粘性流體動(dòng)力學(xué)的相似律及基本性質(zhì)

會(huì)計(jì)學(xué)1粘性流體動(dòng)力學(xué)的相似律及基本性質(zhì)內(nèi)容提要粘性流體力學(xué)相似率不可壓縮粘性流體的基本性質(zhì)第1頁/共39頁一、基本方程和邊界條件的無量綱化

基本方程式中的各物理量以相應(yīng)的同類物理量度量之，則有量綱的物理量都可變成無量綱的物理量。用以度量的那些物理量通稱為特征物理量。用特征物理量去度量物理方程組中的物理量，則方程組可變成無量綱的物理方程組。第2頁/共39頁(一)特征物理量在粘性流體動(dòng)力學(xué)的一般問題中，通常包括下列特征物理量。這些特征物理量的具體形式．將根據(jù)流場的具體形式來決定。以特征長度為例，在物體繞流的流場中可取物體的長度作為特征長度，在管流中可取管徑作為特征長度。第3頁/共39頁以這些特征物理量度量各相應(yīng)的物理量，可以得到各無量綱物理量。(帶“*”表示無量綱物理量)：第4頁/共39頁(二)基本方程的無量綱化第5頁/共39頁以無量綱物理量式代入此方程組，整理可得第6頁/共39頁(2)是與流體的物性有關(guān)的數(shù)。利用狀態(tài)方程上述各式中由特征物理量所組成的無量綱因子，它們都具有一定的物理意義。(1)斯特羅哈數(shù)：它是與流場的不定常性有關(guān)的數(shù)。可以將這個(gè)無量綱數(shù)化為式中第7頁/共39頁(3)是與流體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)及物性有關(guān)的物理量，利用聲速公式可以將此無量綱數(shù)化為則可得M為馬赫數(shù)。馬赫數(shù)除了表示流速與聲速之比外，還有另一個(gè)物理意義：慣性力與壓差力之比。

由動(dòng)量方程式知，單位質(zhì)量流體的慣性力的量級(jí)為單位質(zhì)量流體所受的壓差力的量級(jí)為令第8頁/共39頁（4）它是與重力加速度有關(guān)的無量綱物理量。由此可見，慣性力與壓差力之比為因此佛羅德數(shù)出動(dòng)量方程知，單位質(zhì)量流體的重力的量級(jí)為于是慣性力與重力之比為表示慣性力與重力之比。可見，第9頁/共39頁

它是與粘性有關(guān)的無量綱物理量，稱為雷諾數(shù)雷諾數(shù)的物理意義可說明如下，由動(dòng)量方程式知，單位質(zhì)量的流體所承受的粘性力的量級(jí)為于是慣性力與粘性力之比為所以可見，雷諾數(shù)表示慣性力和粘性力之比。第10頁/共39頁

這個(gè)無量綱數(shù)與熱傳導(dǎo)有關(guān)，它又可化為為普朗特?cái)?shù)普朗特?cái)?shù)的物理意義可敘述如下。由能量方程式知，單位質(zhì)量流體因熱傳導(dǎo)吸收的熱量的量級(jí)為單位質(zhì)量流體因?qū)α鬟\(yùn)動(dòng)引起的交換熱的量級(jí)為第11頁/共39頁于是對流熱與傳導(dǎo)熱之比為利用狀態(tài)方程可使此無量綱數(shù)變?yōu)榈?2頁/共39頁斯特羅哈數(shù)：物性數(shù)馬赫數(shù)：弗汝德數(shù)雷諾數(shù)普朗特?cái)?shù)歐拉數(shù)第13頁/共39頁將上述無量綱數(shù)代入粘性流體基本方程組，可得其無量綱形式第14頁/共39頁利用完全類似的方法對對不可壓縮流體方程式無量綱化，最后結(jié)果如下：第15頁/共39頁(三)邊界條件的無量綱化(1)流體在物面上的無量綱形式的運(yùn)動(dòng)學(xué)條件 以無量綱物理量式代入流體在物面上的速度邊界條件式，可得其無量綱形式(2)流體在物面上無量綱形式的熱力學(xué)條件以無量綱物理量式代入流體在物面上的熱力學(xué)邊界條件式，得為了使物面熱通量條件式無量綱化，還可以引入一個(gè)特征物理量qb0它是邊界上的特征熱通量，于是無量綱熱通量可寫成第16頁/共39頁將此關(guān)系及各基本無量綱表達(dá)式代入熱量條件式，可得稱為努賽爾數(shù)是表征物面熱傳導(dǎo)特性的無量綱參數(shù)。于是邊界熱通量條件式可寫成第17頁/共39頁(3)流體在自由面上無量綱形式的運(yùn)動(dòng)學(xué)條件以無量綱物理量式代入液體在自由面上的邊界條件式可得無量綱形式的自由面上的運(yùn)動(dòng)學(xué)條件上式可寫成(4)流體在自由面上無量綱形式的動(dòng)力學(xué)條件為了使自由面上動(dòng)力學(xué)條件式無量綱化，還可以引入一個(gè)特征物理量J0，它是特征表面張力。于是無量綱表面張力可寫成由于J0=J=const第18頁/共39頁將此式及式各無量綱物理量表達(dá)式代入自由表面動(dòng)力學(xué)條件式可得無量綱形式的自由面動(dòng)力學(xué)條件式中“十”號(hào)用于凸自由面；“一”號(hào)用于凹自由面。式中=稱作韋伯?dāng)?shù)，它是表征表面張力特性的無量綱數(shù)。

第19頁/共39頁二、由無量綱方程和邊界條件導(dǎo)出的相似律

相似問題在規(guī)劃實(shí)驗(yàn)和工程實(shí)踐中具有特別重要的意義。例如，在風(fēng)洞中進(jìn)行某一機(jī)翼繞流的模擬試驗(yàn)，所采用的機(jī)翼模型固然要與實(shí)際機(jī)翼幾何相似，但是更重要的問題在于：在風(fēng)洞中應(yīng)規(guī)定怎樣的特征量(例如，來流條件，介質(zhì)條件等等)才有可能模擬實(shí)際機(jī)翼繞流的特性，由試驗(yàn)所測得的數(shù)據(jù)才有可能轉(zhuǎn)換到實(shí)際機(jī)翼的繞流中去。因此我們必須研究粘性流體動(dòng)力學(xué)問題的相似律。第20頁/共39頁幾何相似，長度，面積，體積運(yùn)動(dòng)相似，速度，加速度動(dòng)力相似，重力（弗汝德數(shù)準(zhǔn)則），粘性力（雷諾數(shù)準(zhǔn)則），壓力（歐拉數(shù)準(zhǔn)則），表面張力（韋伯?dāng)?shù)準(zhǔn)則），彈性力（柯西數(shù)準(zhǔn)則）：動(dòng)力相似必然要求幾何相似和運(yùn)動(dòng)相似幾何邊界相似的兩個(gè)流場，知果它們是力學(xué)相似，則它們應(yīng)滿足完全相同的無量綱方程和無量綱定解條件。于是，兩種流場力學(xué)相似的充分和必要條件是：

(1)流體邊界幾何相似；

(2)有相同的無量綱方程，

(3)有相同的無量綱邊界條件。下面我們分別予以討論。第21頁/共39頁(一)流體邊界幾何相似當(dāng)兩個(gè)流場的無量綱幾何邊界完全相同時(shí)，則這兩種流場的邊界便是幾何相似。故流場邊界幾何相似的充分和必要條件是：邊界上各對應(yīng)點(diǎn)滿足或式中“A”，“B”表示兩個(gè)相似流場。第22頁/共39頁(二)有相同的無量綱方程欲使無量綱方程相同，必須使兩種流場的無量綱方程式中下列各無量綱系數(shù)相等：斯托羅哈數(shù)雷諾數(shù)Re=普朗特?cái)?shù)馬赫數(shù)佛羅德數(shù)Fr=無量綱第二粘性系數(shù)比熱比第23頁/共39頁于是相似條件可寫成式中，下標(biāo)“A”、“B”表示兩個(gè)相似流場。第24頁/共39頁在實(shí)際問題中要保證兩個(gè)流場都滿足上述條件是困難的。例如，在相同的重力條件下，若兩個(gè)流場取相同的介質(zhì)，則兩個(gè)流場的且兩個(gè)流場的和溫度T*的關(guān)系相同。這時(shí)，物性比條件式和普朗特式得到自然滿足。由雷諾數(shù)條件式和幾何相似條件式可得再由式斯托羅哈條件式及馬赫數(shù)條件式可得到第25頁/共39頁由此可見，重力場中介質(zhì)相同的兩個(gè)流場，若要全面相似，則必須兩種流場完全相同。若要滿足人為規(guī)定的幾何線性尺度比例則必然要破壞相似條件式雷諾數(shù)準(zhǔn)則或弗汝德數(shù)準(zhǔn)則。應(yīng)當(dāng)指出，在實(shí)際問題中，盡管使兩個(gè)流場全面相似很困難，但是在很多情況下，并不一定要求全部相似。若某個(gè)相似條件在流場中影響很小，則可不必追求滿足這個(gè)相似條件。例如若重力場的作用對流場影響不大，則可不必追求兩個(gè)流場的佛羅德數(shù)Fr相同，即不必滿足弗汝德準(zhǔn)則．這樣就為我們選擇特征物理量增加了一個(gè)自出度。只滿足一部分相似條件的兩個(gè)流場稱為局部相似流場。第26頁/共39頁(三)有相同的無量綱邊界條件欲使無量綱邊界條件相同，必須使兩種流場的無量綱邊界條件的系數(shù)相同，即努賽爾數(shù)相同或和韋伯?dāng)?shù)We相同或第27頁/共39頁不可壓縮粘性流動(dòng)的基本特性

流動(dòng)的有旋性、渦量的擴(kuò)散性和能量的耗散性是粘性流體運(yùn)動(dòng)的重要特性。一、粘性流動(dòng)的有旋性

為方便起見，我們只討論粘性系數(shù)常數(shù)的不可壓縮粘性流動(dòng)。連續(xù)方程式和運(yùn)動(dòng)方程式是求解V，p的封閉方程組。對于無界流場中的物體繞流問題，物面條件為由場論知第28頁/共39頁代入運(yùn)動(dòng)方程可得再將連續(xù)方程式代入?？傻糜蓤稣撝谑沁\(yùn)動(dòng)方程式可寫成第29頁/共39頁若假定運(yùn)動(dòng)無旋，則速度必有勢，即代入連續(xù)方程式，可得由此可見，在無旋運(yùn)動(dòng)的假設(shè)下，速度勢方程與理想流體無旋運(yùn)動(dòng)的速度勢方程完全相同，而且動(dòng)量方程可寫成由此方程可以得到拉格朗日積分式式中

第30頁/共39頁由此可以得出結(jié)論：在無旋運(yùn)動(dòng)的假設(shè)下，不但速度勢方程與理想流體的速度勢方程相同，而且粘性流動(dòng)的流場中的壓力分布與理想流體中的壓力分布也完全相同。但是這個(gè)結(jié)論在一般情況下是不正確的，因?yàn)槲覀冇懻摰氖钦承粤鲃?dòng)，上述方程式除應(yīng)滿足物面法向速度連續(xù)邊界條件式外，尚需滿足物面上的相對速度為零的條件。這個(gè)條件對于理想流體流動(dòng)并不要求滿足。對于方程式(12—127)、（12—128)而言，只要給出理想流體流動(dòng)的邊界條件就可得到唯一解；而在給出過多的邊界條件下，除個(gè)別情況外，方程式(12—127)、(12—128)不可能有解。既然解不存在，也就表明原先所作的無旋運(yùn)動(dòng)的假定不可能成立。從而證明了粘性流體作無旋運(yùn)動(dòng)的不可能性，即粘性流動(dòng)必然有旋。第31頁/共39頁二、粘性流動(dòng)的旋渦擴(kuò)散性

由流體運(yùn)動(dòng)學(xué)知，流體質(zhì)點(diǎn)加速度a可寫成對此式取旋度式中因此上式可寫成第32頁/共39頁由場論知故由場論知由不可壓條件知故上式可寫成或上式純屬不可壓縮流體的運(yùn)動(dòng)學(xué)物理量之間的關(guān)系式。第33頁/共39頁若質(zhì)量力有勢．即則運(yùn)動(dòng)方程式可寫成對此式兩邊取旋度由場論知,又在不可壓縮條件下，故由場論知第34頁/共39頁考慮到上述關(guān)系式可寫成將此關(guān)系代入上式可得此方程是不可壓縮粘性流動(dòng)的N-S方程的另一種形式。將運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系式(12—130)代入上式，可得此式稱作渦量輸運(yùn)方程。由第六章討論的佛里德曼定理知，渦管強(qiáng)度保持性的必要和充分條件是12-134第35頁/共39頁對于不可壓縮流體，則變成但是粘性流動(dòng)的渦量輸運(yùn)方程式(12-134)并不滿足此條件，因此渦管強(qiáng)度不可能保持。于是我們可以得出結(jié)論：不可壓縮粘性流動(dòng)的渦量不具保持性，而具有擴(kuò)散性。故方程式(12-134