邏輯函數(shù)的化簡

邏輯代數(shù)是分析和設(shè)計數(shù)字電路的重要工具。利用邏輯代數(shù)，可以把實際邏輯問題抽象為邏輯函數(shù)來描述，并且可以用邏輯運算的方法，解決邏輯電路的分析和設(shè)計問題。與、或、非是3種基本邏輯關(guān)系，也是3種基本邏輯運算。與非、或非、與或非、異或則是由與、或、非3種基本邏輯運算復(fù)合而成的4種常用邏輯運算。邏輯代數(shù)的公式和定理是推演、變換及化簡邏輯函數(shù)的依據(jù)。邏輯函數(shù)及其相等概念（1）邏輯表達(dá)式：由邏輯變量和與、或、非3種運算符連接起來所構(gòu)成的式子。在邏輯表達(dá)式中，等式右邊的字母A、B、C、D等稱為輸入邏輯變量，等式左邊的字母Y稱為輸出邏輯變量，字母上面沒有非運算符的叫做原變量，有非運算符的叫做反變量。（2）邏輯函數(shù)：如果對應(yīng)于輸入邏輯變量A、B、C、…的每一組確定值，輸出邏輯變量Y就有唯一確定的值，則稱Y是A、B、C、…的邏輯函數(shù)。記為

注意：與普通代數(shù)不同的是，在邏輯代數(shù)中，不管是變量還是函數(shù)，其取值都只能是0或1，并且這里的0和1只表示兩種不同的狀態(tài)，沒有數(shù)量的含義。（3）邏輯函數(shù)相等的概念：設(shè)有兩個邏輯函數(shù)它們的變量都是A、B、C、…，如果對應(yīng)于變量A、B、C、…的任何一組變量取值，Y1和Y2的值都相同，則稱Y1和Y2是相等的，記為Y1=Y2。若兩個邏輯函數(shù)相等，則它們的真值表一定相同；反之，若兩個函數(shù)的真值表完全相同，則這兩個函數(shù)一定相等。因此，要證明兩個邏輯函數(shù)是否相等，只要分別列出它們的真值表，看看它們的真值表是否相同即可。證明等式：3.1邏輯代數(shù)的公式、定理和規(guī)則1、邏輯代數(shù)的公式和定理（1）常量之間的關(guān)系（2）基本公式分別令A(yù)=0及A=1代入這些公式，即可證明它們的正確性。（3）基本定理利用真值表很容易證明這些公式的正確性。如證明A·B=B·A：(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC分配率A(B+C)=AB+AC=A+AB+AC+BC等冪率AA=A=A(1+B+C)+BC分配率A(B+C)=AB+AC=A+BC0-1率A+1=1證明分配率：A+BA=(A+B)(A+C)證明：（4）常用公式分配率A+BC=(A+B)(A+C)互補率A+A=10-1率A·1=1互補率A+A=1分配率A(B+C)=AB+AC0-1率A+1=1例如，已知等式，用函數(shù)Y=AC代替等式中的A，根據(jù)代入規(guī)則，等式仍然成立，即有：2、邏輯代數(shù)運算的基本規(guī)則（1）代入規(guī)則：任何一個含有變量A的等式，如果將所有出現(xiàn)A的位置都用同一個邏輯函數(shù)代替，則等式仍然成立。這個規(guī)則稱為代入規(guī)則。（2）反演規(guī)則：對于任何一個邏輯表達(dá)式Y(jié)，如果將表達(dá)式中的所有“·”換成“＋”，“＋”換成“·”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，原變量換成反變量，反變量換成原變量，那么所得到的表達(dá)式就是函數(shù)Y的反函數(shù)Y（或稱補函數(shù)）。這個規(guī)則稱為反演規(guī)則。例如：（3）對偶規(guī)則：對于任何一個邏輯表達(dá)式Y(jié)，如果將表達(dá)式中的所有“·”換成“＋”，“＋”換成“·”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，而變量保持不變，則可得到的一個新的函數(shù)表達(dá)式Y(jié)＇，Y＇稱為函Y的對偶函數(shù)。這個規(guī)則稱為對偶規(guī)則。例如：對偶規(guī)則的意義在于：如果兩個函數(shù)相等，則它們的對偶函數(shù)也相等。利用對偶規(guī)則,可以使要證明及要記憶的公式數(shù)目減少一半。例如：

注意：在運用反演規(guī)則和對偶規(guī)則時，必須按照邏輯運算的優(yōu)先順序進(jìn)行：先算括號，接著與運算，然后或運算，最后非運算，否則容易出錯。

邏輯函數(shù)的表達(dá)式一個邏輯函數(shù)的表達(dá)式可以有與或表達(dá)式、或與表達(dá)式、與非-與非表達(dá)式、或非-或非表達(dá)式、與或非表達(dá)式5種表示形式。一種形式的函數(shù)表達(dá)式相應(yīng)于一種邏輯電路。盡管一個邏輯函數(shù)表達(dá)式的各種表示形式不同，但邏輯功能是相同的。1、邏輯函數(shù)的最小項及其性質(zhì)（1）最小項：如果一個函數(shù)的某個乘積項包含了函數(shù)的全部變量，其中每個變量都以原變量或反變量的形式出現(xiàn)，且僅出現(xiàn)一次，則這個乘積項稱為該函數(shù)的一個標(biāo)準(zhǔn)積項，通常稱為最小項。

3個變量A、B、C可組成8個最小項：（2）最小項的表示方法：通常用符號mi來表示最小項。下標(biāo)i的確定：把最小項中的原變量記為1，反變量記為0，當(dāng)變量順序確定后，可以按順序排列成一個二進(jìn)制數(shù)，則與這個二進(jìn)制數(shù)相對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)，就是這個最小項的下標(biāo)i。

3個變量A、B、C的8個最小項可以分別表示為：最小項的編號：

把與最小項對應(yīng)的變量取值當(dāng)成二進(jìn)制數(shù)，與之相應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)，就是該最小項的編號，用mi表示。對應(yīng)規(guī)律：原變量1

反變量000000101001110010111011101234567m0m1m2m3m4m5m6m7（3）最小項的性質(zhì)：①任意一個最小項，只有一組變量取值使其值為1。③全部最小項的和必為1。ABCABC②任意兩個不同的最小項的乘積必為0。2、邏輯函數(shù)的最小項表達(dá)式任何一個邏輯函數(shù)都可以表示成唯一的一組最小項之和，稱為標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式，也稱為最小項表達(dá)式對于不是最小項表達(dá)式的與或表達(dá)式，可利用公式A＋A＝1和A(B+C)＝AB＋BC來配項展開成最小項表達(dá)式。如果列出了函數(shù)的真值表，則只要將函數(shù)值為1的那些最小項相加，便是函數(shù)的最小項表達(dá)式。m1＝ABCm5＝ABCm3＝ABCm2＝ABC將真值表中函數(shù)值為0的那些最小項相加，便可得到反函數(shù)的最小項表達(dá)式。[例]

寫出下列函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或式：[解]或m6m7m1m3作業(yè)：

將+BC化成最小項表達(dá)式=m7＋m6＋m3＋m1

邏輯函數(shù)的化簡1邏輯函數(shù)的最簡表達(dá)式2邏輯函數(shù)的公式化簡法3邏輯函數(shù)的圖形化簡法4含隨意項的邏輯函數(shù)的化簡退出

邏輯函數(shù)的化簡

在邏輯運算中有些邏輯函數(shù)往往不是以最簡的形式給出，這既不利于判斷這些邏輯函數(shù)的因果關(guān)系，也不利于用最少的電子器件來實現(xiàn)這些邏輯函數(shù)，因而有必要對這些邏輯函數(shù)進(jìn)行化簡?；喎椒ㄓ写鷶?shù)法和卡諾圖法。一、邏輯函數(shù)表達(dá)式的類型和最簡式的含義1、表達(dá)式的類型

一個邏輯函數(shù)，其表達(dá)式的類型是多種多樣的。人們常按照邏輯電路的結(jié)構(gòu)不同，把表達(dá)式分成5類：與-或、或-與、與非-與非、或非-或非、與-或-非。

例如：

與-或= 與非-與非

與-或-非

或-與

或非-或非2、最簡與-或表達(dá)式

所謂最簡與-或表達(dá)式，是指乘積項的個數(shù)是最少的，而且每個乘積項中變量的個數(shù)也是最少的與-或表達(dá)式。這樣的表達(dá)式邏輯關(guān)系更明顯，而且便于用最簡的電路加以實現(xiàn)（因為乘積項最少，則所用的與門最少；而每個乘積項中變量的個數(shù)最少，則每個與門的輸入端數(shù)也最少），所以化簡有其實用意義。二、代數(shù)法化簡邏輯函數(shù)

代數(shù)法化簡就是反復(fù)使用邏輯代數(shù)的基本公式和定理，消去多余的乘積項和每個乘積項中的多余因子，從而得到最簡表達(dá)式。

邏輯函數(shù)的公式化簡法1、并項法利用公式Ａ＋Ａ＝1，將兩項合并為一項，并消去一個變量。

若兩個乘積項中分別包含同一個因子的原變量和反變量，而其他因子都相同時，則這兩項可以合并成一項，并消去互為反變量的因子。運用摩根定律運用分配律運用分配律2、吸收法如果乘積項是另外一個乘積項的因子，則這另外一個乘積項是多余的。運用摩根定律（１）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ，消去多余的項。（２）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ+Ｂ，消去多余的變量。

如果一個乘積項的反是另一個乘積項的因子，則這個因子是多余的。３、配項法（１）利用公式Ａ＝Ａ（Ｂ＋Ｂ），為某一項配上其所缺的變量，以便用其它方法進(jìn)行化簡。（２）利用公式Ａ＋Ａ＝Ａ，為某項配上其所能合并的項。４、消去冗余項法利用冗余律ＡＢ＋ＡＣ＋ＢＣ＝ＡＢ＋ＡＣ，將冗余項ＢＣ消去。例：化簡函數(shù)解：①先求出Y的對偶函數(shù)Y＇，并對其進(jìn)行化簡。②求Y＇的對偶函數(shù)，便得Ｙ的最簡或與表達(dá)式。例：已知邏輯函數(shù)表達(dá)式為把它化為最簡的與-或邏輯函數(shù)表達(dá)式。

解：

解：例：化簡邏輯函數(shù)：

（利用）（利用A+AB=A）

解：例：化簡邏輯函數(shù)（利用反演律）利用）（配項法）（利用A+AB=A）（利用A+AB=A）（利用）三、卡諾圖法化簡邏輯函數(shù)

卡諾圖化簡法是邏輯函數(shù)式的圖解化簡方法。它克服了代數(shù)化簡法對最終化簡結(jié)果難以確定的缺點，具有確定的化簡步驟，能比較方便地獲得邏輯函數(shù)的最簡與-或表達(dá)式。1、邏輯函數(shù)的最小項（1）最小項的定義

在邏輯函數(shù)表達(dá)式中，如果一個乘積項包含了所有的輸入變量，而且每個變量都是以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次，且僅出現(xiàn)一次，該乘積項就稱為最小項。、

、A(B+C)等則不是最小項。例如，A、B、C三個邏輯變量的最小項有（23＝）8個，即、、、、、、、31（2）、最小項的編號

三個變量的所有最小項的真值表m0m1m2m3m4m5m6m7最小項的表示：通常用mi表示最小項，m

表示最小項,下標(biāo)i為最小項號。000100000000010100000001000100000100000010000110001000010100000100110000000101110000000132對于變量的任一組取值，全體最小項之和為1。對于任意一個最小項，只有一組變量取值使得它的值為1；

對于變量的任一組取值，任意兩個最小項的乘積為0；0001000000000101000000010001000001000000100001100010000101000001001100000001011100000001三個變量的所有最小項的真值表

（3）、最小項的性質(zhì)

33

（4）、邏輯函數(shù)的最小項表達(dá)式為“與或”邏輯表達(dá)式；在“與或”式中的每個乘積項都是最小項。例1將化成最小項表達(dá)式=m7＋m6＋m3＋m5

邏輯函數(shù)的最小項表達(dá)式：34

（4）、邏輯函數(shù)的最小項表達(dá)式為“與或”邏輯表達(dá)式；在“與或”式中的每個乘積項都是最小項。例1將化成最小項表達(dá)式=m7＋m6＋m3＋m5

邏輯函數(shù)的最小項表達(dá)式：35

例2

將

化成最小項表達(dá)式a.去掉非號b.去括號2、邏輯函數(shù)的卡諾圖（1）卡諾圖的畫法規(guī)則n個邏輯變量可以組成2n個最小項。在這些最小項中，如果兩個最小項僅有一個因子不同，而其余因子均相同，則稱這兩個最小項為邏輯相鄰項。為表示最小項之間的邏輯相鄰關(guān)系，美國工程師卡諾設(shè)計了一種最小項方格圖。他把邏輯相鄰項安排在相鄰的方格中，按此規(guī)律排列起來的最小項方格圖成為卡諾圖。在畫卡諾圖時，應(yīng)遵循如下規(guī)定：①將n變量函數(shù)填入一個分割成2n個小方格的矩形圖中，每個最小項占一格，方格的序號和最小項的序號一致，由方格左邊和上邊二進(jìn)制代碼的數(shù)值確定。②卡諾圖要求上下、左右相對的邊界、四角等相鄰格只允許一個變量發(fā)生變化(即相鄰最小項只有一個變量取值不同)。（2）用卡諾圖表示邏輯函數(shù)

既然任何一個邏輯函數(shù)都可以表示為若干個最小項之和形式，那么也就可以用卡諾圖來表示邏輯函數(shù)。實現(xiàn)用卡諾圖來表示邏輯函數(shù)的一般步驟是：①先將邏輯函數(shù)化成最小項表達(dá)式；②在相應(yīng)變量卡諾圖中標(biāo)出最小項，把式中所包含的最小項在卡諾圖相應(yīng)小方格中填1，其余的方格填上0(或不填)。38AB10100100011110

m0

m1

m2

m3

m4

m5

m6

m7

m12

m13

m14

m15

m8

m9

m10

m110001111000011110ABCD三變量卡諾圖四變量卡諾圖兩變量卡諾圖m0m1m2m3ACCBCA

m0

m1

m2

m3

m4

m5

m6

m7ADBB39（3）、

已知邏輯函數(shù)畫卡諾圖當(dāng)邏輯函數(shù)為最小項表達(dá)式時，在卡諾圖中找出和表達(dá)式中最小項對應(yīng)的小方格填上1，其余的小方格填上0（有時也可用空格表示），就可以得到相應(yīng)的卡諾圖。任何邏輯函數(shù)都等于其卡諾圖中為1的方格所對應(yīng)的最小項之和。例1：畫出邏輯函數(shù)L(A,B,C,D)=(0,1,2,3,4,8,10,11,14,15)的卡諾圖40例2

畫出下式的卡諾圖00000解1.將邏輯函數(shù)化為最小項表達(dá)式2.填寫卡諾圖3、用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)

化簡的依據(jù)：基本公式

、常用公式

。因為卡諾圖中最小項的排列符合相鄰性規(guī)則，因此可以直接的在卡諾圖上合并最小項。因而達(dá)到化簡邏輯函數(shù)的目的。（1）、化簡的依據(jù)42（2）、化簡的步驟用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的步驟如下：④、將所有包圍圈對應(yīng)的乘積項相加。①、

將邏輯函數(shù)寫成最小項表達(dá)式②、按最小項表達(dá)式填卡諾圖，凡式中包含了的最小項，其對應(yīng)方格填1，其余方格填0。③、合并最小項，即將相鄰的1方格圈成一組(包圍圈)，每一組含2n個方格，對應(yīng)每個包圍圈寫成一個新的乘積項。本書中包圍圈用虛線框表示。43畫包圍圈時應(yīng)遵循的原則：

①、包圍圈內(nèi)的方格數(shù)一定是2n個，且包圍圈必須呈矩形。②、循環(huán)相鄰特性包括上下底相鄰，左右邊相鄰和四角相鄰。③、同一方格可以被不同的包圍圈重復(fù)包圍多次，但新增的包圍圈中一定要有原有包圍圈未曾包圍的方格。④、一個包圍圈的方格數(shù)要盡可能多,包圍圈的數(shù)目要可能少。44例:用卡諾圖法化簡下列邏輯函數(shù)（2）畫包圍圈合并最小項，得最簡與-或表達(dá)式

解：(1)由L畫出卡諾圖(0，2，5，7，8，10，13，15)450111111111111110例:用卡諾圖化簡0111111111111110圈0圈1兩點說明：①在有些情況下，最小項的圈法不只一種，得到的各個乘積項組成的與或表達(dá)式各不相同，哪個是最簡的，要經(jīng)過比較、檢查才能確定。ＡＣＤ＋ＢＣＤ＋ＡＢＣ＋ＡＤ不是最簡ＢＣＤ＋ＡＢＣ＋ＡＤ最簡②在有些情況下，不同圈法得到的與或表達(dá)式都是最簡形式。即一個函數(shù)的最簡與或表達(dá)式不是唯一的。ＡＣ＋ＡＢＤ＋ＡＢＣ＋ＢＣＤＡＣ＋ＡＢＤ＋ＡＢＣ＋ＡＢＤ

含隨意項的邏輯函數(shù)的化簡隨意項：函數(shù)可以隨意取值（可以為0，也可以為1）或不會出現(xiàn)的變量取值所對應(yīng)的最小項稱為隨意項，也叫做約束項或無關(guān)項。1、含隨意項的邏輯函數(shù)例如：判斷一位十進(jìn)制數(shù)是否為偶數(shù)。不會出現(xiàn)不會出現(xiàn)不會出現(xiàn)不會出現(xiàn)不會出現(xiàn)不會出現(xiàn)

說明×111100111×111010110×110100101×110010100×101100011×10101001001001000011100010000YABCDYABCD輸入變量A，B，C，D取值為0000～1001時，邏輯函數(shù)Y有確定的值，根據(jù)題意，偶數(shù)時為1，奇數(shù)時為0。

A，B，C，D取值為1010～1111的情況不會出現(xiàn)或不允許出現(xiàn)，對應(yīng)的最小項屬于隨意項。用符號“φ”、“×”或“d”表示。隨意項之和構(gòu)成的邏輯表達(dá)式叫做隨意條件或約束條件，用一個值恒為0的條件等式表示。含有隨意條件的邏輯函數(shù)可以表示成如下形式：2、含隨意項的邏輯函數(shù)的化簡在邏輯函數(shù)的化簡中，充分利用隨意項可以得到更加簡單的邏輯表達(dá)式，因而其相應(yīng)的邏輯電路也更簡單。在化簡過程中，隨意項的取值可視具體情況取0或取1。具體地講，如果隨意項對化簡有利，則取1；如果隨意項對化簡不利，則取0。不利用隨意項的化簡結(jié)果為：利用隨意項的化簡結(jié)果為：3、變量互相排斥的邏輯函數(shù)的化簡在一組變量中，如果只要有一個變量取值為1，則其它變量的值就一定為0，具有這種制約關(guān)系的變量叫做互相排斥的變量。變量互相排斥的邏輯函數(shù)也是一種含有隨意項的邏輯函數(shù)。簡化真值表本節(jié)小結(jié)

邏輯函數(shù)的化簡有公式法和圖形法等。公式法是利用邏輯代數(shù)的公式、定理和規(guī)則來對邏輯函數(shù)化簡，這種方法適用于各種復(fù)雜的邏輯函數(shù)，但需要熟練地運用公式和定理，且具有一定的運算技巧。圖形法就是利用函數(shù)的卡諾圖來對邏輯函數(shù)化簡，這種方法簡單直觀，容易掌握，但變量太多時卡諾圖太復(fù)雜，圖形法已不適用。在對邏輯函數(shù)化簡時，充分利用隨意項可以得到十分簡單的結(jié)果。邏輯函數(shù)的表示方法及其相互轉(zhuǎn)換1邏輯函數(shù)的表示方法2邏輯函數(shù)表示方法之間的轉(zhuǎn)換退出邏輯函數(shù)的表示方法1、真值表真值表：是由變量的所有可能取值組合及其對應(yīng)的函數(shù)值所構(gòu)成的表格。真值表列寫方法：每一個變量均有0、1兩種取值，n個變量共有2i種不同的取值，將這2i種不同的取值按順序（一般按二進(jìn)制遞增規(guī)律）排列起來，同時在相應(yīng)位置上填入函數(shù)的值，