含絕對值的方程

主備人：劉小英

授課人：劉小英授課時間：2014年3月第二講含絕對值的方程華美實驗學(xué)校七年級數(shù)學(xué)培優(yōu)課從數(shù)軸上看，一個數(shù)的絕對值就是表示這個數(shù)的點離開原點的距離．但除零以外，任何一個絕對值都是表示兩個不同數(shù)的絕對值．即一個數(shù)與它相反數(shù)的絕對值是一樣的．由于這個性質(zhì)，所以含有絕對值的方程的求解過程又出現(xiàn)了一些新特點．本講主要介紹方程中含有絕對值的處理方法．一個實數(shù)a的絕對值記作｜a｜，指的是由a所唯一確定的非負(fù)實數(shù)：由于絕對值的定義，所以含有絕對值的代數(shù)式無法進(jìn)行統(tǒng)一的代數(shù)運(yùn)算．通常的方法是分別按照絕對值符號內(nèi)的代數(shù)式取值的正、負(fù)情況，去掉絕時值符號，轉(zhuǎn)化為不含絕對值的代數(shù)式進(jìn)行運(yùn)算，即含有絕對值的方程的求解，常用分類討論法．在進(jìn)行分類討論時，要注意所劃分的類別之間應(yīng)該不重、不漏．下面結(jié)合例題予以分析．例1

已知：有理數(shù)x、y、z滿足xy<0,yz>0,并且丨x丨=3，丨y丨=2，丨z+1丨=2，求x+y+z的值。分析：本題x，y，z,的符號難以確定，但三者的符號密切聯(lián)系，可圍繞其中一個進(jìn)行分類討論。解：由丨z+1丨=2，得z+1=±2，所以z=1或z=-3由xy<0知x，y異號；由yz>0知，y，z同號；又丨x丨=3，丨y丨=2，故當(dāng)z=1時，x=-3,y=2，此時x+y+z=-3+2+1=0當(dāng)z=-3時，x=3,y=-2。此時x+y+z=3+(-2)+(-3)=-2∴x+y+z的值為0或-2.1．解下列方程：(1)｜x-5｜+2x=-5；

(2)｜3x-1｜=丨2x+1丨；

練習(xí)一：x=-10x=0或x=2例2：解方程｜x-2｜+｜2x+1｜=7．分析：

解含有絕對值符號的方程的關(guān)鍵是去絕對值符號，這可用“零點分段法”，即令x-2=0,2x+1=0，分別得到x=2,x=用2，將數(shù)軸分成三段：x≥2，≤x＜2，x＜，然后在每一段上去掉絕對值符號再求解。解:

說明：若在x的某個范圍內(nèi)求解方程時，若求出的未知數(shù)的值不屬于此范圍內(nèi)，則這樣的解不是方程的解，應(yīng)舍去．（1）當(dāng)x＜時，原方程化為-(x-2)-(2x+1)=7，解得：x=-2,在所給的范圍x＜之內(nèi)，x=-2是方程的解；（2）當(dāng)≤x＜2時，原方程化為-(x-2)+(2x+1)=7，解得：x=4,它不在所給的范圍≤x＜2之內(nèi)，所以x=4不是方程的解，應(yīng)舍去；(3)當(dāng)x≥2時，原方程化為(x-2)+(2x+1)=7，解得：x=,所以在所給的范圍x≥2之內(nèi)，x=是方程的解；綜上所述，原方程的解為x=或x=-2

1．解下列方程：(1)｜x+3｜-｜1-x｜=x+1；(2)｜x-2｜+｜2x+1｜=8；

練習(xí)二：x=2.5或x=-1.5x=3或x=例3：求方程｜x-｜2x+1｜｜=3的不同的解的個數(shù)．

分析：此方程有兩層絕對值符號，先由2x+1=0得：x=-1/2,然后分別對x=-1/2,x>-1/2,x<-1/2考慮去掉里層的絕對值符號，使得方程化為只含有一個絕對值符號的方程．然后再去掉外層的絕對值符號求解．解：(1)當(dāng)x=-1/2時，原方程化為丨x丨=3，無解；（2）當(dāng)x>-1/2時，原方程化為丨1+x丨=3，解得：x=2或x=-4,而x=-4不在x>-1/2之內(nèi)，應(yīng)舍去；（3）當(dāng)x＜-1/2時，原方程化為丨x+(2x+1)丨=3，即丨3x+1丨=3解得：x=2/3或x=-4/3,而x=2/3不在x＜-1/2之內(nèi)，應(yīng)舍去；綜上所述，所求方程的解為x=2或x=-4/3，所以原方程不同的解的個數(shù)為2個。

1、適合關(guān)系式丨3x-4丨+丨3x+2丨=6的整數(shù)x的值有多少個？練習(xí)三：2個綜上可知，a=1．例4

：若關(guān)于x的方程｜｜x-2｜-1｜=a有三個整數(shù)解．則a的值是多少？解若a＜0，原方程無解，所以a≥0．由絕對值的定義可知｜x-2｜-1=±a，所以｜x-2｜=1±a．(1)若a＞1，則｜x-2｜=1-a＜0，無解．｜x-2｜=1＋a，x只能有兩個解x=3+a和x=1-a．(2)若0≤a≤1，則由｜x-2｜=1+a，求得x=1-a或x=3+a；由｜x-2｜=1-a，求得x=1+a或x=3-a．原方程的解為x=3+a，3-a，1+a，1-a，為使方程有三個整數(shù)解，a必為整數(shù)，所以a只能取0或1．當(dāng)a=0時，原方程的解為x=3，1，只有兩個解，與題設(shè)不符，所以a≠0．當(dāng)a=1時，原方程的解為x=4，0，2，有三個解．練習(xí)四：設(shè)a、b為有理數(shù)，且丨a丨>0，方程丨丨x-a丨-b丨=3有三個不相等的解，求b的值。b=±3例5

:已知方程｜x｜=ax+1有一負(fù)根，且無正根，求a的取值范圍．

綜上可知，若使原方程有一負(fù)根且無正根，必須a≥1．所以應(yīng)有a＞-1．反之，a＞-1時，原方程有負(fù)根．

解設(shè)x為方程的負(fù)根，則-x=ax+1，即設(shè)方程有正根x，則x=ax＋1，即所以a＜1．反之，a＜1時，原方程有正根．練習(xí)五：已知關(guān)于x的方程丨x丨-ax=1同時有一個正根和一個負(fù)根，求整數(shù)a的值。a=0所以，只有當(dāng)a≥3時，原方程有解．例6

:當(dāng)a取哪些值時，方程｜x+2｜+｜x-1｜=a有解？解(1)當(dāng)x≤-2時，

｜x+2｜+｜x-1｜=-2x-1≥-2(-2)-1=3．(2)當(dāng)-2＜x＜1時，｜x+2｜+｜x-1｜=x+2-x+1=3．(3)當(dāng)x≥