微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)經(jīng)典需求理論(下)

第3章經(jīng)典需求理論（下）1/14/20231目錄五、需求、間接效用及支出函數(shù)的關(guān)系六、可積性七、經(jīng)濟(jì)變化的福利評(píng)價(jià)八、顯示偏好強(qiáng)公理1/14/20232需求、間接效用及支出函數(shù)的關(guān)系本部分分析三種關(guān)系：?？怂剐枨蠛瘮?shù)與支出函數(shù)之間的關(guān)系；?？怂剐枨蠛瘮?shù)與瓦爾拉斯需求函數(shù)之間的關(guān)系；以及瓦爾拉斯需求函數(shù)與間接效用函數(shù)之間的關(guān)系。1/14/20233需求、間接效用及支出函數(shù)的關(guān)系（續(xù)）有關(guān)假定：第一，u(·)是一個(gè)連續(xù)效用函數(shù)，它代表了定義在消費(fèi)集X=RL+上的局部非飽和的偏好關(guān)系≥。第二，≥是嚴(yán)格凸的，從而瓦爾拉斯需求與希克斯需求，即x(p,w)和h(p,u)都是單值的。在上述假定前提下，我們把注意力集中在p?0的情況。1/14/20234希克斯需求函數(shù)與支出函數(shù)命題3.G.1

假定u(·)是一個(gè)連續(xù)效用函數(shù)，它代表了定義在消費(fèi)集X=RL+上的局部非飽和的和嚴(yán)格凸的偏好關(guān)系≥，則對(duì)于所有的p和u，?？怂剐枨骽(p,u)是支出函數(shù)對(duì)價(jià)格的導(dǎo)數(shù)的向量，即h(p,u)=▽pe(p,u)(3.G.1)也就是說，對(duì)于所有l(wèi)=1,…,L，均有hl(p,u)=?e(p,u)/?pl。1/14/20235?？怂剐枨蠛瘮?shù)與支出函數(shù)（續(xù)）因此，給定一個(gè)支出函數(shù)，只需通過微分便可得到消費(fèi)者的希克斯需求函數(shù)。注意，證明中的文字表明，教材上3.G.1式中，▽錯(cuò)寫成?了。命題3.G.1表明，如果我們處于支出最小化問題中的最優(yōu)點(diǎn)上，則價(jià)格變化引起的需求變化對(duì)消費(fèi)者的支出沒有一階影響。1/14/20236?？怂剐枨蠛瘮?shù)與支出函數(shù)（續(xù)二）命題3.G.2

假定u(·)是一個(gè)連續(xù)效用函數(shù)，它代表了定義在消費(fèi)集X=RL+上的局部非飽和的和嚴(yán)格凸的偏好關(guān)系≥；另外，還假定h(·,u)在(p,u)上是連續(xù)可微的，并用Dph(p,u)表示它的L×L矩陣。則有：1.Dph(p,u)=D2pe(p,u)2.Dph(p,u)是半負(fù)定矩陣。3.Dph(p,u)是對(duì)稱矩陣。4.Dph(p,u)p=0。1/14/20237?？怂剐枨蠛瘮?shù)與支出函數(shù)（續(xù)二）命題3.G.2歸納了命題3.G.1所蘊(yùn)涵的有關(guān)?？怂剐枨蠛瘮?shù)的價(jià)格導(dǎo)數(shù)Dph(p,u)的幾個(gè)性質(zhì)（前三項(xiàng)），以及有關(guān)這些導(dǎo)數(shù)的另外一個(gè)事實(shí)（最后一項(xiàng)）。1/14/20238?？怂剐枨蠛瘮?shù)與支出函數(shù)（續(xù)三）Dph(p,u)的半負(fù)定性是補(bǔ)償需求法則即3.E.5式（(p"-p')·[h(p",u)-h(p',u)]≤0）的微分模擬。3.E.5式的微分形式是dp·dh(p,u)≤0。由于dh(p,u)=Dph(p,u)dp，通過代換得：對(duì)于所有dp，dp·Dph(p,u)dp≤0。因此，Dph(p,u)是半負(fù)定的。半負(fù)定意味著對(duì)所有l(wèi)，?hl(p,u)/?pl≤0。也就是說，補(bǔ)償?shù)淖詢r(jià)格效應(yīng)是非正的。1/14/20239?？怂剐枨蠛瘮?shù)與支出函數(shù)（續(xù)四）Dph(p,u)的對(duì)稱性意味著，任何兩種商品l和k之間的補(bǔ)償價(jià)格交叉導(dǎo)數(shù)必須滿足?hl(p,u)/?pk=?hk(p,u)/?pl。對(duì)稱性很難從直接的經(jīng)濟(jì)含義上加以解釋。1/14/202310?？怂剐枨蠛瘮?shù)與支出函數(shù)（續(xù)五）如果?hl(p,u)/?pk≥0，兩種商品l和k在(p,u)上就被定義為替代品，因?yàn)閜k的變化導(dǎo)致了hl非反方向的變化；如果?hl(p,u)/?pk≤0，兩種商品l和k在(p,u)上就被定義為互補(bǔ)品，因?yàn)閜k的變化導(dǎo)致了hl非正方向的變化。我的疑問：如果?hl(p,u)/?pk=0，這兩種商品l和k在(p,u)上到底是什么品？1/14/202311希克斯需求函數(shù)與支出函數(shù)（續(xù)六）半負(fù)定意味著?hl(p,u)/?pl≤0，最后一項(xiàng)性質(zhì)又意味著Dph(p,u)p=0，因此，必有一種商品k使得?hl(p,u)/?pk≥0。換句話說，每種商品至少有一種替代品。1/14/202312?？怂剐枨蠛瘮?shù)與瓦爾拉斯需求函數(shù)命題3.G.3

（斯拉茨基方程）假定u(·)是一個(gè)連續(xù)效用函數(shù)，它代表了定義在消費(fèi)集X=RL+上的局部非飽和的和嚴(yán)格凸的偏好關(guān)系≥；則對(duì)于所有(p,w)和u=v(p,w)，有：1/14/202313?？怂剐枨蠛瘮?shù)與瓦爾拉斯需求函數(shù)（續(xù)）任給l,k，

(3.G.3)或者，等價(jià)地寫成矩陣形式：Dph(p,u)=Dpx(p,w)+Dwx(p,w)x(p,w)T(3.G.4)1/14/202314希克斯需求函數(shù)與瓦爾拉斯需求函數(shù)（續(xù)二）根據(jù)教材4頁“數(shù)學(xué)符號(hào)”部分的說明，教材中與矩陣符號(hào)有關(guān)的規(guī)則是：數(shù)學(xué)上的向量總是被處理為列向量，盡管在書寫中它們總是被寫成行的形式以節(jié)省篇幅。（列）向量x的轉(zhuǎn)置被記為xT。1/14/202315圖3.G.1(a)商品l的瓦爾拉斯與希克斯需求函數(shù)（正常品）

1/14/202316?？怂剐枨蠛瘮?shù)與瓦爾拉斯需求函數(shù)（續(xù)三）圖3.G.1(a)中，描繪了當(dāng)其它商品價(jià)格固定為時(shí)，作為pl函數(shù)的商品l的瓦爾拉斯與?？怂剐枨笄€。

其中，是一個(gè)向量，代表除l之外所有商品的價(jià)格。因而價(jià)格向量可以寫成p=(pl,)。1/14/202317希克斯需求函數(shù)與瓦爾拉斯需求函數(shù)（續(xù)四）圖中給出了瓦爾拉斯需求函數(shù)x(p,)與效用水平設(shè)定為的?？怂剐枨蠛瘮?shù)h(p,)。當(dāng)pl=時(shí)，這兩個(gè)需求函數(shù)相等。斯拉茨基方程描述了這兩個(gè)函數(shù)在價(jià)格處斜率絕對(duì)值之間的關(guān)系。1/14/202318希克斯需求函數(shù)與瓦爾拉斯需求函數(shù)（續(xù)五）在圖3.G.1(a)中，瓦爾拉斯需求函數(shù)在價(jià)格處的斜率絕對(duì)值要比希克斯需求函數(shù)小一些，這表明商品l在處為正常品。當(dāng)pl上升到之上時(shí)，為使消費(fèi)者保持原有的效用水平，就需要增加其財(cái)富。如果沒有財(cái)富補(bǔ)償，正常品l的需求會(huì)有更大幅度的下降。1/14/202319?？怂剐枨蠛瘮?shù)與瓦爾拉斯需求函數(shù)（續(xù)六）如果商品l在處為低檔品，則如教材100頁圖3.G.1(b)所示，情況正好相反，瓦爾拉斯需求函數(shù)在價(jià)格處的斜率絕對(duì)值要比希克斯需求函數(shù)大一些。1/14/202320希克斯需求函數(shù)與瓦爾拉斯需求函數(shù)（續(xù)七）命題3.G.3意味著?？怂剐枨蠛瘮?shù)的價(jià)格導(dǎo)數(shù)矩陣Dph(p,u)等于矩陣1/14/202321?？怂剐枨蠛瘮?shù)與瓦爾拉斯需求函數(shù)（續(xù)八）其中。該矩陣S(p,w)被稱為斯拉茨基替代矩陣。1/14/202322?？怂剐枨蠛瘮?shù)與瓦爾拉斯需求函數(shù)（續(xù)九）由于S(p,w)=Dph(p,u)，因而當(dāng)需求是從偏好最大化（無論是支出最小化問題還是效用最大化問題）導(dǎo)出時(shí)，命題3.G.2意味著替代矩陣S(p,w)必定具有以下三個(gè)性質(zhì)：它必然是半負(fù)定的、對(duì)稱的、并滿足S(p,w)p=0。以下，通過圖3.G.2，對(duì)斯拉茨基財(cái)富補(bǔ)償和?？怂关?cái)富補(bǔ)償進(jìn)行比較。1/14/202323圖3.G.2斯拉茨基財(cái)富補(bǔ)償和?？怂关?cái)富補(bǔ)償

1/14/202324希克斯需求函數(shù)與瓦爾拉斯需求函數(shù)（續(xù)十）假定有效用函數(shù)u(·)，其初始狀態(tài)位于圖3.G.2中無差異曲線u(x)=u上的x(p,w)點(diǎn)。將此位置給定，寫作：。當(dāng)價(jià)格從p變動(dòng)到p'時(shí)（在圖3.G.2中，這表現(xiàn)為預(yù)算集從Bp,w變?yōu)樘摼€表示的Bp',w

）px2保持不變，px1上升，名義財(cái)富雖然沒有變化，但消費(fèi)者的購買力即實(shí)際財(cái)富下降了。1/14/202325希克斯需求函數(shù)與瓦爾拉斯需求函數(shù)（續(xù)十一）我們希望通過變化財(cái)富對(duì)價(jià)格變化引起的財(cái)富效應(yīng)進(jìn)行補(bǔ)償。理論上，財(cái)富補(bǔ)償有兩種方式。方式一（斯拉茨基財(cái)富補(bǔ)償）：財(cái)富變化量為?WSlutscky=p'·-，從而使消費(fèi)者在價(jià)格變化后仍然能支付得起他原先的消費(fèi)束。1/14/202326希克斯需求函數(shù)與瓦爾拉斯需求函數(shù)（續(xù)十二）方式二（?？怂关?cái)富補(bǔ)償）：財(cái)富變化量?WHicks=e(p',)-，從而使消費(fèi)者在價(jià)格變化后仍然能保持其效用水平不變。1/14/202327希克斯需求函數(shù)與瓦爾拉斯需求函數(shù)（續(xù)十三）如圖3.G.2所示，財(cái)富變化量?WHicks≤?WSlutscky。但由于（命題3.G.1及3.E.4式），因而對(duì)從開始的微分價(jià)格變化而言，這兩種補(bǔ)償是恒等的，兩種補(bǔ)償機(jī)制中得出的補(bǔ)償需求的導(dǎo)數(shù)是相同的。1/14/202328?？怂剐枨蠛瘮?shù)與瓦爾拉斯需求函數(shù)（續(xù)十四）雖然同樣是價(jià)格導(dǎo)數(shù)矩陣Dph(p,u)等于替代矩陣S(p,w)，但命題3.G.2表明，基于偏好法的消費(fèi)者需求理論意味著S(p,w)必然是半負(fù)定的、對(duì)稱的、并滿足S(p,w)p=0；1/14/202329?？怂剐枨蠛瘮?shù)與瓦爾拉斯需求函數(shù)（續(xù)十五）而第二章中的命題2.F.2、命題2.F.3及最后結(jié)論則表明，滿足顯示偏好弱公理、零次齊次性及瓦爾拉斯定律的選擇法，僅意味著S(p,w)是半負(fù)定的并滿足S(p,w)p=0，但除了當(dāng)L=2時(shí)外，S(p,w)未必是對(duì)稱的。就對(duì)需求所施加的限制而論，偏好法要強(qiáng)于以顯示偏好弱公理為基礎(chǔ)的選擇法。1/14/202330瓦爾拉斯需求函數(shù)與間接效用函數(shù)支出最小化問題中的最小化向量h(p,u)，是支出最小化問題中價(jià)值函數(shù)e(p,u)對(duì)p的導(dǎo)數(shù)。但在效用最大化問題中，類似的結(jié)論并不成立。因?yàn)閺男驍?shù)概念的角度來講，瓦爾拉斯需求并不等于間接效用函數(shù)的價(jià)格導(dǎo)數(shù)。1/14/202331瓦爾拉斯需求函數(shù)與間接效用函數(shù)（續(xù)）但只要通過一個(gè)小修正，即用財(cái)富的邊際效用將v(p,w)對(duì)價(jià)格的導(dǎo)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化，該結(jié)論就是成立的。就象在中級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)里，按照序數(shù)效用論，效用是不可度量的；但兩個(gè)不可度量的效用之比——邊際替代率——卻是可以度量的。1/14/202332瓦爾拉斯需求函數(shù)與間接效用函數(shù)（續(xù)二）命題3.G.4

羅伊恒等式。假定u(·)是一個(gè)連續(xù)效用函數(shù)，它代表了定義在消費(fèi)集X=RL+上的局部非飽和的和嚴(yán)格凸的偏好關(guān)系≥，并且假定間接效用函數(shù)在?0上是可微的。則1/14/202333瓦爾拉斯需求函數(shù)與間接效用函數(shù)（續(xù)三）也就是說，對(duì)于每個(gè)l=1,…,L：命題3.G.4表明，通過間接效用函數(shù)計(jì)算瓦爾拉斯需求x(p,w)，只涉及導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，而無需解一階條件方程組。因此，用間接效用的形式表達(dá)偏好，通常更為方便，比通過直接效用來計(jì)算容易得多。

1/14/202334圖3.G.3UMP與EMP之間的關(guān)系

1/14/202335瓦爾拉斯需求函數(shù)與間接效用函數(shù)（續(xù)四）圖3.G.3中，帶實(shí)線的箭頭是教材3.D、3.E兩節(jié)（即PPT三、四兩部分）討論過的結(jié)果。

從效用最大化問題與支出最小化問題中給定的效用函數(shù)出發(fā)，我們可以推導(dǎo)出最優(yōu)消費(fèi)束x(p,w)和h(p,u)，以及價(jià)值函數(shù)v(p,w)（通過財(cái)富的邊際效用將其標(biāo)準(zhǔn)化，可以找出其相對(duì)值）和e(p,u)。1/14/202336瓦爾拉斯需求函數(shù)與間接效用函數(shù)（續(xù)五）而且，利用3.E.1式和3.E.4式，可以在這兩個(gè)問題的價(jià)值函數(shù)和需求函數(shù)之間來回推導(dǎo)。帶虛線的箭頭是教材3.G節(jié)（即PPT五部分）的內(nèi)容。兩個(gè)問題的需求向量均可以從它們各自的價(jià)值函數(shù)中計(jì)算出來。而且?？怂剐枨蠛瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)可以利用斯拉茨基方程從可觀測(cè)的瓦爾拉斯需求函數(shù)中計(jì)算出來。1/14/202337可積性如果一個(gè)連續(xù)可微的需求函數(shù)x(p,w)是由理性偏好導(dǎo)出的，則我們知道它必然是零次齊次和滿足瓦爾拉斯定律的，且有替代矩陣S(p,w)，該替代矩陣在所有(p,w)上都是對(duì)稱的和半負(fù)定的。1/14/202338可積性（續(xù)）反過來，如果我們觀察到一個(gè)需求函數(shù)x(p,w)是零次齊次的、滿足瓦爾拉斯定律、替代矩陣對(duì)稱且半負(fù)定，我們能否找到一個(gè)與之對(duì)應(yīng)的、具有理性偏好的x(·)？這個(gè)問題被稱為可積性問題。1/14/202339可積性（續(xù)二）這個(gè)問題及回答之所以重要，是因?yàn)槿绻卮鹗强隙ǖ?，那就意味著理論上，首先，它意味著零次齊次性、滿足瓦爾拉斯定律、替代矩陣對(duì)稱且半負(fù)定等性質(zhì)，不僅是偏好法需求理論的必然結(jié)果，而且是它的全部結(jié)果。只要需求函數(shù)滿足這些性質(zhì)，就存在著某一個(gè)可以導(dǎo)出該需求函數(shù)的理性偏好。1/14/202340可積性（續(xù)三）其次，它還意味著，選擇法需求理論與基于理性偏好假設(shè)的偏好法需求理論之間惟一的差距，就是前者并非總具有替代矩陣對(duì)稱的性質(zhì)。1/14/202341可積性（續(xù)四）實(shí)踐中，如果不需要具體效用函數(shù)形式，則上述回答使我們可以只對(duì)可處理的需求函數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)，看它是否滿足效用函數(shù)存在的充要條件，從而判斷效用函數(shù)是否存在。根據(jù)需求函數(shù)x(p,w)逆推理性偏好≥的通常順序是，先從需求函數(shù)逆推到支出函數(shù)，再從支出函數(shù)逆推到偏好。1/14/202342實(shí)證經(jīng)濟(jì)學(xué)與規(guī)范經(jīng)濟(jì)學(xué)通俗地說，實(shí)證經(jīng)濟(jì)學(xué)涉及的是“是什么”的問題，規(guī)范經(jīng)濟(jì)學(xué)涉及的是“應(yīng)該是什么”的問題。福利分析中，確實(shí)涉及比較多的規(guī)范經(jīng)濟(jì)學(xué)問題，但并不等于說福利分析只涉及規(guī)范問題，往往是實(shí)證分析背后隱含有規(guī)范。1/14/202343經(jīng)濟(jì)變化的福利評(píng)價(jià)本節(jié)有關(guān)假定：第一，存在著理性的、連續(xù)的、局部非飽和的偏好關(guān)系≥，且該關(guān)系研究者已經(jīng)知道；第二，消費(fèi)者的支出函數(shù)和間接效用函數(shù)是可微的；第三，消費(fèi)者有固定的財(cái)富水平w＞0，且初始的價(jià)格向量為p0。1/14/202344經(jīng)濟(jì)變化的福利評(píng)價(jià)（續(xù)）在此著重研究的是價(jià)格變化（例如從p0變化到p1）的福利效應(yīng)。由于研究者已經(jīng)知道消費(fèi)者的偏好關(guān)系≥，因此，如果v(p,w)是任意一個(gè)從偏好關(guān)系≥中導(dǎo)出的間接效用函數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)v(p1,w)–v(p0,w)＜0時(shí)，消費(fèi)者福利變差。1/14/202345貨幣度量的間接效用函數(shù)貨幣度量的間接效用函數(shù)是用支出函數(shù)構(gòu)建的、與以貨幣單位度量的福利變化相聯(lián)系的一類特別的間接效用函數(shù)。構(gòu)建從任一間接效用函數(shù)v(·,·)開始，選擇任意的價(jià)格向量?0，并考慮函數(shù)e(,v(p,w))。這一函數(shù)給出了當(dāng)價(jià)格為時(shí)達(dá)到效用水平v(p,w)所需要的財(cái)富。

1/14/202346貨幣度量的間接效用函數(shù)（續(xù)）但同時(shí)，在價(jià)格水平給定的條件下，該支出函數(shù)又是效用水平v(p,w)的嚴(yán)格遞增函數(shù)，即消費(fèi)者想獲得更高的效用水平，他就必須支出更多的貨幣。因此，如果把e(,v(p,w))視為(p,w)的函數(shù)，則它本身就是一個(gè)代表偏好關(guān)系≥的間接效用函數(shù)，且e(,v(p1,w))-e(,v(p0,w))給出了用貨幣表示的福利變化的度量。1/14/202347貨幣度量的間接效用函數(shù)（續(xù)二）上述函數(shù)中，可以代表任何價(jià)格向量。其中兩個(gè)特別自然的選擇是初始價(jià)格向量p0與變化后的向量p1。把換成p0或p1，可以導(dǎo)出兩種對(duì)福利變化的度量，即等價(jià)變化(EV)與補(bǔ)償變化(CV)。1/14/202348經(jīng)濟(jì)變化的福利評(píng)價(jià)（續(xù)二）令u0=v(p0,w)，u1=v(p1,w)，并注意到e(p0,u0)=e(p1,u1)=w，（這意味著在衡量伴隨著價(jià)格變化的財(cái)富補(bǔ)償時(shí)，我們有兩個(gè)參照物）定義：EV(p0,p1,w)=e(p0,u1)-e(p0,u0)=e(p0,u1)-w(3.I.1)以及CV(p0,p1,w)=e(p1,u1)-e(p1,u0)=w-e(p1,u0)(3.I.2)1/14/202349圖3.I.2(a)度量福利變化（等價(jià)變化）

1/14/202350經(jīng)濟(jì)變化的福利評(píng)價(jià)（續(xù)三）我們用圖3.I.2來對(duì)上述兩式加以說明。圖3.I.2(a)(b)兩圖的共同點(diǎn)，首先是商品2的價(jià)格沒有變，商品1的價(jià)格下降了；其次是圖中的x(p0,w)和x(p1,w)，其對(duì)應(yīng)的效用函數(shù)分別為u0=v(p0,w)和u1=v(p1,w)。1/14/202351經(jīng)濟(jì)變化的福利評(píng)價(jià)（續(xù)四）先看3.I.1式。當(dāng)消費(fèi)束從x(p0,w)變?yōu)閤(p1,w)，效用水平相應(yīng)從u0變?yōu)閡1時(shí)，為了按照希克斯的標(biāo)準(zhǔn)找到支出e(p0,u1)的特定x*，（等價(jià)變化與補(bǔ)償變化是希克斯提出的）就需要找出與新無差異曲線u1相切、同時(shí)又代表原有價(jià)格向量p0的預(yù)算線，即圖3.I.2(a)中的虛線。虛線上的切點(diǎn)x*就代表e(p0,u1)。1/14/202352經(jīng)濟(jì)變化的福利評(píng)價(jià)（續(xù)五）顯然，在該圖中，e(p0,u1)大于w。為了使消費(fèi)者覺得x*與x(p1,w)無差異，消費(fèi)者的財(cái)富就必須相應(yīng)增加。增加部分EV(p0,p1,w)在圖中就體現(xiàn)在縱軸上（也可以體現(xiàn)在橫軸上）。1/14/202353經(jīng)濟(jì)變化的福利評(píng)價(jià)（續(xù)六）換句話說，就是x*=x(p0,w+EV)與x(p1,w)是無差異的。把這兩個(gè)點(diǎn)與x(p0,w)作比較，一個(gè)點(diǎn)價(jià)格沒變，貨幣（名義）財(cái)富增加了；另一個(gè)點(diǎn)貨幣財(cái)富沒變，價(jià)格下降了。換句話說，就對(duì)福利的影響而言，前一個(gè)點(diǎn)上的財(cái)富變化與后一個(gè)點(diǎn)上的價(jià)格變化是等價(jià)的。1/14/202354圖3.I.2(b)度量福利變化（補(bǔ)償變化）

1/14/202355經(jīng)濟(jì)變化的福利評(píng)價(jià)（續(xù)七）再看3.I.2式。當(dāng)消費(fèi)束從x(p0,w)變?yōu)閤(p1,w)，效用水平相應(yīng)從u0變?yōu)閡1時(shí)，為了按照希克斯的標(biāo)準(zhǔn)找到支出e(p1,u0)的特定x*，就需要找到與原有無差異曲線u0相切、同時(shí)又代表新價(jià)格向量p1的預(yù)算線，即圖3.I.2(b)中的虛線。虛線上的切點(diǎn)x*就代表e(p1,u0)。1/14/202356經(jīng)濟(jì)變化的福利評(píng)價(jià)（續(xù)八）顯然，與代表e(p1,u1)=w的x(p1,w)相比，e(p0,u1)小于w。為了使消費(fèi)者覺得x*與x(p0,w)無差異，消費(fèi)者的財(cái)富就必須相應(yīng)減少。減少部分CV(p0,p1,w)在圖中就體現(xiàn)在縱軸上（也可以體現(xiàn)在橫軸上）。1/14/202357經(jīng)濟(jì)變化的福利評(píng)價(jià)（續(xù)九）換句話說，就是x*=x(p1,w-CV)與x(p0,w)是無差異的。把這兩個(gè)點(diǎn)與x(p1,w)作比較，一個(gè)點(diǎn)價(jià)格沒變，貨幣（名義）財(cái)富減少了；另一個(gè)點(diǎn)貨幣財(cái)富沒變，價(jià)格上升了。教材上115頁有關(guān)內(nèi)容的說明不清楚。該段最后一句中的等式是v(p1,w-CV)=u。這明明是說消費(fèi)者的財(cái)富減少了，但文字表達(dá)中卻看不出來。1/14/202358?？怂沟葍r(jià)剩余與補(bǔ)償剩余為簡(jiǎn)單起見，假定只有商品1的價(jià)格發(fā)生變化，因而p10≠p11。同時(shí)對(duì)任何l≠1，有pl0=pl1=。因?yàn)閣=e(p0,u0)=e(p1,u1)，hl(p,u)=?e(p,u)/?pl，因而等價(jià)變化可寫成EV(p0,p1,w)=e(p0,u1)-w=e(p0,u1)-e(p1,u1)=(3.I.3)式中，。1/14/202359圖3.I.3(a)需求曲線（?？怂沟葍r(jià)變化）

1/14/202360等價(jià)剩余與補(bǔ)償剩余（續(xù)）在商品1的需求曲線圖上（圖3.I.3），用等價(jià)變化度量的消費(fèi)者福利變化可以用夾在p10與p11之間、且位于效用水平為u1時(shí)的?？怂剐枨笄€左面的面積來表示，即圖3.I.3(a)中的陰影部分。類似地，補(bǔ)償變化可寫成CV(p0,p1,w)=(3.I.4)1/14/202361圖3.I.3(b)需求曲線（?？怂寡a(bǔ)償變化）

1/14/202362等價(jià)剩余與補(bǔ)償剩余（續(xù)二）在商品1的需求曲線圖上，用補(bǔ)償變化度量的消費(fèi)者福利變化可以用夾在p10與p11之間、且位于效用水平為u0時(shí)的?？怂剐枨笄€左面的面積來表示，即圖3.I.3(b)中的陰影部分。1/14/202363等價(jià)剩余與補(bǔ)償剩余（續(xù)三）對(duì)于圖3.I.3，需要做兩點(diǎn)說明。第一，該圖描述的是商品1為正常品時(shí)的情況。此時(shí)等價(jià)變化EV(p0,p1,w)＞補(bǔ)償變化CV(p0,p1,w)。如果商品1是低檔品，情況正好相反。第二，如果對(duì)商品1來說，財(cái)富效應(yīng)不存在，則EV和CV兩種度量是相同的，因?yàn)閷⒂?/14/202364等價(jià)剩余與補(bǔ)償剩余（續(xù)四）h1(p1,,u0)=x1(p1,,w)=h1(p1,,u1)用x1(p1,,w)度量的消費(fèi)者福利變化稱為馬歇爾消費(fèi)者剩余變化，它等于夾在p10與p11之間、且位于商品1的市場(chǎng)（即瓦爾拉斯）需求曲線左面的面積。財(cái)富效應(yīng)不存在時(shí)，它是EV和CV的共同值。1/14/202365等價(jià)剩余與補(bǔ)償剩余（續(xù)五）消費(fèi)者剩余是指消費(fèi)者愿意支付的價(jià)格高于消費(fèi)者實(shí)際支付的價(jià)格的部分。在商品1的需求曲線圖上（圖3.I.3），如果市場(chǎng)價(jià)格是p11，則夾在p10與p11之間、且位于商品1的市場(chǎng)（即瓦爾拉斯）需求曲線左面的部分，是按照馬歇爾的標(biāo)準(zhǔn)得出的消費(fèi)者剩余的一部分。1/14/202366部分信息時(shí)的福利分析具體來說，如果只知道兩個(gè)價(jià)格向量p0，p1，以及初始消費(fèi)束x(p0,w)，應(yīng)該如何推斷價(jià)格變化對(duì)福利的影響？命題3.I.1

假定消費(fèi)者具有局部非飽和的理性偏好關(guān)系≥。若(p1-p0)·x0＜0，則消費(fèi)者在價(jià)格-財(cái)富狀況(p1,w)下的境況嚴(yán)格好于在(p0,w)下的境況。1/14/202367部分信息時(shí)的福利分析（續(xù)）命題3.I.1中的檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)可以被看成是真正的福利變化的一階近似。為看清這一點(diǎn)，取e(p,u)在初始價(jià)格p0上的一階泰勒展開式e(p1,u0)=e(p0,u0)+

(p1-p0)·▽pe(p0,u0)+σ(║p1-p0║)(3.I.7)若(p1-p0)·▽pe(p0,u0)＜0，且二階余項(xiàng)可忽略不計(jì)，則有e(p1,u0)＜e(p0,u0)=w。1/14/202368部分信息時(shí)的福利分析（續(xù)二）因此可以斷言，價(jià)格變化后，消費(fèi)者的福利增加了。e(·,u0)在p上的凹性意味著余項(xiàng)是非正的，因此這里忽略余項(xiàng)不會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)論。利用命題3.G.1（即h(p,u)=▽pe(p,u)），可知，(p1-p0)·▽pe(p0,u0)=(p1-p0)·h(p0,u0)=(p1-p0)·x0。因此，可以從(p1-p0)·▽pe(p0,u0)＜0推出(p1-p0)·x0＜0，即推出命題3.I.1中的檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)。1/14/202369部分信息時(shí)的福利分析（續(xù)三）如果(p1-p0)·x0＞0，但價(jià)格變化足夠小，則有命題3.I.2。命題3.I.2假定消費(fèi)者有一個(gè)可微的支出函數(shù)，那么，若(p1-p0)·x0＞0，則有一個(gè)足夠小的∈(0,1)，使得對(duì)于所有的a＜，有e((1-a)p0+ap1,u0)＞w，從而消費(fèi)者在價(jià)格-財(cái)富狀況(p0,w)下的境況嚴(yán)格好于在((1-a)p0+ap1,w)下的境況。

1/14/202370福利的近似度量希克斯需求曲線以效用為自變量，而效用是不可直接觀測(cè)的。瓦爾拉斯（市場(chǎng)）需求曲線所有的自變量都是可以直接觀測(cè)的，借助該曲線來度量福利是一種簡(jiǎn)單（因而常用）的方法。該方法被稱為面積變化度量指標(biāo)。AV(p0,p1,w)=(3.I.8)1/14/202371福利的近似度量（續(xù)）使用面積變化度量指標(biāo)，需要注意下列問題。1.在正常品情況下，面積變化度量指標(biāo)會(huì)低估等價(jià)變化，高估補(bǔ)償變化。在低檔品情況下，則正好相反。因此，在評(píng)價(jià)幾種商品的價(jià)格變化、或比較兩種不同的可能的價(jià)格變化時(shí)，面積變化不一定能給出福利變化的正確評(píng)價(jià)。1/14/202372福利的近似度量（續(xù)二）2.如果對(duì)某種商品，財(cái)富效應(yīng)沒有或者很小，那么面積變化度量指標(biāo)大體上就是正確的。3.如果商品僅是所消費(fèi)的多種商品之一，那么，由于額外的一單位財(cái)富分散在許多不同的商品上，因而一般來說，某一種商品的財(cái)富效應(yīng)應(yīng)該不大，可以用面積變化度量指標(biāo)衡量。但如果涉及多種商品，疊加起來就可能會(huì)出現(xiàn)合成謬誤。1/14/202373福利的近似度量（續(xù)三）4.如果價(jià)格變動(dòng)幅度不大，(p11-p10)很小，那么，因使用面積變化度量指標(biāo)所導(dǎo)致誤差的絕對(duì)值將很小的，但誤差在真正的福利變化中的比重卻可能很大。1/14/202374圖3.I.8使用面積變化指標(biāo)度量福利變化的誤差

1/14/202375福利的近似度量（續(xù)四）以圖3.I.8中的補(bǔ)償變化為例，價(jià)格從p10上漲到p11后，消費(fèi)者真正的福利損失（CV）是面積A+B，用面積變化度量指標(biāo)得出的損失是面積A+C，相對(duì)誤差并不小。在此情形下，我們可以用?？怂剐枨蠛瘮?shù)的一階近似來找到誤差更小的描述方式。1/14/202376福利的近似度量（續(xù)五）在初始價(jià)格p0處取h(p,u0)的一階泰勒展開式，有：

(p,u0)=h(p0,u0)+Dph(p0,u0)

(p-p0)并把

(3.I.9)作為福利變化近似值。

1/14/202377圖3.I.9h(p,u0)在p0處的一階近似

1/14/202378福利的近似度量（續(xù)五）如圖3.I.9所示，由于在p0處，和真正的希克斯需求函數(shù)斜率相同，因而對(duì)