人教版 初中數(shù)學八年級上冊 12.3.1角的平分線性質(zhì)

人教版八年級數(shù)學(上)12.3.1角的平分線的性質(zhì)（1）1、什么是角的平分線？如圖，如何用幾何語言表示角平分線？一條射線把一個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線。oBCA如果OC是∠AOB的平分線那么∠AOC=∠BOC=1/2∠AOB復習預習2.下圖中能表示點P到直線l的距離的是線段PC的長3.猜想：如圖，OC平分∠AOB,點P在OC

上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，則

．ABOPCDEPD=PE問題一

已知一個角，怎樣得到這個角的平分線？

追問1

在生產(chǎn)生活中，這些方法是否可行呢？用量角器度量，也可用折紙的方法．探求新知追問2下圖是一個平分角的儀器，其中AB=AD，BC=DC，將點A放在角的頂點，AB和AD沿著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線AE，AE就是∠DAB的平分線．你能說明它的道理嗎？ABDCE證明：在△ACD和△ACB中

AD=ABDC=BCCA=CA∴△ACD≌△ACB（SSS）

∴∠CAD=∠CAB∴AC平分∠DAB

追問3

從利用平分角的儀器畫角的平分線中，你受到哪些啟發(fā)？如何利用直尺和圓規(guī)作一個角的平分線？追問4

你能說明為什么射線OC是∠AOB的平分線嗎？ABOMNC如圖，任意作一個角∠AOB，作出∠AOB的平分線OC，在OC上任取一點P，過點P畫出OA，OB的垂線，分別記垂足為D，E，測量PD，PE并作比較，你得到什么結(jié)論？問題二

利用尺規(guī)我們可以作一個角的平分線，那么角的平分線有什么性質(zhì)呢？

ABOPCDE結(jié)論：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。

已知：∠AOC=∠BOC，點P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E．

求證：PD=PE．追問1通過動手實驗、觀察比較，我們發(fā)現(xiàn)“角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等”，你能通過嚴格的邏輯推理證明這個結(jié)論嗎？ABOPCDE證明：∵OC平分∠AOB（已知）

∴∠AOC=∠BOC（角平分線的定義）

∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知）

∴∠PDO=∠PEO=90°（垂直的定義）在△PDO和△PEO中

∠PDO=∠PEO（已證）

∠AOC=∠BOC（已證）

OP=OP（公共邊）

∴

△PDO≌△PEO（AAS）

∴PD=PE（全等三角形的對應(yīng)邊相等）PAOBCED角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。ABOPCDE∵∠AOC=∠BOC，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE．(角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等).追問2角平分線的性質(zhì)如何用幾何語言書寫？注意：角平分線性質(zhì)，主要是用于判斷和證明兩條線段相等，與以前的方法相比，運用此性質(zhì)不需要先證兩個三角形全等．追問3由角的平分線的性質(zhì)的證明過程，你能概括出證明幾何命題的一般步驟嗎？（1）明確命題中的已知和求證；（2）根據(jù)題意，畫出圖形，并用數(shù)學符號表示已知和求證；（3）經(jīng)過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過程．（1）如圖，OC平分∠AOB，點P在OC上，D，E分別為OA，OB上的點，則PD=PE．（2）如圖，點P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，則PD=PE．（3）如圖，OC平分∠AOB，點P在OC上，PD⊥OA，垂足為D．若PD=3，則點P到OB的距離為3．解決問題練習1.下列結(jié)論一定成立的是

．PABCODEABCODEPABCODP2、如圖，要在S區(qū)建一個集貿(mào)市場，使它到公路、鐵路距離相等，離公路與鐵路交叉處500米，這個集貿(mào)市場應(yīng)建于何處（在圖上標出它的位置，比例尺為1:20000）？2.5cm在此題的已知條件下，你還能得到哪些結(jié)論？

3.

如圖，△ABC中，∠B=∠C，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)．求證：EB=FC．ABCDEF鞏固練習一、填空題1．如圖1，在△ABC中，∠C＝900，BC＝40，AD是∠BAC的平分線交BC于D，且DC∶DB＝3∶5，則點D到AB的距離是

。2．如圖2所示，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，AD＝2cm，則點D到BC的距離為________cm．

DCBA3．如圖3，已知BD是∠ABC的內(nèi)角平分線，CD是∠ACB的外角平分線，由D出發(fā)，作點D到BC、AC和AB的垂線DE、DF和DG，垂足分別為E、F、G，則DE、DF、DG的關(guān)系是

。4．如圖，已知AB∥CD，O為∠A、∠C的角平分線的交點，OE⊥AC于E，且OE=2，則兩平行線間AB、CD的距離等于

。5．已知△ABC中，∠A=80°，∠B和∠C的角平分線交于O點，則∠BOC=

PDCBA6．已知Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=32，且BD：CD=9：7，則D到AB邊的距離為()A．18B．16C．14D．127．如圖，AE⊥BC于E，CA為∠BAE的角平分線，AD=AE，連結(jié)CD，則下列結(jié)論不正確的是()A．CD=CEB．∠ACD=∠ACEC．∠CDA=90°D．∠BCD=∠ACD如圖，∠AOP=∠BOP，AD⊥OB于D，BC⊥OA于C，AD與BC交于點P。求證：AP=BP。試一試ABCD

PO談?wù)劚竟?jié)課你有哪些收獲？課堂小結(jié)回味無窮用尺規(guī)作角的平分線.角平分線的性質(zhì)文字語言:

角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.符號語言：∵∠AOC＝∠BOC,PD⊥OA,PE⊥OB(已知