重點(diǎn)難點(diǎn)指導(dǎo)復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)參考模板范本

重點(diǎn)難點(diǎn)指導(dǎo)[復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)]重點(diǎn)難點(diǎn)指導(dǎo)[復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)]21/2121/21重點(diǎn)難點(diǎn)指導(dǎo)[復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)]重點(diǎn)難點(diǎn)指導(dǎo)第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)內(nèi)容：

1.1復(fù)數(shù)

1.2復(fù)數(shù)的三角表示

1.3平面點(diǎn)集的一般概念

1.4無(wú)窮大和復(fù)球面

1.5復(fù)變函數(shù)

重點(diǎn)：（1）復(fù)數(shù)的三種表示法（2）復(fù)變函數(shù)的概念（3）復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念，復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、乘方運(yùn)算、開(kāi)方運(yùn)算。

難點(diǎn)：（1）復(fù)平面的點(diǎn)集與區(qū)域（2）復(fù)數(shù)的幾何表示（3）復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何意義，利用幾何進(jìn)行運(yùn)算。

重點(diǎn)難點(diǎn)解答：1.在復(fù)數(shù)的表示法中要特別注意三角表示法和指數(shù)表示法，它們有時(shí)候能使解決的問(wèn)題簡(jiǎn)化。一般來(lái)講，復(fù)數(shù)的加減法用代數(shù)表示法計(jì)算簡(jiǎn)單，而乘法、除法、乘冪和方根運(yùn)算用三角表示法或指數(shù)表示法計(jì)算較簡(jiǎn)單。2.任意兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小。3.實(shí)變量函數(shù)的定義域和值域都在實(shí)直線的某個(gè)集合中，而復(fù)變函數(shù)的定義域和值域都在復(fù)平面的某個(gè)集合上。4.復(fù)數(shù)的輻角有無(wú)窮多個(gè)，它們相差的整數(shù)倍，稱(chēng)位于中的角為主輻角，記為。5.確定復(fù)數(shù)的輻角，一般利用的向量表示確定在坐標(biāo)系中的位置，在利用反正切公式確定的輻角主值。當(dāng)時(shí)輻角無(wú)意義當(dāng)時(shí)，有如下關(guān)系（，）復(fù)數(shù)的輻角是我們遇到的第一個(gè)多值函數(shù)，以后遇到的多值函數(shù)都和這個(gè)多值函數(shù)有關(guān)。第二章解析函數(shù)內(nèi)容：

2.1解析函數(shù)的概念

2.2解析函數(shù)和調(diào)和函數(shù)的關(guān)系

2.3初等函數(shù)重點(diǎn)：（1）復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念及其求法，（2）解析函數(shù)的概念，（3）用柯西黎曼條件判斷函數(shù)解析性的方法，（4）從解析函數(shù)的實(shí)（虛）部求其虛（實(shí)）的方法。難點(diǎn)：（1）初等函數(shù)的解析性（2）解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系重點(diǎn)難點(diǎn)解答：1.判斷函數(shù)可導(dǎo)或解析的方法1)利用可導(dǎo)與解析的定義由定義，一個(gè)函數(shù)在解析，除在該點(diǎn)可導(dǎo)外，還必須在該點(diǎn)的某一個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)，兩個(gè)條件必須都滿(mǎn)足。而要判斷一個(gè)函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)解析，只要判斷它在D內(nèi)可導(dǎo)即可。故判斷函數(shù)是否解析，歸結(jié)為判斷函數(shù)是否可導(dǎo)的問(wèn)題，而函數(shù)可導(dǎo)可用定義驗(yàn)證。2)利用可導(dǎo)與解析的充要條件函數(shù)在區(qū)域內(nèi)有定義，則在點(diǎn)可微的充要條件是：（1）在處可微；(2)在處滿(mǎn)足柯西-黎曼（Cauchy-Riemann）條件（簡(jiǎn)稱(chēng)C-R方程）若上述條件中有一個(gè)不成立，則在該點(diǎn)不可導(dǎo)，從而不解析。而函數(shù)在區(qū)域內(nèi)有定義，則在內(nèi)解析的充要條件是：（1）在內(nèi)可微；(2)在內(nèi)滿(mǎn)足柯西-黎曼（Cauchy-Riemann）條件（簡(jiǎn)稱(chēng)C-R方程）2.CR方程是本章的一個(gè)重點(diǎn)，它不僅可以判別函數(shù)在一點(diǎn)的解析性，而且還可用來(lái)求復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)它也說(shuō)明了不是任意兩個(gè)存在連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)都可以組成一個(gè)解析函數(shù)的實(shí)部與虛部，它們之間有著密切的聯(lián)系。3.對(duì)數(shù)函數(shù)是一個(gè)多值函數(shù)，它的每一分支在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸外處處解析，雖然它保持了實(shí)對(duì)數(shù)的某些運(yùn)算性質(zhì)，但表達(dá)的含義不同，這一點(diǎn)要注意。，等式的左右兩邊都是集合，上式表示給出左邊的任一個(gè)分支，一定有的一個(gè)分支和的一個(gè)分支，使得它們的和或差與之對(duì)應(yīng)。4.冪函數(shù)一般來(lái)講是多值函數(shù)，當(dāng)b為整數(shù)時(shí)，為一單值函數(shù)，而為一n值函數(shù)。5.已知解析函數(shù)的實(shí)部或虛部求解析函數(shù)有以下幾種方法：（1）偏積分法，（2）不定積分法（2）線積分法(1）偏積分法：若已知實(shí)部，利用條件，得；對(duì)兩邊積分，得（*）再對(duì)（*）式兩邊對(duì)求偏導(dǎo)，得（**）由條件，，得，可求出；代入（*）式，可求得虛部。(2）線積分法：若已知實(shí)部，利用條件可得，故虛部為；由于該積分與路徑無(wú)關(guān)，可選取簡(jiǎn)單路徑（如折線）計(jì)算它，其中與是解析區(qū)域中的兩點(diǎn)。(3）不定積分法：若已知實(shí)部，根據(jù)解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和條件得知，將此式右端表示成的函數(shù)，由于仍為解析函數(shù)，故（為實(shí)常數(shù)）注：若已知虛部也可用類(lèi)似方法求出實(shí)部第三章復(fù)變函數(shù)的積分內(nèi)容：

3.1復(fù)積分的概念

3.2柯西積分定理

3.3柯西積分公式

3.4解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)

重點(diǎn)：（1）求復(fù)變函數(shù)在曲線上的積分,（2）會(huì)用柯西積分定理和復(fù)合閉路定理計(jì)算積分,（3）柯西積分公式及高階導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)公式計(jì)算積分難點(diǎn)：

（1）復(fù)變函數(shù)積分的定義和性質(zhì),（2）不定積分的概念 重點(diǎn)和難點(diǎn)解答：1.復(fù)積分的值不僅與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)，而且與積分路徑有關(guān)，只有當(dāng)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析時(shí)，才僅與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)，此時(shí)沿任何一條曲線上得積分值相等，故可沿某些特殊的曲線進(jìn)行積分。2.柯西積分定理、復(fù)合閉路定理、閉路變形原理是計(jì)算沿封閉路線積分的理論依據(jù)，而柯西積分公式、高階導(dǎo)數(shù)公式為主要工具，在被積函數(shù)較復(fù)雜情況下，需要對(duì)被積函數(shù)作適當(dāng)變形，然后再聯(lián)合使用定理、公式和性質(zhì)。第四章解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示內(nèi)容：

4.1復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

4.2復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

4.3泰勒級(jí)數(shù)

4.4洛朗級(jí)數(shù)重點(diǎn)：（1）理解復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念，知道條件收斂與絕對(duì)收斂，（2）知道冪級(jí)數(shù)的概念，了解冪級(jí)數(shù)的收斂圓的概念，會(huì)求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，了解冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)。（3）正確理解泰勒展開(kāi)定理、羅朗展開(kāi)定理。難點(diǎn)：（1）泰勒定理,（2），，，的麥克勞林展開(kāi)式，并會(huì)利用它們將一些簡(jiǎn)單的解析函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)（3）會(huì)用間接的方法將簡(jiǎn)單的函數(shù)在其孤立奇點(diǎn)附近展開(kāi)成羅朗級(jí)數(shù)。重點(diǎn)難點(diǎn)解答：1.解析函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的常用方法1）直接法：直接求出，于是。2）間接法：利用已知函數(shù)的泰勒展開(kāi)式及冪級(jí)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算、復(fù)合運(yùn)算和逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)求積等方法將函數(shù)展開(kāi)。2.常用函數(shù)在的泰勒展開(kāi)式1）2）3）4）3.圓環(huán)內(nèi)解析函數(shù)展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù)方法：洛朗級(jí)數(shù)一般只能用間接法展開(kāi)。第五章留數(shù)及其應(yīng)用內(nèi)容：

5.1孤立奇點(diǎn)

5.2留數(shù)

5.3留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用

5.4對(duì)數(shù)留數(shù)與輻角原理重點(diǎn)：（1）孤立奇點(diǎn)的分類(lèi)及函數(shù)在各種奇點(diǎn)鄰域內(nèi)的性質(zhì)，（2）留數(shù)的概念，（3）留數(shù)定理。難點(diǎn)：（1）函數(shù)在極點(diǎn)處留數(shù)的計(jì)算方法（2）用留數(shù)定理計(jì)算閉路積分及一些實(shí)積分。重點(diǎn)和難點(diǎn)解答：1.孤立奇點(diǎn)的分類(lèi)1）可去奇點(diǎn)：展開(kāi)式中不含的負(fù)冪項(xiàng)；2）極點(diǎn)：展開(kāi)式中含有限項(xiàng)的負(fù)冪項(xiàng)；其中在解析，且；3）本性奇點(diǎn)：展開(kāi)式中含無(wú)窮多項(xiàng)的負(fù)冪項(xiàng)；2.留數(shù)的計(jì)算方法若是的孤立奇點(diǎn)，則，其中為在的去心鄰域內(nèi)洛朗展開(kāi)式中的系數(shù)。1）可去奇點(diǎn)處的留數(shù)：若是的可去奇點(diǎn)，則2）級(jí)極點(diǎn)處的留數(shù)法則=1\*ROMANI若是的級(jí)極點(diǎn)，則特別地，若是的一級(jí)極點(diǎn)，則注：如果極點(diǎn)的實(shí)際級(jí)數(shù)比低，上述規(guī)則仍然有效。法則=2\*ROMANII設(shè)，在解析，，則3.留數(shù)的應(yīng)用留數(shù)是利用復(fù)積分來(lái)定義的，但一般利用留數(shù)來(lái)計(jì)算函數(shù)沿封閉曲線的積分即留數(shù)定理設(shè)在區(qū)域內(nèi)除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)外處處解析，為內(nèi)包圍諸奇點(diǎn)的一條正向簡(jiǎn)單閉曲線，則它將求沿簡(jiǎn)單閉曲線積分的整體問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)在內(nèi)各孤立奇點(diǎn)處留數(shù)的局部問(wèn)題。另一個(gè)應(yīng)用是計(jì)算三種不同類(lèi)型的實(shí)積分應(yīng)用時(shí)要注意情形，必須滿(mǎn)足條件，否則不能使用此法。第六章共形映射內(nèi)容：

6.1共形映射的概念

6.2共形映射的基本問(wèn)題

6.3分式線性映射

6.4幾個(gè)初等函數(shù)構(gòu)成的共形映射

重點(diǎn)：（1）線性映射的性質(zhì)和分式線性映射的保圓性及保對(duì)稱(chēng)性難點(diǎn)：（1）解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義及共形映射的概念，（2）（為正有理數(shù)）和的映射性質(zhì)，（3）線性映射的性質(zhì)和分式線性映射的保圓性及保對(duì)稱(chēng)性，（4）會(huì)求一些簡(jiǎn)單區(qū)域（例如平面、半平面、角形域、圓、帶形域等）之間的共形映射

重點(diǎn)和難點(diǎn)解答：要確定一些簡(jiǎn)單區(qū)域之間的映射，必須掌握一些基本初等函數(shù)所構(gòu)成的映射，然后利用復(fù)合映射實(shí)現(xiàn)由簡(jiǎn)單到復(fù)雜。1.分式線性映射是三個(gè)變換的復(fù)合，一是平移，二是旋轉(zhuǎn)與伸縮，三是反演，它在擴(kuò)充的復(fù)平面上具有保圓性、保角性和保對(duì)稱(chēng)點(diǎn)性。對(duì)于分式線性映射，要記住以下典型映射：上半平面到單位圓內(nèi)部的映射單位圓到單位圓內(nèi)部的映射上半平面到上半平面的映射冪函數(shù)確定的映射具有把角形域映射成角形域的特點(diǎn)，如果問(wèn)題要把角形域映為角形域，自然想到冪映射。指數(shù)映射的特點(diǎn)是把水平帶形域映射為角形域。第七章解析函數(shù)在平面場(chǎng)的應(yīng)用內(nèi)容：

7.1復(fù)勢(shì)的概念

7.2復(fù)勢(shì)的應(yīng)用

7.3用共形映射的方法研究平面場(chǎng)重點(diǎn)：（1）復(fù)變函數(shù)表示平面向量場(chǎng)和復(fù)勢(shì)的基本概念，（2）數(shù)學(xué)軟件做出復(fù)勢(shì)在流體力學(xué)、熱流學(xué)、靜電場(chǎng)上應(yīng)用的直觀圖形，（3）用數(shù)學(xué)軟件演示一些流體力學(xué)、熱流學(xué)、靜電場(chǎng)中復(fù)勢(shì)的變換。難點(diǎn)：（1）復(fù)勢(shì)在流體力學(xué)、熱流場(chǎng)、靜電場(chǎng)中的應(yīng)用，（2）數(shù)學(xué)軟件做出復(fù)勢(shì)在流體力學(xué)、熱流學(xué)、靜電場(chǎng)上應(yīng)用的直觀圖形，（3）共形映射方法研究平面場(chǎng)的方法，（4）用數(shù)學(xué)軟件演示一些流體力學(xué)、熱流學(xué)、靜電場(chǎng)中復(fù)勢(shì)的變換。

第八章傅里葉變換內(nèi)容：8.1傅里葉變換的概念

8.2單位沖激函數(shù)

8.3傅里葉變換的性質(zhì)重點(diǎn)：（1）會(huì)求函數(shù)的傅里葉變換，（2）單位脈沖函數(shù)及其傅里葉變換，（3）會(huì)用一些數(shù)學(xué)軟件繪制一些函數(shù)的頻譜、相位譜、振幅譜等，（4）用數(shù)學(xué)軟件和傅里葉變換研究一些實(shí)際應(yīng)用例子。難點(diǎn)：（1）理解傅里葉變換的概念，（2）傅里葉變換的性質(zhì)，（3）會(huì)用一些數(shù)學(xué)軟件繪制一些函數(shù)的頻譜、相位譜、振幅譜等，（4）用數(shù)學(xué)軟件和傅里葉變換研究一些實(shí)際應(yīng)用例子。重點(diǎn)難點(diǎn)解答：（一）傅里葉變換的概念（二）幾個(gè)常用函數(shù)的傅里葉變換（三）傅里葉變換的性質(zhì)位移性（時(shí)域）：位移性（頻域）：位移性推論：位移性推論：微分性（時(shí)域）：（），，微分性（頻域）：相似性：

第九章拉普拉斯變換內(nèi)容：

9.1拉普拉斯變換的概念

9.2拉氏變換的性質(zhì)

9.3拉普拉斯逆變換

9.4拉氏變換的應(yīng)用及綜合舉例

重點(diǎn)：（1）拉普拉斯變換的概念，（2）會(huì)求拉普拉斯逆變換及拉普拉斯變換，（3）用拉普拉斯變換求解微分方程的方法。