第4章 頻率特性分析-1

第四章

頻率特性分析

本章主要內容4.1

頻率特性的概念4.2

頻率特性圖示法之1：Nyquist圖4.2

頻率特性圖示法之2：Bode圖4.3

閉環(huán)頻率特性4.4

頻率特性的特征量4.5

最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)

4.1

頻率響應的概念前面我們學習了，借助微分方程或傳遞函數對系統(tǒng)進行分析的有關概念和知識，針對的幾種輸入情況主要有階躍、脈沖、斜坡、加速度等，這些信號都是非周期信號。在機械工程中，機械受到一定頻率作用力時，會產生強迫振動，由于內反饋還會引起自激振動，對這些問題的研究，就要考慮輸入信號是周期信號的形式。一種典型的周期信號正弦信號，實際當中還有很多其它形式的周期信號，但是正弦是最簡單的，為什么呢？正弦是最簡單最基本的周期信號任何周期信號都能利用傅立葉級數展開成正弦波的疊加，所以人們通常以正弦信號為輸入，來研究和頻率有關的問題，由此產生了頻率特性這種分析方法；任何非周期性信號，都可以看作是T的周期信號，所以，頻率特性也能用來研究一般的問題，而且還很方便。是一種間接的方法，通常要利用試驗或作圖。

周期為T=2/的周期函數（非正弦函數）可以展開成由簡單的周期函數如三角函數組成的級數在電工學上，這種展開稱為諧波分析：其中，常數項稱為直流分量，稱為一次諧波（又叫基波）；稱為二次諧波，三次諧波等等…..物理意義：把一個比較復雜的周期運動看成是許多不同的簡諧振動的疊加。定義頻率響應:定義1：在正弦輸入信號作用下，線性系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)分量。定義2:線性定常系統(tǒng)對諧波輸入的穩(wěn)態(tài)響應。頻率特性：頻率響應與正弦輸入信號之間的關系。頻率分析法的特點根據開環(huán)頻率特性研究閉環(huán)系統(tǒng)的性能；對二階系統(tǒng)而言，頻率特性與過渡過程性能指標之間有確定的對應關系；頻率特性有明確的物理意義；圖解分析法；適用于線性定常系統(tǒng)，也可應用于某些非線性控制系統(tǒng)；可針對系統(tǒng)的噪聲頻率范圍對系統(tǒng)進行抑止噪聲處理。例：有一傳遞函數為的系統(tǒng)，設

輸入信號，分析輸出響應。分析：再取Laplace反變換，并整理得第一項是瞬態(tài)分量，第二項是穩(wěn)態(tài)分量。隨著時間推移，瞬態(tài)分量迅速衰減至零，系統(tǒng)的輸出即為穩(wěn)態(tài)響應：可以看到：輸出是與輸入同頻率的諧波信號，其幅值為相位當諧波頻率不同時，輸出的幅值和相位也不同，這就為我們研究系統(tǒng)提供了一種方法。頻率特性的包括兩部分

——幅頻特性和相頻特性幅頻特性：線性系統(tǒng)在諧波輸入作用下，穩(wěn)態(tài)輸出幅值和輸入的幅值之比。記為：相頻特性：穩(wěn)態(tài)輸出和輸入的相位差。記為()。當系統(tǒng)輸入不同頻率的諧波信號時，輸出相位會超前或滯后，規(guī)定超前時()>0，滯后時()<0

，坐標圖上規(guī)定，逆時針旋轉為正，順時針旋轉為負。對物理系統(tǒng)，相位一般是滯后的，即一般是負值。幅頻特性和相頻特性總稱為系統(tǒng)的頻率特性。記作或者說，頻率特性定義為的復變函數，其幅值為：A()，相位為：()

。仿真實驗取T=1頻率特性的物理意義

例：慣性環(huán)節(jié)正弦輸入下的響應uyRCi輸入：UsintU=1，ω=0.5U=1，ω=1輸出U=1，ω=5U=1，ω=2U=1.5ω=10U=1，ω=10觀察到的現象

當輸入為正弦信號時,系統(tǒng)輸出穩(wěn)態(tài)仍為正弦信號只是幅值和相位發(fā)生了變化。頻率特性與傳遞函數的關系一般線性定常系統(tǒng)下式仍然成立：所以頻率特性也記作頻率特性的求法根據定義來求：如果已知系統(tǒng)的微分方程，可將輸入變量以正弦函數代入，求輸出變量的穩(wěn)態(tài)解，輸出變量穩(wěn)態(tài)解與輸入正弦函數的復數比即為系統(tǒng)的頻率特性函數。如果已知系統(tǒng)的傳遞函數，可將系統(tǒng)傳遞函數中的s代之以j，即得到系統(tǒng)的頻率特性函數?？梢酝ㄟ^實驗手段求出。微分方程頻率特性傳遞函數系統(tǒng)END上堂課內容回顧當輸入為正弦信號時,系統(tǒng)輸出穩(wěn)態(tài)仍為正弦信號，只是幅值和相位發(fā)生了變化。頻率特性的包括兩部分——幅頻特性和相頻特性頻率特性的兩種表示方法：實頻特性虛頻特性4.2

頻率特性的兩種圖示方法

4.2.1Nyquist圖(奈奎斯特)

（極坐標圖、幅相曲線）

4.2.2

Bode圖（伯德/波特圖）（對數坐標圖）4.2.1頻率特性的Nyquist圖Im0Re幅相曲線典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖（1）比例環(huán)節(jié)的Nyquist圖ImK0Re

比例環(huán)節(jié)的Nyquist圖為實軸上的一個定點，坐標為（K,j0）（2）積分環(huán)節(jié)的Nyquist圖ImωRe0（3）微分環(huán)節(jié)的Nyquist圖ImωRe0（4）慣性環(huán)節(jié)的Nyquist圖（4）慣性環(huán)節(jié)的Nyquist圖ReImω0KReImω0K（5）一階微分環(huán)節(jié)（導前環(huán)節(jié)）的Nyquist圖ReImω0（6）振蕩環(huán)節(jié)的Nyquist圖ImRe（7）延時環(huán)節(jié)的Nyquist圖1ω0ImRe4.2.2Nyquist圖的繪制方法一般步驟：4.2.1頻率特性的Bode圖Bode圖的意義：具有Nyquist圖的各種功能比Nyquist圖更容易繪制——需要將坐標系進行一些變換Bode圖的特點：幅頻特性與相頻特性分別畫在兩張圖上對數幅頻特性圖：原來的幅頻特性取對數，畫在對數坐標系中。對數相頻特性圖：還是原來的相頻特性，但畫在對數坐標系中。對數幅頻特性Bode圖所用的坐標系對數幅頻特性圖橫軸：以的對數分度，也即：對lg來說是均勻分度縱軸：線性分度，以分貝（dB）為單位對數相頻特性圖橫軸：的對數分度，也即：相對lg來說是均勻分度縱軸：以弧度或度線性分度（半）對數坐標系0.111010023468204060012303-1對數幅頻特性圖所用的坐標系橫軸：以的對數分度，也即：對lg來說是均勻分度縱軸：線性分度，以分貝（dB）為單位十倍頻程（dec）十倍頻程（dec）20406080對數分度的特點：當變量增大或減小10倍（十倍頻程）時，坐標間距離變化一個單位長度。（半）對數坐標系0.111010023468204060012303-1對數相頻特性圖所用的坐標系橫軸：同前縱軸：以度或弧度線性分度90o180o半對數坐標紙半對數坐標紙用Bode圖表示頻率特性的優(yōu)點可將串聯環(huán)節(jié)的乘除，化為幅值的加減，簡化計算與作圖過程。可分別作出各個環(huán)節(jié)的Bode圖，然后用疊加的方法得出系統(tǒng)的Bode圖，并由此看出各個環(huán)節(jié)對系統(tǒng)總特性的影響。由于橫坐標采用對數分度，所以能把較寬范圍的圖形緊湊地表示出來。在分析和研究系統(tǒng)時，低頻特性很重要。橫軸采用對數分度對于突出頻率特性的低頻段很方便，橫坐標的起點可根據實際所需的最低頻率來決定。典型環(huán)節(jié)的Bode圖（1）比例環(huán)節(jié)的Bode圖0.10.21210201000dB20dB40dB-20dBdBω比例環(huán)節(jié)90o0o－90oL(ω)（2）積分環(huán)節(jié)的Bode圖一條斜率為－20dB/dec的直線0.10.21210201000dB20dB40dB-20dBdBω積分環(huán)節(jié)90o0o－90oL(ω)（3）微分環(huán)節(jié)的Bode圖0.10.21210201000dB20dB40dB-20dBdBω微分環(huán)節(jié)90o0o－90oL(ω)低頻段：近似0直線——低頻漸近線高頻段：近似斜率為-20dB/dec的直線——高頻漸近線（4）慣性環(huán)節(jié)的Bode圖

：轉折頻率0.10.21210201000dB20dB40dB-20dBdBω慣性環(huán)節(jié)0o－90oL(ω)慣性環(huán)節(jié)帶有低通濾波器的特性，當ω>ωT時，輸出很快衰減，即濾掉輸入信號的高頻部分，在低頻段，輸出能較準確地反映輸入。－45o慣性環(huán)節(jié)：漸近線與精確幅頻特性之間的誤差0.10.21210201000dB20dB40dB-20dBdBω慣性環(huán)節(jié)幅頻特性精確圖L(ω)－3dB（5）一階微分環(huán)節(jié)（導前環(huán)節(jié)）的Bode圖低頻段：近似0直線——低頻漸近線高頻段：近似斜率為20dB/dec的直線——高頻漸近線

：轉折頻率0.10.21210201000dB20dB40dB-20dBdBω導前環(huán)節(jié)0o90oL(ω)45o0.10.21210201000dB20dB40dB-20dBdBω導前環(huán)節(jié)環(huán)節(jié)幅頻特性精確圖L(ω)3dB

（6）振蕩環(huán)節(jié)的Bode圖近似0直線——低頻漸近線近似斜率為-40dB/dec的直線——高頻漸近線

0.10.21210201000dB20dB40dB-20dBdBlg振蕩環(huán)節(jié)0o－90oL(ω)－180o漸近線與精確幅頻特性之間的誤差0.10.21210201000dB20dB40dB-20dBdBω比例環(huán)節(jié)90o0o－90oL(ω)0.10.21210201000dB20dB40dB-20dBdBω積分環(huán)節(jié)90o0o－90oL(ω)0.10.21210201000dB20dB40dB-20dBdBω微分環(huán)節(jié)90o0o－90oL(ω)0.10.21210201000dB20dB40dB-20dBdBω慣性環(huán)節(jié)0o－90oL(ω)慣性環(huán)節(jié)帶有低通濾波器的特性，當ω>ωT時，輸出很快衰減，即濾掉輸入信號的高頻部分，在低頻段，輸出能較準確地反映輸入。－45o0.10.21210201000dB20dB40dB-20dBdBω慣性環(huán)節(jié)幅頻特性精確圖L(ω)－3dB0.10.21210201000dB20dB40dB-20dBdBω導前環(huán)節(jié)0o90oL(ω)45o0.10.21210201000dB20dB40dB-20dBdBω導前環(huán)節(jié)環(huán)節(jié)幅頻特性精確圖L(ω)3dB0.10.21210201000dBdBω振蕩環(huán)節(jié)幅頻特性精確圖L(ω)令諧振頻率諧振峰值

當時，幅值曲線不可能有峰值出現，即不會有諧振

諧振頻率與諧振峰值的概念（7）延時環(huán)節(jié)的Bode圖0.10.21210201000dB20dB40dB-20dBdBω延時環(huán)節(jié)0o－90oL(ω)－180o4.2.2一般系統(tǒng)Bode圖的繪制關鍵：系統(tǒng)都是由各個環(huán)節(jié)串聯（相乘）而成，對數變換能將乘除運算化為加減運算；Bode圖的繪制步驟0.10.21210201000dB20dB40dB-20dB-40dBL(ω)ω0.10.2121020100L(ω)ω0dB20dB40dB-20dB-40dB0.10.2121020100L(ω)ω0dB20dB40dB-20dB-40dB0.10.2121020100L(ω)ω0dB20dB40dB-20dB-40dB0.10.2121020100(ω)ω-90o-180o-270o90o4.3

閉環(huán)頻率特性4.4

頻率特性的特征量