第5章 頻率法 浙江大學(xué)

第五章線性系統(tǒng)的頻域分析法5-1.頻率特性5-2.頻率特性曲線5-3.頻率特性穩(wěn)定判據(jù)及穩(wěn)定裕度5-4.應(yīng)用開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性分析控制系統(tǒng)性能第一節(jié)頻率特性例：RC網(wǎng)絡(luò)在輸入電壓的作用下，輸出電壓的象函數(shù)滿足：傳遞函數(shù)為其中：幅頻特性相頻特性實(shí)頻特性虛頻特性系統(tǒng)頻率特性：則

結(jié)論：（1）頻率特性只與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)而與輸入量無關(guān)。（2）系統(tǒng)的頻率特性恰是將傳遞函數(shù)中的s用jω替代的結(jié)果，這個(gè)結(jié)論對(duì)任何穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)都成立。第二節(jié)頻率特性曲線一、坐標(biāo)系一、坐標(biāo)系（1）以ω為參變量（2）極坐標(biāo)的模（極軸）代表幅頻值（3）幅角（極角）代表相頻值（4）極坐標(biāo)軸的刻度與直角坐標(biāo)系的實(shí)軸和虛軸的等值刻度滿足ω從0→∞，所繪出的曲線稱為幅相頻率特性（曲線），也稱奈奎斯特曲線，簡稱奈氏曲線（或奈氏圖）。為離原點(diǎn)的距離，從而確定了復(fù)平面上的一點(diǎn)；隨從0∞變化，就組成了一條幅頻特性曲線（幅相圖）幅頻特性曲線（幅相圖）以復(fù)平面原點(diǎn)為幅頻特性的參考點(diǎn)，對(duì)每一頻率值，由相頻特性確定其方向，以幅頻特性對(duì)于RC網(wǎng)絡(luò)：由于根據(jù)和奇偶特性，可以畫出一段幅相圖。對(duì)數(shù)頻率特性曲線（Bode圖）對(duì)數(shù)相頻特性曲線的縱坐標(biāo)表示相頻特性的函數(shù)值，均勻分度，單位是度。采用對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖的優(yōu)點(diǎn)是：1、可以將幅值的乘除化為其對(duì)數(shù)的加減；2、可以用簡便的方法繪制近似對(duì)數(shù)幅頻曲線；3、將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)畫成對(duì)數(shù)幅頻曲線可獲得系統(tǒng)表達(dá)式。

橫坐標(biāo)表示頻率，不以ω均勻分度，按對(duì)數(shù)分度，單位是［弧度／秒］

縱坐標(biāo)表示對(duì)數(shù)幅頻特性的函數(shù)值，將取常用對(duì)數(shù)的20倍（），均勻分度，單位是分貝，記作dB慣性環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性對(duì)數(shù)相頻特性：可得右圖：當(dāng)時(shí)，工程上，采用簡便作圖法繪制對(duì)數(shù)特性曲線將分兩段來近似：(1)當(dāng)ω＜1/T時(shí)，近似地不計(jì)及

ω２T2

這一項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，這種近似較為準(zhǔn)確。(2)當(dāng)ω>1/T時(shí)，近似地不計(jì)

1

這項(xiàng)：此時(shí)，該近似直線的斜率為，與零分貝線交于（即處）。顯然，當(dāng)時(shí)，這種近似較為準(zhǔn)確。上述近似法稱漸進(jìn)線作伯德圖法（波特圖）在ω=1/T處，誤差最大。-3dB而近似則將其視為0．故在交接頻率處，用漸進(jìn)線作圖將帶來-3dB的誤差。此時(shí)，精確值為：（二）系統(tǒng)開環(huán)幅相頻率特性繪制（三點(diǎn)法）（1）起點(diǎn)(ω=0)（2）終點(diǎn)(ω=∞)（3）確定與虛、實(shí)軸的交點(diǎn)

繪制開環(huán)幅相頻率特性的總體(基本)方法三、控制系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性令P(ω)=0,求出ω,代入求Q(ω)令Q(ω)=0,求出ω,代入求P(ω)或令Ψ(ω)=0，；求出ω,代入求A(ω)

Ψ(ω)=，求出ω,代入求A(ω)（一）典型環(huán)節(jié)的開環(huán)幅相頻率特性繪制1．0型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性曲線例：某0型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為1)試?yán)L制該系統(tǒng)的開環(huán)幅相頻率特性曲線；(2)若在開環(huán)通道中接入一個(gè)傳遞函數(shù)為的慣性環(huán)節(jié)，試?yán)L制新的開環(huán)幅相頻率特性。解(1)由開環(huán)頻率特性知，系統(tǒng)不含開環(huán)零點(diǎn)。幅頻特性為相頻特性ω=0,A(0)=10,φ(0)=00,是實(shí)軸上的點(diǎn)

ω連續(xù)變化,A(ω)單調(diào)衰減,φ(ω)單調(diào)滯后

ω∞,A(∞)=0,φ(∞)=-1800令則有A(w)=

取幾個(gè)值計(jì)算的實(shí)頻值和虛頻值，將它們?cè)诜嘧鴺?biāo)系的點(diǎn)平滑連接起來，得到奈氏曲線如右圖中曲線①所示（2）在開環(huán)通道增加一個(gè)慣性環(huán)節(jié)后奈氏曲線如②所示。0型系統(tǒng)開環(huán)伯德圖的繪制將開環(huán)頻率特性看成是由比例環(huán)節(jié)10、一階慣性（一階極點(diǎn)）環(huán)節(jié)、一階微分（一階零點(diǎn)）環(huán)節(jié)組成的，繪出它們的對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線。疊加后得到開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線如圖中折線⑤所示特點(diǎn)：頻率增加時(shí)，遇到的下一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率是慣性環(huán)節(jié)（或振蕩環(huán)節(jié)）的轉(zhuǎn)折頻率時(shí)，相頻特性向負(fù)值方向變化；遇到的下一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率是微分環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率時(shí)，相頻特性向正值方向變化。開環(huán)系統(tǒng)總的相移角度滿足

φ(ω)=-(n-m)900低頻段:L(ω）低頻=20lgK2I型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性例：某I型系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制該系統(tǒng)的奈氏曲線。解系統(tǒng)開環(huán)頻率特性I型系統(tǒng)的伯德圖

先繪出漸近線

確定了低頻漸近線后，隨著頻率的增加，漸近線在轉(zhuǎn)折頻率處斜率的變化與0型系統(tǒng)情形相同。

I型系統(tǒng)的相頻起始點(diǎn)有-900的角相移，隨著ω增加，各轉(zhuǎn)折頻率的環(huán)節(jié)對(duì)相移產(chǎn)生影響，變化的規(guī)則與0型系統(tǒng)的相同。3Ⅱ型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性例繪制該系統(tǒng)的開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性(包括漸近線)及相頻特性。解低頻漸近線方程為高度L(1)|低頻=20如折線①所示。對(duì)數(shù)幅頻特性如②所示。對(duì)數(shù)相頻特性可參照對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線由描點(diǎn)法繪出。當(dāng)ω→0時(shí)，可以確定特性的低頻部分，其特點(diǎn)由系統(tǒng)的類型近似確定，如下圖所示：幅相特性的高頻部分ω→∞

一般，有n≥m，故當(dāng)ω→∞時(shí)，有A(ω)=0,φ(ω)=-(n-m)*900即特性總是以順時(shí)針方向按上式角度終止于原點(diǎn)，如下圖所示。控制系統(tǒng)頻率特性繪制方法奈氏曲線模和幅角公式先行；起點(diǎn)終點(diǎn)位置確定；幅角作為條件；求取兩軸交點(diǎn)；各點(diǎn)平滑連線；繪出奈氏曲線。波特圖（伯德圖）交接頻率排好隊(duì)；幅頻過點(diǎn)（1，20lgK）;斜率一階差20；相頻起點(diǎn)-90v；相角一階差90；分子加；分母減；近似波特曲線畫。繪制下面的三個(gè)系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性。一般，控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)均是s的有理分式。由有理分式中開環(huán)零極點(diǎn)在S平面的分布情況，可將系統(tǒng)分為：1．最小相位系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的全部極點(diǎn)都位于S平面的左半部，并且沒有開環(huán)零點(diǎn)位于右半部。2．非最小相位系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的全部極點(diǎn)都位于S平面的左半部，并且有零點(diǎn)位于右半部。3．開環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中有開環(huán)極點(diǎn)位于S平面的右半部

[奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)]：若系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)在右半平面上有P個(gè)極點(diǎn)，且開環(huán)頻率特性曲線對(duì)(-1,j0)點(diǎn)包圍的次數(shù)為N，（N>0順時(shí)針，N<0逆時(shí)針），則閉環(huán)系統(tǒng)在右半平面的極點(diǎn)數(shù)Z為：Z=N+P。若Z=0，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則不穩(wěn)定。過(-1,j0)點(diǎn)，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。V=(0,1,2)型系統(tǒng)例設(shè)控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)H(s)=10/(s+1)(s+2)(s+3)試用奈氏穩(wěn)定判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性解系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為實(shí)頻特性虛頻特性

該系統(tǒng)是無開環(huán)零點(diǎn)的0型系統(tǒng)，角頻率連續(xù)變化時(shí)，幅頻特性單調(diào)衰減，相頻特性單調(diào)滯后的幅相點(diǎn)是實(shí)軸上1.67的點(diǎn)；經(jīng)過負(fù)實(shí)軸時(shí)，經(jīng)過虛軸時(shí),開環(huán)極點(diǎn)都在S平面的左半部，并且奈氏曲線不包圍(-1,j0)點(diǎn)，表明在右半S平面不存在閉環(huán)極點(diǎn)，系統(tǒng)穩(wěn)定。例設(shè)控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試用奈氏穩(wěn)定判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解該系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定，p=0，開環(huán)頻率特性為實(shí)頻特性由于無開環(huán)零點(diǎn)，幅頻特性單調(diào)衰減，相頻特性單調(diào)滯后。虛頻特性特性曲線以實(shí)軸值-6為無窮遠(yuǎn)處的漸近線，自虛軸-∞處延伸上來，經(jīng)過負(fù)實(shí)軸，以-2700的相角進(jìn)入坐標(biāo)原點(diǎn)。幅相頻率特性與負(fù)實(shí)軸相交，交點(diǎn)為p(1/√2)=-1.33奈氏曲線如圖(1)所示。時(shí)，從的映射是自實(shí)軸開始到相角為的無窮大圓弧