第38講 虛功原理及最大塑性功原理

張貴杰Tel-Mail：zhguijie@河北聯(lián)合大學(xué)金屬材料及加工工程系金屬塑性變形理論

第38講1/14/20231第十五章上界定理及其應(yīng)用主要內(nèi)容MainContent虛功原理及最大塑性功原理上界定理的概念上界定理的應(yīng)用——間斷速度場1/14/2023215.1虛功原理及最大塑性功原理在塑性加工成型所需功率的上下界中尋找更為接近真實(shí)解的力能參數(shù)及金屬流動(dòng)等問題，稱為極限分析。

極值原理包括上界定理和下界定理，它們都是根據(jù)虛功原理和最大塑性功原理得出的，但各自分析問題的出發(fā)點(diǎn)不同。1/14/20233上界定理是對(duì)工件的變形區(qū)虛擬一個(gè)運(yùn)動(dòng)許可速度場，而未必滿足力微分方程和應(yīng)力邊界條件，在滿足上述條件所求得的成型所需的功率或變形力大于或等于真實(shí)的變形功率和變形力。下界定理是對(duì)工件的變形區(qū)虛擬一個(gè)靜力許可應(yīng)力場，而未必滿足體積不變條件和速度邊界條件，在滿足上述條件求得的成型所需的功率和變形力小于或等于真實(shí)的變形功率和變形力。1/14/20234歷史發(fā)展上世紀(jì)四十年代末期A．A．馬爾科夫，R．希爾，W．普拉格等人對(duì)彈性一塑性材料和剛一塑性材料，從數(shù)學(xué)塑性理論角度對(duì)極值定理進(jìn)行了證明和探討。五十年代到七十年代才逐漸把塑性理論的極值定理用于解塑性加工成型的實(shí)際問題。可以說五、六十年代是工程法和滑移線法占主要地位，然而到七十年代極限分析法則居主導(dǎo)，目前在工程中普遍應(yīng)用。1/14/20235在任何塑性加工成型過程都有多于一個(gè)的運(yùn)動(dòng)許可的速度場或靜力許可應(yīng)力場，所以便存在多于一個(gè)的上界解或下界解。這樣，在許多上界解中找到最小的或在許多下界解中找到最大的，便會(huì)得到更接近真實(shí)的解。由于設(shè)定運(yùn)動(dòng)許可速度場比設(shè)定靜力許可應(yīng)力場容易，并且得到的上界解又能滿足加工設(shè)備強(qiáng)度和功率驗(yàn)算安全的要求，所以上界解應(yīng)用比較廣。*………………1/14/2023615.1.1虛功原理穩(wěn)定平衡狀態(tài)的變形體中，當(dāng)給予變形體一幾何約束所許可的微小位移（因?yàn)樵撐灰浦皇菐缀渭s束所許可，實(shí)際上并未發(fā)生，故稱虛位移）時(shí)，則外力在此虛位移上所作的功（稱虛功），必然等于變形體內(nèi)的應(yīng)力在虛應(yīng)變上所作的虛應(yīng)變功。也常用功率表達(dá)虛功率原理1/14/20237其表達(dá)式為：求和約定的形式外力功率內(nèi)力功率1/14/20238含義內(nèi)力虛功率與外力虛功率平衡內(nèi)力滿足力平衡方程，在邊界上與外力滿足應(yīng)力邊界條件虛應(yīng)變速率與虛速度滿足幾何方程內(nèi)力與虛應(yīng)變速率之間沒有任何聯(lián)系1/14/20239有速度不連續(xù)線時(shí)的虛功率原理P1P2P3F1PiPn-1PnF2LdF1F2N1N2T2T1vn1vn2vt1vt2B1B21/14/202310對(duì)F1區(qū)應(yīng)用虛功率原理對(duì)F2區(qū)應(yīng)用虛功率原理1/14/202311兩者相加有1/14/202312有多條速度不連續(xù)線時(shí)對(duì)三維空間也成立1/14/20231315.1.2最大塑性功原理對(duì)剛塑性體一定的應(yīng)變?cè)隽繄龆裕谒袧M足屈服準(zhǔn)則的應(yīng)力場中，與該應(yīng)變?cè)隽繄龇蠎?yīng)力應(yīng)變關(guān)系的應(yīng)力場所做的塑性功增量為最大。

1/14/202314含義：1/14/202315原理的證明OQ一定在π平面上32OQ主軸空間內(nèi)的應(yīng)力、應(yīng)變矢量Π平面上的偏應(yīng)力矢量和應(yīng)變矢量M231Qθ1/14/202316由于屈服軌跡是外凸的曲線對(duì)上式進(jìn)行整體積分得同樣對(duì)于虛擬應(yīng)變?cè)隽繄觥?9)M231Qθ1/14/202317物體在塑性變形時(shí)，總是要導(dǎo)致最大的能量散逸對(duì)于一定的應(yīng)變?cè)隽繄?，在所有滿足屈服準(zhǔn)則的應(yīng)力場中，與該應(yīng)變?cè)隽繄鲩L符合應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的應(yīng)力場所做的塑性