【讀書分享會】把握“混而不錯”厘清邏輯順序

把握“混而不錯”厘清邏輯順序把握“混而不錯”厘清邏輯順序★是什么？01核心概念解析是什么？★錯在哪？教材編排分析02★如何編？把準(zhǔn)混而不錯03★怎么教？一線實(shí)踐回聲04錯在哪？如何編？怎么教？一、是什么——核心概念解析1.平行

《辭?！分械摹捌叫小保海?）等級相同，沒有隸屬關(guān)系。如平行機(jī)關(guān)。（2）同時進(jìn)行。如平行作業(yè)。2.平行線

百度百科：在同一平面內(nèi)，永不相交的兩條直線叫做平行線。平行線的定義包括三個基本特征：一是在同一平面內(nèi)，二是兩條直線，三是不相交。小學(xué)數(shù)學(xué)書：在同一個平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，也可以說兩條直線相互平行?！稁缀卧尽罚浩叫芯€是在同一個平面的直線，向兩個方向無限延長，無論哪個方向它們都不相交。一、是什么——核心概念解析3.平行公理

（1）

經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行。a經(jīng)過直線外一點(diǎn)，沒有和已知直線平行的直線。經(jīng)過直線外一點(diǎn)，至少有兩條直線和已知直線平行。（2）

兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。一、是什么——核心概念解析

4.混而不錯

我國數(shù)學(xué)家蘇步青教授首先提出，中小學(xué)數(shù)學(xué)教材編寫要堅(jiān)持“混而不錯”的原則，從而保持一定的邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性。

張奠宙先生在平行線的教學(xué)中提到：用“有限”冒充“無限”，乃是混而有錯的做法，不足為訓(xùn)?！?/p>

我的解讀：“混而不錯”實(shí)際上是“淡化形式，注重實(shí)質(zhì)”的意思。“混”，要混出境界、格調(diào)、水平、邏輯，無論是編寫教材還是教學(xué)實(shí)踐，就應(yīng)該對某些教學(xué)難點(diǎn)問題采取“混而不錯”——非形式化處理方法，注意原則性、邏輯性，重視與后續(xù)學(xué)習(xí)對接。要能自圓其說，而不是自相矛盾。二、錯在哪——教材編排分析

1.北師大版中的“平行”

二下教材第六單元突然冒出“平行四邊形”的圖形和名稱，對“平行”二字沒有任何解讀。二、錯在哪——教材編排分析

1.北師大版中的“平行”

首先，門窗、國旗都是立體或平面的實(shí)體，抽象后仍是二維的平面，怎樣和一維的“直線”聯(lián)系起來呢？再如，國旗升起的畫面中，平行線在哪？不加以明確指出，學(xué)生如何理解編寫意圖？

其次，一支鉛筆明明是一條“線段”，怎能說是直線呢？兩條線段怎么就變成兩條直線啦？教材說“移動前后，鉛筆之間的空格數(shù)是一樣的”，這只能下這樣的結(jié)論：“像這樣的兩條線段互相平行?！敝劣谒鼈兯诘闹本€也互相平行，這是那一種約定，在界定一個對象時要分清楚，不能混同起來。二、錯在哪——教材編排分析

1.北師大版中的“平行”

第三，通過移動的門窗、上升的國旗，以及鉛筆的水平、上下移動的觀察，就說“像這樣的兩條直線互相平行”。顯然，這是從“物體的平移”給“直線的平行”作定義式的陳述。

從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)看，可能認(rèn)識平移要先于認(rèn)識平行，學(xué)生關(guān)于平移的經(jīng)驗(yàn)要比平行的經(jīng)驗(yàn)豐富。但是學(xué)生已經(jīng)進(jìn)入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中了，不能僅憑經(jīng)驗(yàn)，要更多考慮數(shù)學(xué)的邏輯結(jié)構(gòu)?；蛘哌@樣說，當(dāng)生活經(jīng)驗(yàn)和邏輯架構(gòu)不能完全一致時，我們要首先考慮邏輯架構(gòu)，或者說較多地考慮邏輯架構(gòu)?？傊?，邏輯結(jié)構(gòu)優(yōu)先。用平移定義平行，究竟行不行二、錯在哪——教材編排分析

2.人教版中的“平行”

二、錯在哪——教材編排分析

2.人教版中的“平行”

二、錯在哪——教材編排分析

2.人教版中的“平行”

相等二、錯在哪——教材編排分析

2.人教版中的“平行”

①障礙一：從a上一點(diǎn)向b畫垂線，這條垂線也和a垂直嗎？即與兩條平行線都互相垂直嗎？②障礙二：對于“選幾點(diǎn)”畫垂線所得的幾條線段，如果產(chǎn)生誤差，其長度不相等，該怎么辦？③障礙三：從a上“選幾個點(diǎn)”就能斷定從a上其他無限多個點(diǎn)向b畫垂線所得線段的長度都彼此相等嗎？無限多個點(diǎn)如何一一檢驗(yàn)？做不到。④障礙四：即便通過操作得出“與平行線垂直的所有線段的長度都相等”這一結(jié)論，那么反過來——“兩條直線之間的垂直線段相等，這兩條直線平行”是否成立呢？

能以樣本替代所有嗎？有的老師說這是一種不完全歸納法，但就題論題，好像這個跨越有點(diǎn)大吧？這樣的思維跨度讓學(xué)生不假思索地跨越，是不是有點(diǎn)隨意？這樣得出的結(jié)論頂多算是一個猜想。雖然小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中不必嚴(yán)格證明，但也要符合邏輯。如果一味地將未經(jīng)證明的“發(fā)現(xiàn)”不加懷疑地當(dāng)作真理，久而久之，就會養(yǎng)成一種不加論證就斷然肯定的思維習(xí)慣，必將對以后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)理性文明帶來負(fù)面影響。三、怎么編——把準(zhǔn)”混而不錯“

1.平行線的主要內(nèi)容

（1）平行線的概念；（2）平行線的判斷法則；（3）利用判定法則畫平行線，研究平行四邊形。2.排除的判定法則

（1）概念定義。平行線的概念涉及無限延長，直接從概念出發(fā)來檢驗(yàn)“無限”的過程是行不通的。

（2）反向結(jié)論。如果從“與平行線垂直的所有線段的長度都相等”的逆結(jié)論又不嚴(yán)密也不太符合邏輯。（3）平行公理。利用第三條直線，借助檢驗(yàn)兩個同位角是否相等的有限手段加以解決。然而，用同位角相等來判定，必須依賴平行公理。小學(xué)數(shù)學(xué)，當(dāng)然不能超前用這個平行公理的知識來判斷。

三、怎么編——把準(zhǔn)”混而不錯“

3.提出的改進(jìn)途徑

借助學(xué)生關(guān)于“方向”的生活經(jīng)驗(yàn)和基礎(chǔ)知識，正面提出一個基本事實(shí)為出發(fā)點(diǎn)：

兩條方向相同的直線不會相交，因而是互相平行的。特別地，與同一條直線垂直的兩條直線互相平行。這一判定法則建立在人們熟悉的“方向”概念上?！皟扇送较蜃卟粫嘟弧迸c中學(xué)幾何里“同位角相等，兩直線平行”的判定法則相銜接。三、如何編——把準(zhǔn)”混而不錯“

4.教材編寫的具體建議【教材設(shè)計(jì)】第一頁圖案：劉翔面對的跑道文字：田徑場上，110米跨欄比賽的各條跑道線都和起跑線垂直。它們具有相同的方向，不管怎樣無限延長，起跑線都不會相交。所以，它們是互相平行的。呈現(xiàn)事實(shí)與同一條直線垂直的兩條直線互相平行三、如何編——把準(zhǔn)”混而不錯“

4.教材編寫的具體建議【教材設(shè)計(jì)】第二頁圖案：枕木與鐵軌文字：向東的兩條鐵軌都和南北方向的直線垂直，延伸的方向相同，所以它們的無限延長也不會相交。呈現(xiàn)事實(shí)與同一條直線垂直的兩條直線互相平行。三、如何編——把準(zhǔn)”混而不錯“

4.教材編寫的具體建議【教材設(shè)計(jì)】第三頁圖案：拖拉機(jī)的車輪印文字：1.拖拉機(jī)的兩條車輪都和范本方向的直線形成東偏北30度的夾角。2.想象拖拉機(jī)無限地筆直前進(jìn)和倒退，形成兩條直線。3.因?yàn)樗鼈兙哂型环较?，所以平行，即便無限延長也不相交。

拖拉機(jī)的車輪印不再是水平或豎直方向。30°30°三、如何編——把準(zhǔn)”混而不錯“

4.教材編寫的具體建議【教材設(shè)計(jì)】第四頁

依據(jù)這兩個準(zhǔn)則，可以用三角板畫出平行線。結(jié)論：與同一方向直線形成相同夾角（垂直）的兩條直線互相平行。用“推、畫”法作平行線“方向相同”直覺畫法三、如何編——把準(zhǔn)”混而不錯“

5.教材編寫的具體建議【教材設(shè)計(jì)】第四頁

依據(jù)這兩個準(zhǔn)則，可以用三角板畫出長方形和正方形，并能標(biāo)注它們的邊長和角度。這是小學(xué)數(shù)學(xué)中平行概念的教學(xué)目標(biāo)。結(jié)論：與同一方向直線形成相同夾角（垂直）的兩條直線互相平行?！熬嚯x相同”直覺畫法三、如何編——把準(zhǔn)”混而不錯“

6.結(jié)論

★一個理論：平行線的原始定義不能作為兩條直線是否平行的判定準(zhǔn)則。

★兩個直覺：方向直覺與距離直覺。

★從知識層面上，“方向相同”的直覺，與中學(xué)的“同位角相等”的概念銜接比較順暢；使用“距離相等”直覺，畫平行線比較方便。

四、怎么教——一線實(shí)踐回聲

有而無痕聯(lián)而不亂——關(guān)于“平行與垂直”的教學(xué)思考章曄婷浙江省杭州市學(xué)軍小學(xué)

（一）有限的認(rèn)識，讓“超經(jīng)驗(yàn)”轉(zhuǎn)化為“接地氣”

【思考】兩條直線各種情況呈現(xiàn)避免了張教授提出的“兩直線平行是常態(tài)，相交反而難懂的概念”這樣有違常識的認(rèn)知。四、怎么教——一線實(shí)踐回聲

（二）有限的經(jīng)驗(yàn)，無限的聯(lián)系——讓“抽象化”轉(zhuǎn)化為“直接式”

1.由表及里，聯(lián)結(jié)“平行”與“垂直”關(guān)系

【思考】經(jīng)歷通過“有限”的運(yùn)動，兩條直線位置關(guān)系可以發(fā)生變動，“平行”與“垂直”既相互獨(dú)立，又相互聯(lián)系。尤其是“兩條直線重合后通過平移又出現(xiàn)了什么現(xiàn)象”引發(fā)思考，明晰平行的特征，聯(lián)結(jié)“平行”與“垂直”關(guān)系。四、怎么教——一線實(shí)踐回聲

（二）有限的經(jīng)驗(yàn)，無限的聯(lián)系——讓“抽象化”轉(zhuǎn)化為“直接式”

2.回歸生活，尋找“實(shí)際生活”與“數(shù)學(xué)概念”的聯(lián)系

【思考】張教授提到：用“有限”冒充“無限”乃是混而有錯的做法，不足為訓(xùn)。所以我們要摒棄從現(xiàn)實(shí)物體中抽象出平行線的概念。但是，我們可以從無限的角度出發(fā)，用數(shù)學(xué)的眼光去觀察生活中的“有限”現(xiàn)象，將視野從課堂拓展到生活的空間，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)象生活中隨處有垂直與平行的現(xiàn)象，體驗(yàn)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值。四、怎么教——一線實(shí)踐回聲

“平移和平行”教學(xué)思考——孔萬華浙江省杭州市袁浦小學(xué)

（一）關(guān)注定義平行的方向遷移

學(xué)生拿出準(zhǔn)備的紙，先畫一條直線，想一想，再畫一條直線可以怎樣畫？再讓學(xué)生進(jìn)行分類，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、相交和垂直都是以前學(xué)過的知識，而兩條直線不相交是以前不曾學(xué)過的，從而導(dǎo)出課題——平行線的認(rèn)識。

【思考】適度改編教材的引入方式，從直線和平行線的共性（都可以向兩端無限延長）著手。這里還是用”平面上不相交的兩條直線互相平行“來理解平行線的概念?！窘虒W(xué)片斷1】四、怎么教——一線實(shí)踐回聲

（二）反思直線互相平行的判定

【教學(xué)片斷2】

師：上兩圖是不是平行線呢？請你想辦法驗(yàn)證一下，看看誰的方法好。生1：我們小組驗(yàn)證的是左圖，用的是延長的方法，把這兩條直線一直延長，不會相交，所以是平行線。（反思：

【思考】一直延長是無限過程，無沒窮盡。沒完沒了地延長，得不到最后結(jié)果。也就是說，平行線的定義無法用來檢驗(yàn)兩條直線是否平行。生1的回答在事實(shí)上是無法完成的）四、怎么教——一線實(shí)踐回聲

（二）反思直線互相平行的判定

【教學(xué)片斷2】

生2：我們小組驗(yàn)證的也是左圖，用的是平移的方法，把左面的直線往右平移就會和右面的直線重合在一起，就可以知道它們是平行關(guān)系。（學(xué)生用鉛筆代替直線演示）（反思：

【思考】平移要沿著某一方向移動，哪個方向呢？移動了后重合，為什么就肯定平行？所謂把一條直線沿某個方向平移，就是鉛筆上每一點(diǎn)移動前后的兩點(diǎn)連續(xù)要和該方向平行。事實(shí)上，先有平行，再有平移，而不是相反。四、怎么教——一線實(shí)踐回聲

（二）反思直線互相平行的判定

【教學(xué)片斷2】

生3：我們小組研究的是左圖，用的是點(diǎn)子圖的方法。兩條平行線之間的格子都是2格，所以它們一定是平行線。（反思：

【思考】一直保持兩格，直觀地看，兩條直線之間的距離不是越來越小，也不是越來越大，因而可以保證平行。這是一種直觀的判斷。四、怎么教——一線實(shí)踐回聲

（二）反思直線互相平行的判定

【教學(xué)片斷2】

生4：我們驗(yàn)證的是右圖。如果畫出來的垂直線段都是3厘米，它們的距離都是一樣的，那么它們就是平行的關(guān)系。（反思：

【思考】什么是兩條線段的垂直線段？應(yīng)該只能看出來是一條直線上的垂直線段吧？四、怎么教——一線實(shí)踐回聲

（三）關(guān)注空間平行的認(rèn)知突破

【教學(xué)片斷3】考察課桌上各線段的位置關(guān)系（反思：

【思考】我們在研究相交、平行時，所研究的直線必須在同