信號與系統(tǒng)課件

1引言

1.LTI連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析法

復(fù)雜信號分解若干個沖激函數(shù)di(t)

hi(t)疊加總響應(yīng)信號分解:每個分量用同樣形式的單元函數(shù)[e(t)或d(t)]來表示——信號的時域表示法

2.單元函數(shù)的選擇

一組坐標(biāo)軸構(gòu)成一個矢量空間

一個函數(shù)集信號空間

常用正交坐標(biāo)系,正交函數(shù)集3.

正交函數(shù)集

定義:如有n個函數(shù)g1(t),g2(t),…,gn(t)構(gòu)成一個函數(shù)集，當(dāng)這些函數(shù)在區(qū)間（t1,t2）內(nèi)滿足以下正交特性：2則稱此函數(shù)集為在區(qū)間（t1,t2）內(nèi)的正交函數(shù)集。

于是信號在區(qū)間（t1,t2）內(nèi)可以用n個互相正交的函數(shù)表示為：

最佳近似系數(shù)：

3與矢量分解相似，用一正交函數(shù)集中的分量去代表任意一個函數(shù)，這個函數(shù)集必須是一完備的正交函數(shù)集。完備的正交函數(shù)集有兩種定義：

A.如果用正交的函數(shù)集在區(qū)間（t1,t2）內(nèi)近似表示，若令，則稱該函數(shù)集為完備的正交函數(shù)集。

此時

B.如果在正交函數(shù)集之外，不存在函數(shù),()滿足等式:則這個函數(shù)集稱為完備的正交函數(shù)集。

4如三角函數(shù)集

在區(qū)間（t0,t0+T）()內(nèi)為完備的正交函數(shù)集。

符合一定條件的任一信號可用三角函數(shù)集表示，如∴信號是頻率的函數(shù)——信號在頻域中的表示(頻域分析)4.信號也可以表示為復(fù)頻率(s=a±jw)的函數(shù)（復(fù)頻域分析）5本章內(nèi)容：信號表示為傅里葉級數(shù)周期信號的頻譜傅里葉變換與非周期信號的頻譜傅立葉變換的性質(zhì)常用信號的頻譜函數(shù)帕塞瓦爾定理與能量頻譜6一、信號表示為傅里葉級數(shù)（一）傅里葉級數(shù)的三角形式周期函數(shù)在區(qū)間（t1,t1+T）內(nèi)可表示為：（也可以令中n＝0得到）

（直流分量）

7合成一（角）頻率為的正弦分量

——基波頻率，——

n

次諧波頻率

令則其中可見:(即在一定區(qū)間內(nèi)，任一可以用一直流分量和一系列諧波分量之和來表示）8910(二)傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式

尤拉公式：

即<+><->指數(shù)項余弦波于是11上式說明：可用函數(shù)集來表示（n=0,）12討論：

1．意義：

（）并不代表負(fù)頻率，各正、負(fù)指數(shù)項組成一個余弦（或正弦）波

2．求之法：用指數(shù)級數(shù)比用三角級數(shù)更方便，只需求出3．求頻譜

——第n次諧波分量的復(fù)數(shù)振幅（包括振幅和相位）

(三)

信號的對稱條件及其與諧波含量的關(guān)系1．偶函數(shù)——關(guān)于縱軸對稱若則為t

的偶函數(shù)13此時－T0Tt即偶函數(shù)只含有余弦分量，直流分量可能有或無

2．奇函數(shù)——關(guān)于原點對稱若則為t

的奇函數(shù)

此時

－T/20T/2t14而即奇函數(shù)只含有正弦分量

注意：函數(shù)的奇偶性由坐標(biāo)軸的對稱關(guān)系決定，故當(dāng)移動坐標(biāo)軸時，奇偶關(guān)系會改變

任一函數(shù)都可分解成一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)之和

求15f(t)

1f(-t)

-T/2T/2tfod(t)

-1/2

fev(t)=1/2

163．偶諧函數(shù)——半周期重疊

（只含偶次諧波）

若則稱為偶諧函數(shù)

－T/20T/2t如既是偶函數(shù)，又是偶諧函數(shù),

則

4．奇諧函數(shù)——半周期鏡像對稱（上、下對稱）

滿足——只含奇次諧波

f1(t)

－T/20T/2tf2(t)

－TTt

如f2(t)既是奇函數(shù)，又是奇諧函數(shù)

則

17(四)傅里葉級數(shù)的時間位移性質(zhì)

內(nèi)容：之復(fù)系數(shù)為

延遲

證明：

說明：在時間上延遲t0對應(yīng)于諧波分量的相位滯后了！例求的表達(dá)式

18fa(t)

fb(t)

A

－T/20T/2t-T0T/2T2Tt解：

()19二、周期信號的頻譜

振幅頻譜圖--信號各頻率分量的振幅隨角頻率變化的圖形20（一）周期信號的頻譜

例求周期性矩形脈沖的展開式和頻譜τ——脈沖寬度T——脈沖周期

A——脈沖幅度-T-τ/2τ/2Tt

f(t)

A解：（1）求f(t)的展開式

【方法一】用三角形式表示因為f(-t)=f(t)(偶函數(shù))，所以bn=021——抽樣函數(shù)

【方法二】用指數(shù)形式表示

22故(2)求頻譜

令n=1,2,按頻率高低依次排列即得頻譜圖

23Sinx/x=Sa(x)

0π2π3πx

An

02π/τ4π/τω=nΩ

T=6τ:

ψn=0ψn=πψn=0零點位置：

x=nΩτ/2=mπ

nΩ=m·2π/τ

即ω=nΩ＝m·2π/τ時，An＝0

——零點

又2π/τ＝（T/τ）·Ω,

(Ω=2π/T)

An∝τ/T設(shè)T=6τ，則A0＝(2/6)A,2π/τ=6Ω,即每個包絡(luò)內(nèi)有5根譜線

相位譜：～ω圖π

02π/τ4π/τω=nΩ

24其它方法：

振幅向量為實數(shù)

此時，An為負(fù)值，并不表示振幅為負(fù)，只表示＝π又如按(指數(shù)級數(shù)）

指數(shù)頻譜圖：

Cn-2π/τ02π/τ4π/τω=nΩ

(關(guān)于縱軸對稱，但并不表示有負(fù)頻率，它只表示一對相應(yīng)的正、負(fù)指數(shù)項合起來構(gòu)成一個正弦分量)

A0An=(2Aτ/T)Sa(nΩτ/2)0

2π/τ4π/τω=nΩ

T=6τ:

25(二)周期性矩形脈沖頻譜的特點

1．離散性

2．諧波性

3．收斂性

討論：

T、τ對信號頻譜結(jié)構(gòu)的影響

①

②

T無限趨大時，譜線間隔無限趨小，振幅也無限趨小，周期脈沖非周期性單脈沖

非周期信號可看作的周期信號問題

Cn02π/τ4π/τω=nΩ

26周期矩形脈沖的頻譜的所有特點也是一切周期性信號的共同特點

27(三)信號的頻帶寬度（頻寬）

對于一個信號，從零頻率開始到需要考慮的最高分量的頻率間的這段頻率范圍是信號所占有的頻帶寬度，簡稱頻寬。

定義（兩種）：

①從ω＝0到頻譜包絡(luò)線第一個零點間的頻段

②從ω＝0到振幅降為包絡(luò)線最大值1/10間頻段

討論：

脈寬τ與頻寬成反比

表明：時間函數(shù)中變化較快的信號必定具有較寬的頻帶。

28三、傅里葉變換與非周期信號的頻譜

周期信號：

同時無窮小

（一）頻譜函數(shù)（頻譜密度函數(shù)）和傅立葉變換式（1）乘以T/2:

29

定義：

量綱：

單位頻帶的振幅

——頻譜密度函數(shù)

——偶函數(shù)，

——奇函數(shù)

（二）非周期信號的表達(dá)式——傅立葉反變換

30當(dāng)——傅立葉反變換

簡記為：

（三）非周期信號的頻譜31非周期信號也可分解為許多不同頻率的正弦分量

但因

所以頻譜不能直接用振幅作出，而必須用它的密度函數(shù)來作出。令周期信號的和非周期信號的可相互轉(zhuǎn)換

即32（四）非周期矩形脈沖的頻譜分析

Aτ——矩形之面積

f(t)A-τ/20τ/2t【方法一】直接用定義式求

【方法二】直接用轉(zhuǎn)換關(guān)系求

33頻譜圖：

F(jω)

Aτ

0ω

周期脈沖頻譜包絡(luò)線的形狀和非周期單脈沖的頻譜函數(shù)形狀完全相同，所以，單脈沖信號的頻譜也具有以下特點：單脈沖信號的頻譜也具有收斂性，即信號的大部分能量都集中在低頻段；當(dāng)脈沖持續(xù)時間減小時，頻譜的收斂速度變慢，即脈寬與頻寬成反比。34四、傅里葉變換的性質(zhì)（一）線性性質(zhì)若，（二）時移性質(zhì)

若

則

含義：信號在時域中延時和在頻域中移相對應(yīng)。如正弦波在時間軸上的起點不同則相角隨之變化。

例1求的頻譜函數(shù)

AA

0τt-τ/2τ/2t解：

35π

0ω

ω

例2

f1(t)A

-τ0τt

f2(t)

（三）移頻性質(zhì)

若

則

表明：信號在時域中與因子相乘，等效于頻域中頻率的轉(zhuǎn)移

36而

——調(diào)幅過程

例3求

——幅度調(diào)制信號的頻譜函數(shù)

解：

A

-τ/20τ/2t

Aτ

ω

Aτ/2

-ωc0ωcω

t

37解：先求直流信號的頻譜例4求余弦信號的頻譜則當(dāng)單個矩形脈沖（幅度A=1)的持續(xù)時間無限趨大時就變成了直流信號，即而若令則38即直流信號的頻譜是位于處的沖激于是可見，周期余弦信號的頻譜函數(shù)完全集中于點，是位于點的沖激函數(shù)，頻譜中不包含任何其它成分。（四）尺度展縮(變換）性質(zhì)

若

則

含義：在時域內(nèi),信號沿時間軸壓縮至原來的,對應(yīng)于頻域中，它的頻譜函數(shù)展寬倍。即信號的脈寬與頻寬成反比。

39證明：（1）

令

(2)

令

則

1-τ/20τ/2t

ω

－τ/4τ/4tτ/2

ω

τ40(五)奇偶性質(zhì)

如果是t的實函數(shù)，且設(shè)

則有(1)

(2)

(3)

例5求單邊指數(shù)信號的頻譜

1

0t解:

41

0ω

例6求雙邊指數(shù)信號的頻譜

f(t)1

0t解：

2/α

0ω當(dāng)f(t)是偶函數(shù)時，其頻譜必然是實數(shù)，且也為偶函數(shù)！

42例7求單位符號函數(shù)Sgn(t)的頻譜

fa(t)=Sgn(t)1-1

0

t解:觀察f1(t)

1f1(t)-1于是(1)求F1（jω）

0

t43(2)求Fa（jω）

當(dāng)f(t)為奇函數(shù)時，其頻譜一定是虛數(shù)，且也為奇函數(shù)！

π/2

-π/2

0ω如果將信號f(t)看作是由余弦“分量”所組成，其頻譜圖是單邊的（即0≤ω<∞）;如果將信號看作是由虛指數(shù)函數(shù)所組成，由于它是對ω從－∞到∞積分，因此，頻譜圖應(yīng)為雙邊譜.44(六)對稱性質(zhì)（互易性質(zhì)）

含義：信號的波形與信號的頻譜的圖形有著互相置換的關(guān)系。

如單位沖激信號的頻譜為：即從而

表明：單位沖激信號具有無限寬的頻帶。45

0t

F(jω)

1

0ω

0t

0ω

又如求取樣函數(shù)

-0t

1τ

0ω

0t1-0ω

注意：這種對稱關(guān)系只適用于偶函數(shù)。46(七)時間微分特性

若

則

含義：信號對時間取導(dǎo)數(shù)，相當(dāng)于在頻域中用因子去乘它的頻譜函數(shù)。

如正弦穩(wěn)態(tài)分析中

例8求非周期鏡像脈沖的頻譜函數(shù)

1-1解：

47－τ0τt

τ

(八)時間積分性質(zhì)

若

則

證明：(1)

(2)

(3)

48設(shè)

則

含義：信號對時間積分，相當(dāng)于在頻域中用因子去除它的頻譜函數(shù)。

49注意積分性質(zhì)的應(yīng)用條件!設(shè)

則

又故一般可表示為:積分性質(zhì)的應(yīng)用條件是原函數(shù)在負(fù)無窮遠(yuǎn)處的函數(shù)值等于零!50例9求三角形脈沖的頻譜函數(shù)解：

（頻帶無限寬）

－τ0τt1

-τ0τt-1/τ

-τ0τt

(2/τ)

51例1052因為,所以而,故（九）頻域的微分與積分性質(zhì)

若

運(yùn)用積分性質(zhì)從導(dǎo)函數(shù)的頻譜求原函數(shù)的頻譜時,原函數(shù)若不含直流分量,則其頻譜就不含沖激函數(shù),否則,其頻譜等于導(dǎo)函數(shù)的頻譜除以因子后再加上直流分量的頻譜.53則

（十）卷積定理

1．時域卷積定理

證明：

（變換積分次序）

54例11求三角形脈沖的頻譜函數(shù)

1f1(t)1f2(t)*=

0ω0ω

ττ

×

=

0ω

-τ/2τ/2t-τ/2τ/2tτf△(t)-τ0τt2．頻域卷積定理

55五、常用信號的頻譜函數(shù)

（一）單位階躍信號的頻譜函數(shù)

＝1/2+

0t0t-1/2、56注意：階躍信號與直流信號所含分量不同，因此它們是兩種信號，其頻譜函數(shù)也就不同。

（二）虛指數(shù)信號的頻譜

直接求：

為此考慮：

57（三）指數(shù)變幅正弦信號的頻譜

（移頻特性）

（移頻特性）

58（四）周期信號的傅里葉變換——頻譜密度函數(shù)

周期信號：

頻譜函數(shù)：

表明：

①周期信號的頻譜函數(shù)由無窮多個沖激函數(shù)組成，各個沖激位于各次諧波頻率處；

②各個沖激的強(qiáng)度為各次諧波復(fù)振幅的倍。

59求周期信號的頻譜密度函數(shù)之方法：

由

如均勻沖激序列其復(fù)數(shù)振幅其頻譜密度為-T0Tt0

60六、帕塞瓦爾定理與能量頻譜

（一）信號的能量W和平均功率P

1.信號的能量：

信號在電阻上消耗的能量

2．信號的平均功率：

信號在電阻上消耗的平均功率3．能量信號（能量有限信號）

能量為有限值（W＝有限值，P=0）

4.功率信號

平均功率為有限值（P＝有限值，W=∞）

61（二）帕塞瓦爾定理

由電路理論知