《正弦定理》示范公開課教學(xué)課件【高中數(shù)學(xué)北師大】

第二章平面向量及其應(yīng)用正弦定理1．掌握正弦定理的推導(dǎo)過程．2．理解正弦定理在討論三角形邊角關(guān)系時的作用．3．能應(yīng)用正弦定理解斜三角形．正弦定理的證明及其基本運(yùn)用．正弦定理的探索和證明；知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數(shù)．如圖，固定△ABC的邊CB及∠B，使邊AC繞著頂點(diǎn)C轉(zhuǎn)動．∠C的大小與它的對邊AB的長度之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？cCBA

A

c顯然，邊AB的長度隨著其對角∠C的大小的增大而增大．能否用一個等式把這種關(guān)系精確地表示出來？探究直角三角形中，邊與角的等式關(guān)系．ACBcba第1步，如圖作Rt△ABC，∠C=90°，設(shè)BC=a，AC=b，AB=c．分步第2步，根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有

，，又．第3步，通過變形可得

．所以，在直角三角形中，邊角等式關(guān)系為

．能否把銳角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形來求證？試著探究銳角三角形中，邊與角的等式關(guān)系．第1步，作任意銳角△ABC中，過點(diǎn)A作CD⊥AB于點(diǎn)D，則構(gòu)造出兩個直角三角形；若三角形是鈍角三角形，等式仍然成立嗎？DA

cabCBDCA

Bcab那么對于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？第2步：由圖可得，在△ADB中，

，在△ADC中，

，所以

AD=csinB=bsinC，即

．第3步：同理作AC邊上的高，可以得出

．所以，在直角三角形中，邊角等式關(guān)系為

．分步第1步：如圖作任意鈍角△ABC，∠C為鈍角，過點(diǎn)B作AC的垂線，交AC的延長線于點(diǎn)D．第2步：由圖可得，在△ADB中，

，在△CDB中，

，所以

，即

．又，得，所以．第3步：同理作BC邊上的高，可以得出

．所以，在鈍角三角形中，邊角等式關(guān)系為

．綜上可得，在任意△ABC中，滿足

，這就是三角形中的正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等．你能用其他方法證明正弦定理嗎？在任意△ABC中，

，兩邊同除以

即得：

．正弦定理可以解哪些類型的三角形？已知兩條邊的邊長和其中一邊的對角的大小解三角形，它的解有幾種情況？第1步，作任意銳角∠A，控制角的一邊AC大小恒定，過點(diǎn)C作以a為半徑的圓，圓與∠A另一邊的交點(diǎn)即為點(diǎn)B，交點(diǎn)的個數(shù)即為解的個數(shù)．（1）已知兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；（2）已知兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角，進(jìn)而可求其它的邊和角．第2步：當(dāng)A為鈍角時，同理可得當(dāng)ab時，無解；當(dāng)ab時，一個解．

a

a

a

僅有一個解

ab

有兩個解

CH=bsinA<a<b

僅有一個解a=CH=bsinA

無解

a<CH=bsinA

b

H

AC

B

a

a

B1

B2b

A

C

Hb

A

C

H

b

A

C

H當(dāng)A為銳角時，

．當(dāng)A為鈍角時，

．綜上可得：前面的四個問題推導(dǎo)出了什么結(jié)果？（1）正弦定理的探索和證明；（2）正弦定理在解三角形中的作用；正弦定理的概括正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即運(yùn)用由特殊到一般的方法發(fā)現(xiàn)了正弦定理，這種思想方法經(jīng)常用于發(fā)現(xiàn)客觀規(guī)律．判斷正誤并說明理由？正弦定理的公式正弦定理的應(yīng)用．判斷依據(jù)正弦定理適用于任意三角形．根據(jù)正弦定理可知，sinAsinBsinC=abc，而不是∠A∠B∠C=abc．因為bsinA<a<b，故此三角形有兩個解．（1）正弦定理只適用于銳角三角形．

（2）在某一確定的三角形中，各邊與它所對的角的正弦的比值是一定值．（3）在△ABC

中，∠A∠B∠C=abc．（4）在△ABC中，已知A=30°，a=80，b=100，則此三角形有兩個解．根據(jù)正弦定理可知，當(dāng)三角形確定時，則各邊與其所對的角的正弦的比值是定值．某地出土一塊古代玉佩(如圖)，其一角已破損．現(xiàn)測得如下數(shù)據(jù)：BC=2.57

cm，CE=3.57cm，BD=4.38cm，B=45°，C=120°，為了復(fù)原，請計算原玉佩另兩邊的長．(精確到0.01cm)利用正弦定理，已知兩角和其中一邊，求另一角的對邊．解：將BD，CE

分別延長相交于點(diǎn)A(如圖)，在△ABC中，BC=2.57cm，

B=45°，C=120”，A=180°-(B+C)=180°-(45°+120°)=15°．由正弦定理，得

，所以

．

同理

．因此，原玉佩另兩邊的長分別約為7.02cm，8.60cm．利用圓心角和圓周角的關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)進(jìn)行證明

．求證:如圖（1），以Rt△ABC斜邊AB為直徑作外接圓，設(shè)這個外接圓的半徑為R，則

．對于鈍角三角形（2），銳角三角形（3），上述結(jié)論還成立嗎？

證明：在Rt△ABC中，C=90°，

．又

，且c=2R

．所以

．證明：如圖（2）、（3），O為△ABC的外接圓，結(jié)AO并延長交圓于B′，設(shè)AB′=2R．根據(jù)直徑所對的圓周角是直角以及同弧所對的圓周角相等可得∠ACB′=90°，∠B=∠B′，所以

，即；同理，可得

，．所以．這就是說，在任意一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比等于其外接圓的直徑．首先由正弦定理求出另一邊對角的正弦值，如果已知的角為大邊所對的角時，由三角形中大邊對大角，大角對大邊的法則能判斷另一邊所對的角為銳角，由正弦值可求銳角唯一；如果已知的角為小邊所對的角時，則不能判斷另一邊所對的角為銳角，這時由正弦值可求兩個角，要分類討論．臺風(fēng)中心位于某市正東方向300km處，正以40km/h的速度向西北方向移動，距離臺風(fēng)中心250km范圍內(nèi)將會受其影響．如果臺風(fēng)風(fēng)速不變,那么該市從何時起要遭受臺風(fēng)影響？這種影響持續(xù)多長時間？(精確到0.1h)

解：如圖，設(shè)臺風(fēng)風(fēng)中心從點(diǎn)

B向西北方向沿射線BD移動，該市位于點(diǎn)B正西方向300km處的點(diǎn)A．假設(shè)經(jīng)過th，臺風(fēng)中心到達(dá)點(diǎn)C．在△ABC中，AB=300km，

AC=250km

，

BC=401km

，B=45°．由正弦定理，得

．所以角C有兩個解（如圖）：

∠AC1B≈121.95°，∠AC2B≈58.05°，當(dāng)

時，

．從而

．同理，當(dāng)

時，，．

．．因此，約2h后將要遭受臺風(fēng)影響，持續(xù)約6.6h．故選A．A

解：

C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋45°)＝105°，因為

，所以．故選C．C

在△ABC中，a＝x，b＝2，

B=45°，若△ABC

有兩解,則x的取值范圍為().A.B.C.D.解：因為△ABC有兩解，所以,即．得．故選B．B

解：由正弦定理，可得

，即．故∠B＝30°或150°．

由a>b，得∠A>∠B，所以∠B＝30°，故∠C＝90°，由勾股定理得c＝2．

解：因為

，所以，

由

，可得C=60°或120

°．所以當(dāng)C=60°時，

B=90°，

．當(dāng)C=120°時，

B=30°，

．1.在正弦定理的發(fā)現(xiàn)及其證明中，蘊(yùn)涵了豐富的思想方法，既有由特殊到一般的歸納思想，又有嚴(yán)格的演繹推理.在定理證明中我們從直觀幾何角度探求了數(shù)學(xué)工具的多樣性；2.正弦定理反映了邊與其對角正弦成正比的規(guī)律，據(jù)此，可以用角的正弦替代對邊，具有美學(xué)價值；3.利用正弦定理解決三類三角形問題：（1）已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角．（2）已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角，進(jìn)而求出其他的邊和角．（3）實現(xiàn)邊與角的正弦的互化．相關(guān)公式正弦定