在解有關(guān)方程和不等式的基礎(chǔ)上取各解集的交集。2、求函數(shù)的解析式，通常采用換元法，在求函數(shù)值的運(yùn)算中要注意繁分式的運(yùn)算和化簡。習(xí)題1.2：P251.(1)(2).P262.4.五、作業(yè)：返回第一單元目錄習(xí)題課一、主要內(nèi)容（一）函數(shù)的定義（二）極限的概念（三）連續(xù)的概念一、主要內(nèi)容（一）函數(shù)的定義（二）極限的概念（三）連續(xù)的概念函數(shù)的定義函數(shù)的性質(zhì)單值與多值奇偶性單調(diào)性有界性周期性反函數(shù)隱函數(shù)反函數(shù)與直接函數(shù)之間關(guān)系基本初等函數(shù)復(fù)合函數(shù)初等函數(shù)雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)（一）函數(shù)1.函數(shù)的定義函數(shù)的分類2.函數(shù)的性質(zhì)有界、單調(diào)、奇偶、周期3.反函數(shù)4.隱函數(shù)5.基本初等函數(shù)冪、指、反、對(duì)、三6.復(fù)合函數(shù)7.初等函數(shù)8.雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)數(shù)列極限函數(shù)極限左右極限極限存在的充要條件無窮大兩者的關(guān)系無窮小的性質(zhì)極限的性質(zhì)求極限的常用方法無窮小判定極限存在的準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限無窮小的比較等價(jià)無窮小及其性質(zhì)唯一性（二）極限1、極限的定義：單側(cè)極限2、無窮小與無窮大無窮??；無窮大；無窮小與無窮大的關(guān)系無窮小的運(yùn)算性質(zhì)3、極限的性質(zhì)四則運(yùn)算、復(fù)合函數(shù)的極限極限存在的條件4、求極限的常用方法a.多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法求極限;b.消去零因子法求極限;c.無窮小因子分出法求極限;d.利用無窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限;e.利用左右極限求分段函數(shù)極限.5、判定極限存在的準(zhǔn)則夾逼定理、單調(diào)有界原理6、兩個(gè)重要極限7、無窮小的比較8、等價(jià)無窮小的替換性質(zhì)9、極限的唯一性、局部有界性、保號(hào)性1、連續(xù)的定義單側(cè)連續(xù)連續(xù)的充要條件閉區(qū)間的連續(xù)性2、間斷點(diǎn)的定義間斷點(diǎn)的分類第一類、第二類3、初等函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)性的運(yùn)算性質(zhì)反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性4、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)最值定理、有界性定理、介值定理、零點(diǎn)定理二、典型例題例1解利用函數(shù)表示法的無關(guān)特性代入原方程得代入上式得解聯(lián)立方程組例2求下列極限①②導(dǎo)數(shù)的概念在許多實(shí)際問題中，需要從數(shù)量上研究變量的變化速度。如物體的運(yùn)動(dòng)速度，電流強(qiáng)度，線密度，比熱，化學(xué)反應(yīng)速度及生物繁殖率等，所有這些在數(shù)學(xué)上都可歸結(jié)為函數(shù)的變化率問題，即導(dǎo)數(shù)。本章將通過對(duì)實(shí)際問題的分析，引出微分學(xué)中兩個(gè)最重要的基本概念——導(dǎo)數(shù)與微分，然后再建立求導(dǎo)數(shù)與微分的運(yùn)算公式和法則，從而解決有關(guān)變化率的計(jì)算問題。導(dǎo)數(shù)和微分是繼連續(xù)性之后，函數(shù)研究的進(jìn)一步深化。導(dǎo)數(shù)反映的是因變量相對(duì)于自變量變化的快慢程度和增減情況，而微分則是指明當(dāng)自變量有微小變化時(shí)，函數(shù)大體上變化多少。重點(diǎn)導(dǎo)數(shù)與微分的定義及幾何解釋導(dǎo)數(shù)與微分基本公式四則運(yùn)算法則復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t高階導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)和參量函數(shù)求導(dǎo)難點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)，用定義求導(dǎo)，鏈?zhǔn)椒▌t基本要求①準(zhǔn)確敘述導(dǎo)數(shù)定義并深刻理解它的實(shí)質(zhì)②會(huì)用定義求導(dǎo)數(shù)③熟記求導(dǎo)基本公式④牢固掌握鏈?zhǔn)椒▌t⑤掌握隱函數(shù)和參量函數(shù)求導(dǎo)法⑥理解高階導(dǎo)數(shù)，掌握求高階導(dǎo)數(shù)的方法⑦弄清微分與導(dǎo)數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別，理解并會(huì)運(yùn)用一階微分的形式不變性二、導(dǎo)數(shù)的定義定義即其它形式注意:2.導(dǎo)函數(shù)(瞬時(shí)變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).播放法線方程為切線方程為法線方程為切線方程為法線方程為例7解由導(dǎo)數(shù)的幾何意義,得切線斜率為所求切線方程為法線方程為五、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系定理凡可導(dǎo)函數(shù)都是連續(xù)函數(shù).證注意:該定理的逆定理不成立.★連續(xù)函數(shù)不存在導(dǎo)數(shù)舉例0例如,例如,01例8解六、小結(jié)1.導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì):增量比的極限;3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義:切線的斜率;4.函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo);5.求導(dǎo)數(shù)最基本的方法:由定義求導(dǎo)數(shù).6.判斷可導(dǎo)性不連續(xù),一定不可導(dǎo).連續(xù)直接用定義;看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等.二、典型例題例1解例22001個(gè)例2A.充分必要B.充分非必要C.必要非充分D.非充分非必要證一則高階導(dǎo)數(shù)一、高階導(dǎo)數(shù)的定義問題:變速直線運(yùn)動(dòng)的加速度.定義二、高階導(dǎo)數(shù)求法舉例1.直接法:由高階導(dǎo)數(shù)的定義逐步求高階導(dǎo)數(shù).例1解注意:

求n階導(dǎo)數(shù)時(shí),求出1-3或4階后,不要急于合并,分析結(jié)果的規(guī)律性,寫出n階導(dǎo)數(shù).(數(shù)學(xué)歸納法證明)——逐階求導(dǎo)，尋求規(guī)律，寫出通式例2解例3解小結(jié)注意:分段函數(shù)求導(dǎo)時(shí),分界點(diǎn)導(dǎo)數(shù)用左右導(dǎo)數(shù)求.反函數(shù)的求導(dǎo)法則（注意成立條件）;復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則（注意函數(shù)的復(fù)合過程,合理分解正確使用鏈導(dǎo)法）;已能求導(dǎo)的函數(shù):可分解成基本初等函數(shù),或常數(shù)與基本初等函數(shù)的和、差、積、商.關(guān)鍵:正確分解初等函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu).思考題思考題解答正確的選擇是（3）例在處不可導(dǎo)，取在處可導(dǎo)，在處不可導(dǎo)，取在處可導(dǎo)，在處可導(dǎo)，洛必達(dá)法則Rolle定理Lagrange中值定理常用的泰勒公式Cauchy中值定理Taylor中值定理單調(diào)性,極值與最值,凹凸性,拐點(diǎn),函數(shù)圖形的描繪;曲率;求根方法.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、主要內(nèi)容1、羅爾中值定理2、拉格朗日中值定理3、柯西中值定理4、洛必達(dá)法則關(guān)鍵:將其它類型未定式化為洛必達(dá)法則可解決的類型.注意：洛必達(dá)法則的使用條件.6、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(1)函數(shù)單調(diào)性的判定法(2)函數(shù)的極值及其求法極值必要條件、第一、第二充分條件求極值的步驟:(3)最大值、最小值問題(4)曲線的凹凸與拐點(diǎn)(5)函數(shù)圖形的描繪(6)弧微分曲率曲率圓例1解二、典型例題這就驗(yàn)證了命題的正確性.最大值、最小值問題在生產(chǎn)實(shí)踐中，為了提高經(jīng)濟(jì)效益，必須要考慮在一定的條件下，怎樣才能是2用料最省，費(fèi)用最低，效率最高，收益最大等問題。這類問題在數(shù)學(xué)上統(tǒng)統(tǒng)歸結(jié)為求函數(shù)的最大值或最小值問題。最值問題主要討論問題的兩個(gè)方面：最值的存在性；最值的求法。假定f(x)在[a,b]上連續(xù)，除去有限個(gè)點(diǎn)外處處可導(dǎo)，且至多有有限個(gè)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0。我們就在這樣的條件下討論f(x)在[a,b]上的最值的求法。一、最值的求法首先由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)f(x)在[a,b]上必存在最大值和最小值其次，若最大值（或最小值）在開區(qū)間內(nèi)取得，則這個(gè)最值一定是極值，由假定，這個(gè)點(diǎn)一定是駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)；此外最值也可能在區(qū)間的端點(diǎn)處取得，故求連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上最值的方法是步驟:1.求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn);2.求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值,比較大小,那個(gè)大那個(gè)就是最大值,那個(gè)小那個(gè)就是最小值;注意:如果區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)