空間桿系分析

關(guān)于空間桿系分析第一頁，共三十二頁，2022年，8月28日1§6-1空間桁架結(jié)構(gòu)有限元分析（桁架單元）

由于兩端鉸接，不能承受力矩，假定每個節(jié)點(diǎn)三個自由度，在整體參考系有：

為方便研究，在單元上取一個局部參考系，以為原點(diǎn)，由點(diǎn)指向點(diǎn)為軸的正向。在局部參考系中有：一、桁架單元剛度矩陣第二頁，共三十二頁，2022年，8月28日2在單元中假定：

利用節(jié)點(diǎn)處的位移連續(xù)性條件可以解出和，代回原式有：其中單元長度為：第三頁，共三十二頁，2022年，8月28日3其中為單元截面積，為單元材料楊氏模量。

需要指出，以上單元剛度是基于局部參考系得到的，由于不同的單元，其局部參考系的方位各不相同。因而，局部參考系中的單元節(jié)點(diǎn)位移向量的方向也各不相同，局部參考系中的剛度矩陣不具有可累加性。

這就要求我們將局部參考系下的單元剛度矩陣變換到整體參考系中。第四頁，共三十二頁，2022年，8月28日4二、坐標(biāo)變換矩陣局部參考系與整體參考系中單元節(jié)點(diǎn)位移向量的變換關(guān)系為：寫成矩陣形式為：簡記為：其中：第五頁，共三十二頁，2022年，8月28日5單元彈性應(yīng)變能在整體參考系中的表達(dá)式為：單元彈性應(yīng)變能在局部參考系中的表達(dá)式為：將：代入上式有：將該式與整體參考系中的單元彈性應(yīng)變能對比可知：第六頁，共三十二頁，2022年，8月28日6三、等效單元體力載荷向量桁架單元的等效體力載荷向量可以簡單地表示為：其中：為單元形心坐標(biāo)，可以由下式給出：第七頁，共三十二頁，2022年，8月28日7四、單元應(yīng)力計(jì)算第八頁，共三十二頁，2022年，8月28日8§6-2平面剛架（框架）結(jié)構(gòu)有限元分析一、平面剛架單元受力分析與變形分解

該單元可以承受和方向的力以及繞軸方向的力矩。

在整體參考系中單元節(jié)點(diǎn)位移向量為：

為方便研究，在單元上取一個局部參考系，以為原點(diǎn)，由點(diǎn)指向點(diǎn)為軸的正象。第九頁，共三十二頁，2022年，8月28日9

在局部參考系中單元所受載荷可以分解為：1）軸向拉壓，主要引起單元的軸向變形。2）橫向載荷及繞平面法向的彎矩，主要引起單元的彎曲。

為研究方便，我們在做剛架結(jié)構(gòu)有限元分析時，也將單元變形分解為軸向變形與彎曲變形兩部分，分別進(jìn)行研究。在小變形條件下，可以認(rèn)為單元的軸向變形與彎曲變形是相互獨(dú)立的并符合迭加原理。因此，我們可以分別計(jì)算兩種基本變形的剛度，在進(jìn)行迭加。剛架結(jié)構(gòu)的有限元分析在研究彎曲變形時采用了材料力學(xué)梁的基本假定，因此，有時也將剛架單元稱為梁單元。第十頁，共三十二頁，2022年，8月28日101）單元軸向變形剛度矩陣

與軸向變形相關(guān)的節(jié)點(diǎn)位移分量有和，假定在軸向載荷作用下單元內(nèi)單元內(nèi)任意點(diǎn)的位移為：與軸向變形對應(yīng)的剛度矩陣為：

二、平面剛架單元兩種基本變形的的剛度矩陣第十一頁，共三十二頁，2022年，8月28日112）單元彎曲變形剛度

與彎曲變形相關(guān)的節(jié)點(diǎn)位移分量有、、和。假定在軸向載荷作用下單元內(nèi)單元內(nèi)任意點(diǎn)的撓度為：中性層上的根據(jù)節(jié)點(diǎn)處的位移連續(xù)性條件有：解出，代回?fù)隙群瘮?shù)經(jīng)整理可得：在點(diǎn)：在點(diǎn)：小變性、中心平面、第十二頁，共三十二頁，2022年，8月28日12撓度函數(shù)為：其中：單元中性層外任意點(diǎn)沿局部參考系方向得位移可以表示為：第十三頁，共三十二頁，2022年，8月28日13單元中性層外任意點(diǎn)沿局部參考系方向得應(yīng)變可以表示為：其中：在局部參考系中單元剛度矩陣可以表示為其中：——繞軸截面彎曲慣性矩第十四頁，共三十二頁，2022年，8月28日14將軸向變形與彎曲變形的剛度迭加，可以得到平面剛架單元的剛度矩陣。第十五頁，共三十二頁，2022年，8月28日15§6-3空間剛架（框架）結(jié)構(gòu)有限元分析一、空間剛架單元受力分析與變形分解

該單元可以承受三個方向的力以及繞三個軸的力矩。

在整體參考系中單元節(jié)點(diǎn)位移向量為：

為方便研究，在單元上取一個局部參考系，以為原點(diǎn)，由點(diǎn)指向點(diǎn)為軸。以截面的兩個慣性主軸分別為局部參考系的軸和軸。第十六頁，共三十二頁，2022年，8月28日161)在軸向載荷的作用下，將產(chǎn)生軸向拉壓變形，與之相關(guān)的節(jié)點(diǎn)位移分量為：2)在繞軸向載荷（扭矩）的作用下，將產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形，與之相關(guān)的節(jié)點(diǎn)位移分量為：3)在向載荷及繞軸力矩的作用下，將產(chǎn)生平面內(nèi)的彎曲變形，與之相關(guān)的節(jié)點(diǎn)位移分量為：4)在向載荷及繞軸力矩的作用下，將產(chǎn)生平面內(nèi)的彎曲變形，與之相關(guān)的節(jié)點(diǎn)位移分量為：第十七頁，共三十二頁，2022年，8月28日17二、空間剛架單元四種基本變形的剛度矩陣1）單元軸向變形剛度矩陣

與軸向變形相關(guān)的節(jié)點(diǎn)位移分量有和，假定在軸向載荷作用下單元內(nèi)單元內(nèi)任意點(diǎn)的位移為：與軸向變形對應(yīng)的剛度矩陣為：

第十八頁，共三十二頁，2022年，8月28日182）繞單元軸向扭轉(zhuǎn)變形剛度矩陣

與扭轉(zhuǎn)變形相關(guān)的節(jié)點(diǎn)位移分量有和，假定在軸向載荷作用下單元內(nèi)單元內(nèi)任意點(diǎn)的扭轉(zhuǎn)角為：在單元中假定：在點(diǎn)：在點(diǎn)：解出和代回插值函數(shù)有：

對于圓形截面有：其幾何矩陣為：第十九頁，共三十二頁，2022年，8月28日19與軸向變形對應(yīng)的剛度矩陣為：

根據(jù)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可以得到則扭轉(zhuǎn)變形剛度矩陣為：令：——圓形截面的扭轉(zhuǎn)慣性矩。說明：對于非圓截面前面的應(yīng)變位移關(guān)系及扭轉(zhuǎn)慣性矩算式不成立，但剛度矩陣是普遍適用的，只是扭轉(zhuǎn)慣性矩需要用其它方法獲得，如：近似公式計(jì)算、實(shí)驗(yàn)等。第二十頁，共三十二頁，2022年，8月28日203）單元平面內(nèi)彎曲變形剛度矩陣

與彎曲變形相關(guān)的節(jié)點(diǎn)位移分量有、、和。假定在橫向載荷和彎矩作用下單元內(nèi)單元內(nèi)任意點(diǎn)的撓度為：根據(jù)節(jié)點(diǎn)處的位移連續(xù)性條件有：解出，代回?fù)隙群瘮?shù)經(jīng)整理可得：在點(diǎn)：在點(diǎn)：第二十一頁，共三十二頁，2022年，8月28日21撓度函數(shù)為：其中：單元中性層外任意點(diǎn)沿局部參考系方向得位移可以表示為：第二十二頁，共三十二頁，2022年，8月28日22單元中性層外任意點(diǎn)沿局部參考系方向得應(yīng)變可以表示為：其中：在局部參考系中單元剛度矩陣可以表示為其中：——繞軸截面慣性矩第二十三頁，共三十二頁，2022年，8月28日234）單元平面內(nèi)彎曲變形剛度矩陣

與彎曲變形相關(guān)的節(jié)點(diǎn)位移分量有、、和。假定在單元內(nèi)單元內(nèi)任意點(diǎn)的撓度為：根據(jù)節(jié)點(diǎn)處的位移連續(xù)性條件有：在點(diǎn)：在點(diǎn)：其中：——繞軸截面慣性矩對應(yīng)的單元剛度矩陣為：其他過程與平面內(nèi)的彎曲相同，不再第二十四頁，共三十二頁，2022年，8月28日24對稱空間剛架單元在局部參考系中的單元剛度矩陣為：第二十五頁，共三十二頁，2022年，8月28日25三、空間剛架單元剛度矩陣的變換關(guān)系整體參考系1）空間剛架單元的節(jié)點(diǎn)位移向量局部參考系2）空間剛架單元的節(jié)點(diǎn)位移向量的變換關(guān)系——坐標(biāo)變換矩陣，具體形式如下：第二十六頁，共三十二頁，2022年，8月28日26其中：——局部參考系軸關(guān)于整體參考系的方向余弦——局部參考系軸關(guān)于整體參考系的方向余弦——局部參考系軸關(guān)于整體參考系的方向余弦

因?yàn)榭臻g剛架單元的局部參考系有三個坐標(biāo)軸，根據(jù)單元的兩個節(jié)點(diǎn)只能確定其中一個坐標(biāo)軸的方向，為確定其它兩個坐標(biāo)軸的方向，還需要因入一個輔助量，可以是一個節(jié)點(diǎn)或一個參考方向。第二十七頁，共三十二頁，2022年，8月28日27四、空間剛架單元局部參考系確定方法（參考點(diǎn)法）

所謂參考點(diǎn)法，是在單元截面主軸平面內(nèi)找一個輔助點(diǎn)（稱參考點(diǎn)），用以幫助確定單元局部參考系。首先由點(diǎn)到點(diǎn)作一個向量

其中：取的方向?yàn)榫植繀⒖枷递S的方向，軸與整體參考系的三個方向余弦為：第二十八頁，共三十二頁，2022年，8月28日28再由點(diǎn)到點(diǎn)作一個向量

其中：顯然的方向垂直于和，以局部參考系軸的方向。由向量差乘規(guī)則可知：令：或?qū)懗尚辛惺叫问剑旱诙彭?，共三十二頁?022年，8月28日29這樣，局部參考系軸的三個方向余弦可以表示為：顯然的方向垂直于和，以局部參考系軸的方向。由向量差乘規(guī)則可知：令：或?qū)懗尚辛惺叫问剑旱谌?，共三十二頁?022年，8月28日3