高中物理競(jìng)賽講座2

例：求線(xiàn)框(b>a)所受力和力矩；線(xiàn)框平衡時(shí)的θ的值，并判定平衡的穩(wěn)定性；線(xiàn)圈從平衡位置旋轉(zhuǎn)π/2長(zhǎng)直電流對(duì)線(xiàn)圈做的功。解：(1)(2)(3)(4)(5)專(zhuān)題五、安培力載流導(dǎo)體受安培運(yùn)動(dòng)(6)將(1)、(2)、(3)、(4)、(6)式代入(5)式得(7)F與x夾角為(8)(9)(10)(11)(12)將式(11)、(12)代入式(8)、(9)，再代入式(10)，經(jīng)化簡(jiǎn)得(13)力臂：(14)(15)例：勻質(zhì)金屬圓環(huán)（紅色）質(zhì)量為m，半徑為r，當(dāng)在環(huán)中通電流I時(shí)，環(huán)平衡在超導(dǎo)平板上方z=h（r>>h)處。試求：1、環(huán)中電流I；2、讓環(huán)保持水平狀態(tài)從平衡位置向上或向下稍偏移，試求振動(dòng)周期；3、讓環(huán)在平衡位置繞其與x軸平行的直徑pp’轉(zhuǎn)一小角度θ，試求環(huán)的擺動(dòng)周期。解：1、環(huán)電流的磁場(chǎng)在超導(dǎo)板中形成感應(yīng)電流。超導(dǎo)板內(nèi)無(wú)磁場(chǎng)，板外表面附近磁場(chǎng)沿板面切向。感應(yīng)電流用鏡像環(huán)電流等效。因r>>h,故環(huán)電流受力2、環(huán)上移ΔZ，則環(huán)受力3、環(huán)上環(huán)元（rdφ)的坐標(biāo)為φ環(huán)元受力為環(huán)元對(duì)軸pp’受重力矩為零，受安培力矩為環(huán)對(duì)軸pp’的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為環(huán)對(duì)軸pp’轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為專(zhuān)題九、洛侖茲力帶電粒子受電磁場(chǎng)力運(yùn)動(dòng)例:如圖1所示，分布在全空間均勻磁場(chǎng)B的方向垂直于圖平面，一質(zhì)量為m、電量為q<0的粒子以速度v0

從y軸上的Q點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)中受到沿運(yùn)動(dòng)軌跡切向、大小恒定的阻力F。已知出發(fā)點(diǎn)坐標(biāo)為(0，mv0/

qB)。1、求粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡方程；

2、若F=qv0B/

π，求粒子的最終位置。圖1解:1、粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的切向受到大小恒定的阻力F，法向受洛侖茲力，則(1)專(zhuān)題六、帶電粒子在電磁場(chǎng)力作用下運(yùn)動(dòng)設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)軌道的曲率半徑為ρ，則圖2(3)(2)由(1)、(2)、(3)式知，粒子的運(yùn)動(dòng)速率均勻減小，曲率半徑均勻減小，角速度不變?，F(xiàn)確定曲率中心D的軌跡(漸近線(xiàn))。曲率中心D的速率為作ρi、ρi+1的垂線(xiàn)，交于O點(diǎn)

由此知：曲率中心D的軌跡(漸近線(xiàn))是一半徑為R的圓。則2、由動(dòng)能定理得粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間：因受不變阻力，所以vt

=

0時(shí)粒子停止運(yùn)動(dòng)。將t代入運(yùn)動(dòng)軌跡方程得例如圖所示，長(zhǎng)方形磁極的長(zhǎng)度L遠(yuǎn)大于兩極間距。除邊緣外，兩極間的磁場(chǎng)是均勻磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B0，邊緣部分磁感應(yīng)線(xiàn)彎曲(如圖)。取如圖所示o-xyz坐標(biāo)系。電量為q(>0)的帶電粒子從x=x0處以平行于z軸的初始動(dòng)量p0(p0>>qB0L)從磁極左側(cè)射入場(chǎng)區(qū)。試求：粒子通過(guò)場(chǎng)區(qū)后，在YZ平面上的小偏轉(zhuǎn)角θy；試證明粒子通過(guò)場(chǎng)區(qū)后，在XZ平面上的小偏轉(zhuǎn)角近似為（3）在X軸上取一段直線(xiàn)初始動(dòng)量均為P0）從此段直線(xiàn)上各點(diǎn)出發(fā)射向場(chǎng)區(qū)。忽略粒子間的相互作用。試證明這些粒子將會(huì)聚在Z軸的某點(diǎn)處，該點(diǎn)與磁極右側(cè)面的間距稱(chēng)為焦距f，試導(dǎo)出f的表達(dá)式。，設(shè)有一束粒子（電量均為q、；解

（1）設(shè)粒子的質(zhì)量為m，初速度為v0，則因?yàn)楣柿Ｗ拥膭?dòng)量在磁場(chǎng)中變化很小，偏轉(zhuǎn)很小，粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)可視為速率為v0的園弧運(yùn)動(dòng)，圓半徑為

不計(jì)邊緣效應(yīng)，則

即很小，故近似有（2）粒子到達(dá)磁極右側(cè)面時(shí)，y正方向的速度分量為因磁場(chǎng)彎曲，邊緣磁場(chǎng)有分量，則粒子受X方向的洛倫茲力，，為負(fù)；為負(fù)時(shí)，為正。洛倫茲力的大小為:粒子在X方向的加速度為:粒子在dt時(shí)間內(nèi)，在X方向的分速度增量為:粒子在Z方向的位移是:為正時(shí)代入設(shè)磁極右側(cè)面的Z坐標(biāo)為Z0，則

為計(jì)算這一積分，取一足夠長(zhǎng)的矩形回路L（abcda)，則由環(huán)路定律得求得負(fù)號(hào)表示速度負(fù)X方向（3）由上式知：，則，粒子向下偏轉(zhuǎn)；，則，粒子向上偏轉(zhuǎn)，粒子會(huì)聚。粒子會(huì)聚點(diǎn)與電極右側(cè)面的距離為即焦路，所以

例:如圖1所示，分布在全空間均勻電場(chǎng)E的方向與+y軸平行，分布在0≤y≤L區(qū)間的均勻磁場(chǎng)B的方向與+Z軸平行。今有一質(zhì)量為m，電量為q(q>0)的質(zhì)點(diǎn)在x=0、y=-h、z=0的p點(diǎn)靜止釋放。設(shè)h≥0。（1）為使帶電質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)道恰好與y=L的平面相切，求h應(yīng)滿(mǎn)足的條件。（2）若h=0，且?guī)щ娏Ｗ拥倪\(yùn)動(dòng)不走出磁場(chǎng)區(qū)，試寫(xiě)出質(zhì)點(diǎn)x、y分量的運(yùn)

動(dòng)方程。圖1解：（1）求質(zhì)點(diǎn)到達(dá)o點(diǎn)的速度（沿+y方向）設(shè)粒子在電場(chǎng)、磁場(chǎng)區(qū)任一點(diǎn)的速度分量為則即在坐標(biāo)原點(diǎn)o：則在y=L點(diǎn)o：兩式聯(lián)列得：例如圖所示，半徑為R的光滑絕緣圓環(huán)固定在水平面上，環(huán)所在的與水平面垂直的長(zhǎng)直圓柱體空間有均勻磁場(chǎng)，圓柱體外無(wú)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向如圖所示。圓環(huán)內(nèi)有一質(zhì)量為m的絕緣剛性細(xì)桿ab，其上均勻分布電量為Q的正電荷。桿中心與環(huán)心的距離為R/2，桿兩端被約束在圓環(huán)上并可在環(huán)內(nèi)作無(wú)摩擦運(yùn)動(dòng)。初始時(shí)刻桿靜止，爾后，磁場(chǎng)B的大小按B=B0sinω0t變化。桿在環(huán)內(nèi)先逆時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)2π角,再順時(shí)針轉(zhuǎn)回2π角，并如此不斷交替。設(shè)桿的運(yùn)動(dòng)不改變桿上的電荷分布，桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I=mR2/2=2mD2。①試求t時(shí)刻桿的旋轉(zhuǎn)角頻率；②確定ω0與m、Q、B0之間的關(guān)系；③求環(huán)對(duì)桿兩端所施的作用力Na、Nb。解(1)桿運(yùn)動(dòng)中受的力有：渦旋電場(chǎng)力；洛倫茲力；環(huán)對(duì)桿端的作用力。設(shè)，則在x軸(細(xì)桿)上取dx一段，其上電荷為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理t時(shí)刻桿轉(zhuǎn)過(guò)的角度θ在0和之間變化。當(dāng)t從0增至?xí)r，θ從0逆時(shí)針增為，t從增至?xí)rθ從

順時(shí)針減為0。由題給條件，應(yīng)有（2）渦旋電場(chǎng)力Y分量相消，X分量為洛倫茲力：dx的速度為ωr，其洛倫茲力指向O’。