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《正弦定理和余弦定理》備考策略關鍵詞:正弦定理,余弦定理,備考策略難度:3重要程度:5考點一利用正弦、余弦定理解三角形【例1】(1)在銳角△ABC中,角A,B所對的邊長分別為a,b.若2asinB=eq\r(3)b,則角A等于().\f(π,3)\f(π,4)\f(π,6)\f(π,12)(2)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若a=1,c=4eq\r(2),B=45°,則sinC=______.解析(1)在△ABC中,由正弦定理及已知得2sinA·sinB=eq\r(3)sinB,∵B為△ABC的內(nèi)角,∴sinB≠0.∴sinA=eq\f(\r(3),2).又∵△ABC為銳角三角形,∴A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2))),∴A=eq\f(π,3).(2)由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB=1+32-8eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)=25,即b=5.所以sinC=eq\f(c·sinB,b)=eq\f(4\r(2)×\f(\r(2),2),5)=eq\f(4,5).答案(1)A(2)eq\f(4,5)【備考策略】已知兩角和一邊,該三角形是確定的,其解是唯一的;已知兩邊和一邊的對角,該三角形具有不唯一性,通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對大角定理進行判斷.考點二判斷三角形的形狀【例2】在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對邊,且2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC(1)求角A的大??;(2)若sinB+sinC=eq\r(3),試判斷△ABC的形狀.解(1)由2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC得2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,即bc=b2+c2-a∴cosA=eq\f(b2+c2-a2,2bc)=eq\f(1,2),∴A=60°.(2)∵A+B+C=180°,∴B+C=180°-60°=120°.由sinB+sinC=eq\r(3),得sinB+sin(120°-B)=eq\r(3),∴sinB+sin120°cosB-cos120°sinB=eq\r(3).∴eq\f(3,2)sinB+eq\f(\r(3),2)cosB=eq\r(3),即sin(B+30°)=1.∵0°<B<120°,∴30°<B+30°<150°.∴B+30°=90°,B=60°.∴A=B=C=60°,△ABC為等邊三角形.【備考策略】解決判斷三角形的形狀問題,一般將條件化為只含角的三角函數(shù)的關系式,然后利用三角恒等變換得出內(nèi)角之間的關系式;或將條件化為只含有邊的關系式,然后利用常見的化簡變形得出三邊的關系.另外,在變形過程中要注意A,B,C的范圍對三角函數(shù)值的影響.考點三與三角形面積有關的問題【例3】△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a=bcosC+csinB.(1)求B;(2)若b=2,求△ABC面積的最大值.審題路線(1)a=bcosC+csinBeq\o(→,\s\up17(正弦定理),\s\do15(邊化角))sinA=…?sin(B+C)=…?求出角B.(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S=\f(1,2)acsinB,,b2=a2+c2-2accosB))?得出a2與c2的關系式?利用基本不等式求ac的最大值即可.解(1)由已知及正弦定理,得sinA=sinBcosC+sinCsinB.①又A=π-(B+C),故sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC.②由①,②和C∈(0,π)得sinB=cosB.又B∈(0,π),所以B=eq\f(π,4).(2)△ABC的面積S=eq\f(1,2)acsinB=eq\f(\r(2),4)ac.由已知及余弦定理,得4=a2+c2-2accoseq\f(π,4).又a2+c2≥2ac,故ac≤eq\f(4,2-\r(2)),當且僅當a=c時,等號成立.因此△ABC面積的最大值為eq\r(2)+1.【備考策略】在解決三角
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