同濟(jì)大學(xué)理論力學(xué)孫杰第七章剛體平面運(yùn)動(dòng)

第七章剛體的平面運(yùn)動(dòng)一、平面運(yùn)動(dòng)的基本概念平面運(yùn)動(dòng)——實(shí)例(在其自身平面內(nèi)運(yùn)動(dòng))其上各點(diǎn)到某固定平面的剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，距離始終保持不變。研究剛體平面運(yùn)動(dòng)的任務(wù)：

（1）確定剛體在任一瞬時(shí)的位置；

（2）剛體上各點(diǎn)在任一瞬時(shí)的速度實(shí)例剛體平面運(yùn)動(dòng)的判定

!

點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡!

和加速度。

1、平面圖形S2、垂線A1

A2結(jié)論：剛體的平面運(yùn)動(dòng)可以簡(jiǎn)化——平面運(yùn)動(dòng)方程

確定直線AB的運(yùn)動(dòng)二、平面運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)化三、平面運(yùn)動(dòng)方程截面(A為基點(diǎn))平面運(yùn)動(dòng)平面圖形(直線AB)：始終在平面a2內(nèi)：其始終作平動(dòng)為平面圖形在其自身平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)。四、平面運(yùn)動(dòng)的分解討論：1.2.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)平動(dòng)yxSBAx’y’j–j

’=q轉(zhuǎn)動(dòng)平動(dòng)OSyx：與基點(diǎn)有關(guān)。：與基點(diǎn)無(wú)關(guān)。qB’j

’A’BAjv、

aw、

a基點(diǎn)平面運(yùn)動(dòng)=常數(shù)結(jié)論1：結(jié)論2：平面圖形S

的運(yùn)動(dòng)平動(dòng)可以分解為隨基點(diǎn)的平動(dòng)與基點(diǎn)的選擇有關(guān)轉(zhuǎn)動(dòng)與基點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān)和繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)五、平面圖形內(nèi)各點(diǎn)的速度1、基點(diǎn)法大?。悍较颍捍怪庇贏B

的連線AB(

合成法)相對(duì)速度B點(diǎn)相對(duì)于A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)(隨圖形繞A點(diǎn)作轉(zhuǎn)動(dòng))wvBA——速度合成公式基點(diǎn)平動(dòng)速度投影定理

2、速度投影法垂直于AB

的連線將同一平面圖形上

任意兩點(diǎn)速度之間的關(guān)系速度平行四邊形速度合成公式向AB連線方向投影：——平面圖形上任意兩點(diǎn)的速度在這兩點(diǎn)連線上的投影彼此相等。圖示四連桿機(jī)構(gòu)中，曲柄以角速度＝3rad/s繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)。求在圖示位置時(shí)桿AB和桿O1B的角速度。例1解：以A為基點(diǎn)將上式投影到x軸和y軸求B點(diǎn)的速度B正負(fù)號(hào)（平面運(yùn)動(dòng)）位置（1）基點(diǎn)法（2）速度投影法用投影法不能求出uA＝w

OAwABwO1B90°―q

解析法幾何法BwO1B例2BC＝l解：（1）求AB的角速度以C為基點(diǎn)wBCj（三角塊BCD）lrR（2）求D點(diǎn)的速度以C為基點(diǎn)wBC180°―jP25

習(xí)題：2(基點(diǎn)法)（三角塊BCD）六、平面圖形的瞬時(shí)速度中心瞬時(shí)速度中心

——由

若則需速度矢量大小相等方向相反，如圖中P點(diǎn)。若以瞬心P為基點(diǎn)，平面圖形上瞬時(shí)速度為零的點(diǎn)

瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)中心速度瞬心則平面圖形上任意點(diǎn)B的速度：大?。悍较颍号cw保持一致瞬心法w?速度瞬心

?基點(diǎn)法問(wèn)題：＝

uBP垂直于BP速度瞬心圓周運(yùn)動(dòng)vB=vBP瞬心法可知(瞬時(shí)概念)相對(duì)速度第一種情形已知平面圖形上兩點(diǎn)的速度AB速度瞬心的特點(diǎn)1、瞬時(shí)性

——不同的瞬時(shí)，有不同的速度瞬心；

2、唯一性

——某一瞬時(shí)只有一個(gè)速度瞬心；

3、瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)特性

——平面圖形在某一瞬時(shí)的運(yùn)動(dòng)幾種典型情況的瞬心確定90o90oP但這兩點(diǎn)的速度矢可以視為繞瞬心作瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)。矢量方位。方位互不平行。第三種情形平面圖形沿固定曲線作無(wú)滑第二種情形已知平面圖形上兩點(diǎn)的速度而且二矢量S90o90oABSAB90o90o(

純滾動(dòng)

)PPP這兩點(diǎn)的速度矢不相互相平行，并且都垂直于兩點(diǎn)的連線。矢的大小與方向。等。動(dòng)的滾動(dòng)。第四種情形瞬時(shí)平動(dòng)SAB(a)AB(b)P時(shí)的角速度。P平面圖形上的各點(diǎn)速度都相等。平面圖形的速度瞬心在無(wú)窮遠(yuǎn)。90o90o方向?方向?——平面圖形在該瞬已知某瞬時(shí)兩點(diǎn)速度相互平行。但不垂直于兩點(diǎn)的連線，如圖(a)?；蛞阎獌牲c(diǎn)速度垂直于連線，且相等，如圖(b)。已知：AB＝60cmBG＝GD＝50cmOE＝10cm，OE＝10rad/s求：圖示位置時(shí)AB

例3解：P1為EG桿的瞬心P1P2wEGwBG＝

EGP2為GB桿的瞬心uE＝wEGEP1＝BGwAB例3討論題P25

習(xí)題：1P26習(xí)題：3、4瞬心法

機(jī)構(gòu)如圖示，桿OA繞O作勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)。

巳知：DC=6r，OA=ED=r。求：滑桿F的速度和桿ED的角速度。解:vAvCvBwED“CD”:vDCvCvDxBC作平動(dòng)

vC=vF=vBAB作瞬時(shí)平動(dòng)

vB=以C為基點(diǎn)x:wDCOACBDE30wF例4滑桿F平動(dòng)桿OA轉(zhuǎn)動(dòng)桿CD平面運(yùn)動(dòng)vF桿ED轉(zhuǎn)動(dòng)桿CD平面運(yùn)動(dòng)桿ED轉(zhuǎn)動(dòng)分析運(yùn)動(dòng)瞬心法?瞬心P桿AB平面運(yùn)動(dòng)vAvCcos60

=vDcos30vDcos60

=vDC–

vCcos30vC/CDcos30

=vD/CDcos60投影法=wDC

在瓦特行星傳動(dòng)機(jī)構(gòu)中，平衡桿O1A繞O1軸轉(zhuǎn)動(dòng)，并借連桿AB帶動(dòng)曲柄OB；而曲柄OB活動(dòng)的裝置在O軸上，如圖所示。在O軸上裝有齒輪Ⅰ，齒輪Ⅱ的軸安裝在連桿AB的另一端。已知：r1＝r2＝30cm，O1A＝75cm，AB＝150cm；平衡桿的角速度O1＝6rad/s。求：當(dāng)＝60和＝90時(shí)，曲柄OB和齒輪Ⅰ的角速度。例5DPwABwO1由題意分析得解：輪Ⅱ與固連的連桿AB一起作平面運(yùn)動(dòng)。由A、B兩點(diǎn)速度方向可找出其速度瞬心P。PDD為Ⅰ、Ⅱ輪嚙合點(diǎn)

又

wABwOBwOuA＝wO1

O1AwO1輪Ⅰ上輪Ⅱ上小結(jié)有三種計(jì)算方法同一平面圖形上

兩點(diǎn)的v

關(guān)系平面運(yùn)動(dòng)剛體上點(diǎn)的v

投影法瞬心法基點(diǎn)法常用正確找出圖形的瞬心能找到瞬心P方便投影在兩點(diǎn)連線方向w不出現(xiàn)有效對(duì)角線為合矢量P

不能確定時(shí)特點(diǎn)注意點(diǎn)使用場(chǎng)合比較已知平面圖形上

一點(diǎn)

A的七、平面圖形內(nèi)各點(diǎn)的加速度兩邊求導(dǎo)：B點(diǎn)相對(duì)于A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)B點(diǎn)隨圖形繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)aB加速度a、圖形的角速度w與角加速度，確定平面圖形上任一點(diǎn)B的加速度a?！铀俣群铣晒?/p>

平面圖形內(nèi)任一點(diǎn)的加速度，等于隨基點(diǎn)平動(dòng)的加將當(dāng)則有速度(

牽連加速度)與繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的法向、切向加速度(

相對(duì)加速度)的矢量和。aB向AB的連線方向投影：

車輪沿直線作純滾動(dòng)。已知輪的半徑為R，輪心的速度和加速度分別為

vO

和

aO。例6解：

以O(shè)為基點(diǎn)則輪的角加速度為由于P點(diǎn)為速度瞬心(純滾動(dòng))wa曲線軌道?t分析P點(diǎn)的加速度輪的角速度為求：圖示瞬時(shí)車輪上速度瞬心

P

的加速度sO

=

j

R加速度合成公式結(jié)論：速度為零的點(diǎn)——速度瞬心，加速度不為零。大小

方向

？？√√√√√√所以wa

圖示機(jī)構(gòu)中，OA＝12cm，AB＝30cm，AB桿的B端以vB＝2m/s，aB＝1m/s2向左沿固定平面運(yùn)動(dòng)。例7解：由A、B兩點(diǎn)的速度方向可知wOAB桿作平面運(yùn)動(dòng)AB桿作瞬時(shí)平動(dòng)。則有求圖示瞬時(shí)，AB桿的角速度和角加速度。以A為基點(diǎn)，求B點(diǎn)的加速度。大小方向在y

軸上投影結(jié)論：瞬時(shí)平動(dòng)剛體的角速度為零，角加速度不為零?！獭獭獭蹋俊獭獭?？√ya

A＝nv

AOA

2a

BA＝AB

a

AB

tABOa

A

t求a

O?

求a

A＝OA

a

O

ta

Oa

AB在x

軸上投影＝a

B–

aBAsin30

twOABrR圓輪在曲面做純滾動(dòng)，OA桿做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。巳知：w=

10rad/s,

OA

=

r

=

10cm，

AB

=

l

=

40cm，

R

=

20cm。求：圓輪、桿AB的角加速度。例8vAvB解:wB=vB/

rAB作瞬時(shí)平動(dòng)vB=vAwAB=0=w

r=ww

BPOABrRjaAnaBnaBAnaBtaBAtwABaABaAn=w

2raBn=vB2/(

R

+

r)AB:aBAn=0y:aBAt=-

688.5cm/s2aB

=aBt/

raAB

=aBAt/

lvAvB以A為基點(diǎn)，求點(diǎn)B的加速度sinj=

0.25cosj=

0.968aBt

=-172cm/s2

aBw=常P27

習(xí)題：1P28習(xí)題：3、4aBtcos

j

-aBn

sin

j

=-

aAn

sin

j=-17.2rad/s2

aBn=aBAt

cos

j+aAn=-17.2rad/s2

圖示平面機(jī)構(gòu)，半徑為R的輪子沿固定水平軌道作純滾動(dòng)，桿OA以勻角速度繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)。已知：w

=

2rad/s，OA=R

=15cm，BD

=

BC

=

45cm，AD

=

30cm，OD鉛垂。在圖示位置時(shí)，OA處于水平，BD