第七節(jié)二次曲面

第七節(jié)二次曲面1一、球面方程（2）解：或在空間解析幾何中關(guān)于曲面的研究,有下列兩個(gè)基本問題:(2)

已知曲面的方程，求這方程所表示的曲面的形狀。(1)

已知曲面點(diǎn)的幾何軌跡，求曲面的方程；半徑為

R的球面

S

的方程.建立球心在例1

2若球心在原點(diǎn)，則從而球面的方程為半徑為R

的球面方程.方程(2)就是以球心,(3)為所求平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的方程。已知求線段AB的垂直平分面的方程.

例2解：設(shè)3配方得半徑為的球面.解:原方程表示球心在點(diǎn)一般地，設(shè)有三元二次方程通過配方可以化成（2）的形式，那么它的圖形就是一個(gè)球面。

例3

方程表示怎樣的曲面?4這條定直線叫做旋轉(zhuǎn)曲面的軸.以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面，就是所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程。二.旋轉(zhuǎn)曲面——通常多考慮以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面.設(shè)過M點(diǎn)做z軸的垂面，與z軸交于P（0,0,z）點(diǎn)，交曲線C于M1（0,y1,z）,顯然

(4)因?yàn)?，M1在曲線C上，其坐標(biāo)應(yīng)滿足即：P（x,y,z)5設(shè)繞軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為繞軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為設(shè)繞軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為繞軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為設(shè)繞軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為繞軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為6旋轉(zhuǎn)軸為z軸,半頂角為的圓錐面的方程.試建立頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O,解:在坐標(biāo)面上，或這就是圓錐面的方程。P例4

直線L

繞另一條與L相交的直線旋轉(zhuǎn)一周,所得旋轉(zhuǎn)曲兩直線的交點(diǎn)叫做圓錐面的頂點(diǎn)，面叫圓錐面，兩直線的夾角叫做圓錐面的半頂角。讓L繞z軸旋轉(zhuǎn)7解：這兩種曲面都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面.例5面上的雙曲線分別繞軸和軸一周,求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程.將xOzy8三.柱面平行于z軸的直線l叫做它的母線。面上的圓叫做它的準(zhǔn)線，例6

方程表示怎樣的曲面?圓在面：解：這曲面叫做圓柱面.這曲面可以看作是由平行于z

軸的直線沿面上的圓平行移動(dòng)而成,在三維空間直角坐標(biāo)系中

其實(shí)在面內(nèi)的一條直線:繞z軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面就是該圓柱面,則圓柱面方程為:即P119方程在空間直角坐標(biāo)系中表示：母線平行于軸的柱面,其準(zhǔn)線是面上的曲線方程在空間直角坐標(biāo)系中表示：母線平行于軸的柱面,其準(zhǔn)線是面上的曲線方程在空間直角坐標(biāo)系中表示：母線平行于軸的柱面,其準(zhǔn)線是面上的曲線方程中缺哪個(gè)字母，母線平行于相應(yīng)的軸。P910方程在空間直角坐標(biāo)系中表示：其準(zhǔn)線是面上的曲(直)線:母線平行于軸的柱面,11小結(jié)：1.曲面的概念2.球面方程3.平面方程4.旋轉(zhuǎn)曲面5.錐面的方程6.柱面方程設(shè)繞軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為繞軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為方程在空間直角坐標(biāo)系中表示：母線平行于

軸的柱面,其準(zhǔn)線是面上的曲線12一.空間曲線的一般式方程空間曲線可以看作兩個(gè)曲面的交線.方程組(1)叫做空間曲線

C

的一般方程.第六節(jié)空間曲線及其方程13二.空間曲線的參數(shù)方程叫做空間曲線的參數(shù)方程。●14當(dāng)時(shí)，叫做螺旋線的螺距。取時(shí)間t

為參數(shù)，設(shè)當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)位于軸上的一點(diǎn)處，經(jīng)過時(shí)間

t，動(dòng)點(diǎn)由運(yùn)動(dòng)到記在面上的投影為所以解:例3構(gòu)成的圖形叫做螺旋線，試建立其參數(shù)方程。如果空間一點(diǎn)在圓柱面上以角速度繞軸旋轉(zhuǎn)，同時(shí)又以線速度沿平行于軸的正方向上升，那么點(diǎn)則M’的坐標(biāo)為:P2115螺旋線在三個(gè)坐標(biāo)平面上的投影（用直角坐標(biāo)方程表示）？（1）關(guān)于面的投影柱面：則在面上的投影為：（2）關(guān)于面的投影柱面：則在面上的投影為：（3）關(guān)于面的投影柱面：則在面上的投影為：P1816于是兩球面的交線在面上的投影方程為

解：從（1）式減去（2）式并化簡得：方程為再以代入（1），柱面，的關(guān)于面的投影

得交線例4

已知兩球面的方程為

（1）（2）求它們的交線在面上的投影方程。17例5

設(shè)一個(gè)立體由上半球面和錐面所圍成，面上的投影。求它在消去z得因此交線C在面上的投影曲線為于是所求立體在面上的投影，所圍的部分：面上就是該圓在

解：C：半球面和錐面的交線為18