飛機(jī)結(jié)構(gòu)力學(xué)-第2章

第2章能量原理及其在結(jié)構(gòu)分析中的應(yīng)用2.1彈性力學(xué)問(wèn)題及基本方程2.2功和能的概念2.3廣義力與廣義位移2.4虛功原理和最小位能原理2.5余虛功原理和最小余能原理2.6疊加原理與位移互等定理2.7能量原理在結(jié)構(gòu)分析中的應(yīng)用第2章能量原理及其在結(jié)構(gòu)分析中的應(yīng)用2.1彈性力學(xué)問(wèn)題及基本方程2.2功和能的概念2.3廣義力與廣義位移2.4虛功原理和最小位能原理2.5余虛功原理和最小余能原理2.6疊加原理與位移互等定理2.7能量原理在結(jié)構(gòu)分析中的應(yīng)用能量原理簡(jiǎn)介能量原理是進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析的基礎(chǔ)。是一些重要的近似解法，如瑞利-李茲法、伽遼金法及有限元素法等的理論依據(jù)。能量原理的理論基礎(chǔ)是彈性力學(xué)基本理論。彈性力學(xué)基本方程——平衡微分方程彈性力學(xué)基本方程——平衡微分方程彈性力學(xué)基本方程——幾何方程彈性力學(xué)基本方程——物理方程彈性體的邊界條件位移邊界條件（運(yùn)動(dòng)學(xué)邊界條件）應(yīng)力邊界條件，，變形協(xié)調(diào)方程按位移求解時(shí)，位移分量須滿足用位移分量表示的平衡微分方程、位移邊界條件以及用位移分量表示的應(yīng)力邊界條件，這樣求得的解即為問(wèn)題的解，不需要其它附加方程或條件。按應(yīng)力求解時(shí)，應(yīng)力分量除了滿足平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件外，還必須滿足變形協(xié)調(diào)方程，否則，不可能從應(yīng)力分量解得連續(xù)的位移。第2章能量原理及其在結(jié)構(gòu)分析中的應(yīng)用2.1彈性力學(xué)問(wèn)題及基本方程2.2功和能的概念2.3廣義力與廣義位移2.4虛功原理和最小位能原理2.5余虛功原理和最小余能原理2.6疊加原理與位移互等定理2.7能量原理在結(jié)構(gòu)分析中的應(yīng)用線性彈性體如果材料符合虎克定律，而且構(gòu)件或結(jié)構(gòu)的變形很小，以致不影響外力的作用，則構(gòu)件或結(jié)構(gòu)的位移與載荷成正比。外力功（W）在外力作用下，彈性體發(fā)生變形，外力作用點(diǎn)隨之發(fā)生位移。外力在外力作用點(diǎn)相應(yīng)位移上所作的功。2.2.1外力功和應(yīng)變能外力功（W）克拉比?。–lapeyron）定理：不論按何種方式加載，作用在線性彈性體上的廣義載荷F1，F(xiàn)2，…與Fn在相應(yīng)位移1，2，…與n上所做之總功恒為例題圖示懸臂梁，承受集中力F與矩為M

e的集中力偶作用。試計(jì)算外力所做之總功。設(shè)彎曲剛度EI為常數(shù)。2.2.1外力功和應(yīng)變能彈性體的應(yīng)變能（變形能、位能，U）一個(gè)彈性體在外力作用下發(fā)生變形時(shí)，彈性體內(nèi)所貯存的能量。彈性體的應(yīng)變能等于外力所做的功，也等于負(fù)的內(nèi)力功。應(yīng)變能密度單位體積彈性體內(nèi)的應(yīng)力在其應(yīng)變上所做的功。2.2.1外力功和應(yīng)變能外力余功（W

）曲線上面的那部分面積所代表的功量。2.2.1外力功和應(yīng)變能余應(yīng)變能（U

）余應(yīng)變能密度余應(yīng)變能外力余功等于彈性體的余應(yīng)變能。余應(yīng)變能無(wú)物理意義，但同樣服從能量守恒原理。2.2.1外力功和應(yīng)變能線彈性系統(tǒng)：外力逐漸消除后，系統(tǒng)恢復(fù)原形態(tài)，不產(chǎn)生殘余變形；在外力作用下，產(chǎn)生的變形與外力、應(yīng)變與應(yīng)力之間的關(guān)系服從虎克定律，呈線性關(guān)系；線彈性系統(tǒng)的應(yīng)變能和余能相等。軸向拉伸和壓縮應(yīng)變能2.2.2幾種基本變形的應(yīng)變能彎曲應(yīng)變能

2.2.2幾種基本變形的應(yīng)變能剪切應(yīng)變能

2.2.2幾種基本變形的應(yīng)變能扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能

2.2.2幾種基本變形的應(yīng)變能組合變形下的應(yīng)變能在外載荷作用下，剛架結(jié)構(gòu)桿件的內(nèi)力有軸力、剪力、彎矩和扭矩（對(duì)空間剛架），桿件產(chǎn)生的變形有拉壓、轉(zhuǎn)角、桿截面在水平方向、垂直方向剪切變形，和繞中心扭轉(zhuǎn)產(chǎn)生的剪切變形。當(dāng)桿件變形很微小時(shí)，每一種內(nèi)力僅在和自己相應(yīng)的變形上做功。整個(gè)結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能：2.2.2幾種基本變形的應(yīng)變能組合變形下的應(yīng)變能同一類型的幾個(gè)載荷共同作用時(shí)，所產(chǎn)生的應(yīng)變能不能用每個(gè)載荷單獨(dú)作用產(chǎn)生的應(yīng)變能之和求得。因?yàn)橐粋€(gè)載荷會(huì)在另一個(gè)載荷引起的變形上做功而產(chǎn)生交叉項(xiàng)。2.2.2幾種基本變形的應(yīng)變能例題圖示簡(jiǎn)支梁，在橫截面C處承受載荷F作用。試計(jì)算梁的應(yīng)變能與截面C的撓度。設(shè)彎曲剛度EJz為常數(shù)。2.2.2幾種基本變形的應(yīng)變能第2章能量原理及其在結(jié)構(gòu)分析中的應(yīng)用2.1彈性力學(xué)問(wèn)題及基本方程2.2功和能的概念2.3廣義力與廣義位移2.4虛功原理和最小位能原理2.5余虛功原理和最小余能原理2.6疊加原理與位移互等定理2.7能量原理在結(jié)構(gòu)分析中的應(yīng)用2.3.1廣義力與廣義位移的定義任何一個(gè)或一組相互有關(guān)的力，如果可以用一個(gè)代數(shù)量來(lái)表示它，則稱它為一個(gè)廣義力。P=[P,MT,M]與此廣義力相對(duì)應(yīng)的位移稱為廣義位移。=[,,]T廣義力與相應(yīng)的廣義位移乘積的“1/2”等于該廣義力所做的功?！凹袅鳌备拍顚?duì)于薄壁結(jié)構(gòu)計(jì)算模型而言，板的厚度相對(duì)于長(zhǎng)、寬等其它尺寸是很小的，可以認(rèn)為板很薄?？山普J(rèn)為板剖面上的剪應(yīng)力沿厚度不變。板單位長(zhǎng)度上的剪力為t

1稱為“剪流”，用q表示。剪流的量綱為[力/長(zhǎng)度]，在圖上常用半個(gè)箭頭表示。2.3.2典型元件舉例承受常剪流作用的矩形板2.3.2典型元件舉例變軸力桿2.3.2典型元件舉例梯形受剪板常用元件的廣義力和廣義位移第2章能量原理及其在結(jié)構(gòu)分析中的應(yīng)用2.1彈性力學(xué)問(wèn)題及基本方程2.2功和能的概念2.3廣義力與廣義位移2.4虛功原理和最小位能原理2.5余虛功原理和最小余能原理2.6疊加原理與位移互等定理2.7能量原理在結(jié)構(gòu)分析中的應(yīng)用2.4.1虛功原理力學(xué)中最基本而且最普遍的原理之一。用途：求解平衡問(wèn)題最一般的方法。適用范圍：處在平衡狀態(tài)中的任何系統(tǒng)，包括剛體、彈性體以及塑性體。2.4.1虛功原理虛位移與虛功實(shí)位移（u）由外力引起的、與外力緊密相關(guān)的、客觀存在著的位移。實(shí)功（W）外力在相應(yīng)實(shí)位移上所做的功、彈性體內(nèi)力在相應(yīng)變形上所做的功。虛位移（u）假想的、滿足約束條件的、任意的、微小的連續(xù)位移。對(duì)于彈性體，凡是在內(nèi)部滿足變形連續(xù)條件、在邊界上滿足幾何約束條件的任何一種微小位移都可選作為虛位移。在發(fā)生虛位移的瞬間，彈性系統(tǒng)原外力和內(nèi)力均保持不變。2.4.1虛功原理虛位移與虛功虛功（W）彈性系統(tǒng)發(fā)生虛位移時(shí)，原外力在作用點(diǎn)發(fā)生的相應(yīng)虛位移上所做的功、原內(nèi)力在虛位移引起的相應(yīng)變形上所做的功。外力虛功（WE）內(nèi)力虛功（WI）虛應(yīng)變能（u）2.4.1虛功原理虛功原理（虛位移原理）如果彈性系統(tǒng)在外力作用下處于平衡狀態(tài)，則當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生滿足變形連續(xù)條件和給定的幾何約束條件的、任意的、微小的虛位移時(shí)，系統(tǒng)中所有的外力和內(nèi)力所做的虛功總和為零。如果一個(gè)彈性體在給定的外力作用下處于平衡，則對(duì)于約束條件允許的、任意的虛位移，外力所做的虛功等于彈性體的虛應(yīng)變能。外力和內(nèi)力所做的虛功總和為零是物體處于平衡的充分必要條件。2.4.2最小位能原理外力位能（V）：彈性體的總位能（）：一個(gè)泛函，是位移函數(shù){u}的函數(shù)。位移函數(shù){u}是滿足幾何邊界條件的任意的單值連續(xù)函數(shù)——泛函的容許函數(shù)。容許函數(shù)可以有無(wú)窮多組，每一組容許函數(shù)都對(duì)應(yīng)有的某一取值。2.4.2最小位能原理最小位能原理2.4.2最小位能原理最小位能原理在滿足位移邊界條件的所有容許的位移中，真實(shí)位移，即又滿足平衡條件的位移必使彈性體的總位能有駐值。當(dāng)系統(tǒng)為穩(wěn)定平衡時(shí)，這個(gè)駐值是最小值，即總位能為最小。實(shí)際存在的位移，除了滿足位移邊界條件外，還滿足最小位能原理。2.4.2最小位能原理應(yīng)用例題一如圖所示的桁架，在結(jié)點(diǎn)1處受到水平方向和垂直方向的集中力Px和Py的作用。用最小位能原理求結(jié)點(diǎn)1的水平和垂直位移。2.4.2最小位能原理應(yīng)用例題二用最小位能原理求圖示結(jié)構(gòu)在外力P作用下C點(diǎn)的下垂位移。設(shè)材料是線彈性的，桿的橫截面積EA為常數(shù)。第2章能量原理及其在結(jié)構(gòu)分析中的應(yīng)用2.1彈性力學(xué)問(wèn)題及基本方程2.2功和能的概念2.3廣義力與廣義位移2.4虛功原理和最小位能原理2.5余虛功原理和最小余能原理2.6疊加原理與位移互等定理2.7能量原理在結(jié)構(gòu)分析中的應(yīng)用2.5.1余虛功原理虛功原理用于考察一組已經(jīng)滿足變形協(xié)調(diào)條件的位移分量和應(yīng)變分量是否滿足平衡條件和如何才能滿足平衡條件。虛功原理以位移或應(yīng)變作為基本未知量。余虛功原理用于考察一組已經(jīng)滿足平衡條件的應(yīng)力分量是否滿足變形協(xié)調(diào)條件和如何才能滿足變形協(xié)調(diào)條件。余虛功原理以力或應(yīng)力作為基本未知量。余虛功原理與虛功原理互補(bǔ)。2.5.1余虛功原理虛力（虛應(yīng)力）假想的、滿足平衡條件的、任意的、無(wú)限小的外力（應(yīng)力）余虛功（W）虛力在實(shí)位移上所做的功、虛內(nèi)力在實(shí)位移引起的相應(yīng)變形上所做的功。外力余虛功：內(nèi)力余虛功：余虛應(yīng)變能：2.5.1余虛功原理余虛功原理（虛力原理）如果在外力作用下平衡的彈性體處于變形協(xié)調(diào)狀態(tài)，則對(duì)于滿足平衡條件的任意的、微小的虛力和相應(yīng)的虛應(yīng)力在真實(shí)位移上所做的余虛功的總和必為零。如果在外力作用下平衡的彈性體處于變形協(xié)調(diào)狀態(tài)，則對(duì)于從平衡位置開始的任意的虛力和相應(yīng)的虛應(yīng)力，虛力的余虛功必等于余虛應(yīng)變能。余虛功原理是彈性體處于變形協(xié)調(diào)狀態(tài)的充要條件。2.5.2最小余能原理最小余能原理與最小位能原理互補(bǔ)，由余虛功原理導(dǎo)出。外力余能（V）彈性體的總余能（）：總余能是應(yīng)力分量的泛函。應(yīng)力分量是滿足平衡條件和力的邊界條件的任意單值連續(xù)函數(shù)——泛函的容許函數(shù)。這樣的容許函數(shù)可以有無(wú)窮多組，每一組容許函數(shù)都對(duì)應(yīng)有的某一取值。2.5.2最小余能原理最小余能原理:在彈性體內(nèi)滿足平衡方程，在S上滿足力的邊界條件的所有容許的應(yīng)力狀態(tài)中，只有滿足變形協(xié)調(diào)條件的應(yīng)力才是真正的應(yīng)力狀態(tài)，使其總余能為最小值。真實(shí)的應(yīng)力除了滿足平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件以外，還滿足最小余能原理(總余能的極值條件就是變形協(xié)調(diào)條件)。第2章能量原理及其在結(jié)構(gòu)分析中的應(yīng)用2.1彈性力學(xué)問(wèn)題及基本方程2.2功和能的概念2.3廣義力與廣義位移2.4虛功原理和最小位能原理2.5余虛功原理和最小余能原理2.6疊加原理與位移互等定理2.7能量原理在結(jié)構(gòu)分析中的應(yīng)用2.6.1疊加原理一線彈性體在諸外力作用下產(chǎn)生的效應(yīng)，等于每個(gè)力單獨(dú)作用下產(chǎn)生的效應(yīng)之和?！靶?yīng)”在這里指系統(tǒng)總的變形和元件的內(nèi)力及變形等。影響系數(shù)：2.6.2位移互等原理功的互等定理對(duì)于線性彈性體，F(xiàn)1在F2所引起的位移12上所作之功，等于F2在F1所引起的位移21上所作之功。2.6.2位移互等原理若線彈性體在i與j分別作用單位載荷，則作用在j點(diǎn)的單位力在i點(diǎn)引起的相應(yīng)i點(diǎn)單位