《熱統(tǒng)》計算題匯總

三、證明、推算題:（9分）1、滿足PVn=C的過程為多方過程，其中常熟n稱為多方指數(shù)。試證明:理想氣體在多方過程中的熱容C”為C=匚c

nn—1V2、（8分）設(shè)有1mol的理想氣體，其狀態(tài)參量由P1、V「T1變化到P2、V2、T2,假設(shè)：（1）此過程為一等溫膨脹過程，求理想氣體內(nèi)能的改變△。，外界對理想氣體所作的功W，理想氣體從外界吸收的熱量Q，以及理想氣體的熵變AS；（2）此過程為一絕熱膨脹過程，求理想氣體內(nèi)能的改變AU，外界對理想氣體所作的功W，理想氣體從外界吸收的熱量Q，以及理想氣體的熵變AS。解：（1）等溫膨脹過程：由于溫度T1=T2=T不變，理想氣體內(nèi)能僅是溫度的函數(shù)，所以△U=0W=-jBpdV=—RTjV2空=—RTln匕TOC\o"1-5"\h\z， A VV V1 1根據(jù)熱力學(xué)第一定律，八 「VQ=—W=RTln*1等溫膨脹過程引起的系統(tǒng)的炳變：△S=—=Rln-^2.TV1（2）絕熱膨脹過程：Q=0,W=AU=C（T—T）AS=CInT+RIn匕v〈匕3、（9分）試根據(jù)熱動平衡的熵判據(jù)，通過簡單推導(dǎo)給出由一個單元兩相系（a，P）構(gòu)成的孤立系統(tǒng)，當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到平衡時所要滿足的平衡條件。解：由一個單元兩相系構(gòu)成的孤立系統(tǒng)，其總內(nèi)能、總體積和總物質(zhì)的量恒定，即Ua+UP=U.Va+VP=V.na+nP=n.， ，設(shè)想系統(tǒng)發(fā)生一個虛變動，在變動中a相和0相的內(nèi)能、總體積和總物質(zhì)的量

分別發(fā)生虛變動，由于整個系統(tǒng)是孤立的，所以有8Ua+8U&=0.8Va+8V&=0.8na+8n&=0.， ，在穩(wěn)定的平衡條件下，整個孤立系統(tǒng)的熵應(yīng)取極大值，即5S—8Sa+5S&=0OS&OS&OU&+pdV&—日&On&

T&5ua+P8dVa—3&naOSa— Ta代入整個孤立系統(tǒng)的熵變，得OS-OSa+OS&L1 1LPaP& LUaU&-OUa（丁—?。?&Va（丁—?。?8na（丁—?。?°在虛變動中，OU、OV、On可以獨(dú)立地改變，OS—0則要求Ta=T&（熱平衡條件），Pa=P&（力學(xué)平衡條件），Ua—U&（相變平衡條件）（7分）用熱力學(xué)理論證明氣體節(jié)流的焦耳一一湯姆遜系數(shù)dT V(二) ——Q6PH=CP(Ta-1)證明：根據(jù)焦湯系數(shù)定義tip］（1分）/H(2分)IS)H祟1IIS)H祟1IP) 守IH1IIT)pO-V

P CPVTa—1)CP(4分)55、（8分）實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，函數(shù)，即氣體的壓強(qiáng)P與體積V的乘積以及內(nèi)能U都只是溫度的pv—fT）U—UT）

試根據(jù)熱力學(xué)理論，討論該氣體的物態(tài)方程可能具有什么形式6、 (7分)根據(jù)熱力學(xué)理論證明：理想氣體的內(nèi)能只是溫度的函數(shù)，與體積無關(guān)。7、 (9分)理想氣體的卡諾循環(huán)包括哪四個準(zhǔn)靜態(tài)過程？請用pV圖和能流圖表示出來，并寫出其效率公式。答：等溫膨脹過程，絕熱膨脹過程，等溫壓縮過程，絕熱壓縮過程。(4分)門卡諾二1門卡諾二1-Q=1-T能流圖8、 (8分)根據(jù)單元兩相系的平衡條件推導(dǎo)克拉伯龍方程。解：取兩相平衡曲線上鄰近兩點(diǎn)。在兩點(diǎn)上，兩相化學(xué)勢相等.M(T,P)=坤0,P)且M(T+dT,P+dP)=p"T+dT,P+dP)上述兩式相減 d[a=d坤兩相的化學(xué)勢的變化相等.du=-SdT+Vdp-S偵dT+Vadp=-SPdT+VPdpm m m mdp_SP-Sad^~VmP-VmammL=T(Sp-Sa)其中L表示1摩爾物質(zhì)有a相轉(zhuǎn)變到。相所吸收的相變潛熱,地-L代入得d「T(VP-Va)Z9、 (7分)試根據(jù)公式0一一i%云證明，對于非相對論粒子s= =^―^^(n2+n2+n2),n,n,n=0,土1,土2,A2m2m"L)xyzxyz

2Up— _8a—1_8a—1_V證明，對于極端相對論粒子p=-Z10、(7分)試根據(jù)公式 1s=cp=c須，2+n2+n2}C,n,n=0,±1,±2,...)，Lxyzxyz.上述結(jié)論對于玻爾茲曼分布，玻色分布和費(fèi)米分布都成立11、（9分）應(yīng)用經(jīng)典的玻爾茲曼分布推導(dǎo)單原子分子理想氣體的壓強(qiáng)P（物態(tài)方程），內(nèi)能U和熱容量Cv。解：根據(jù)玻爾茲曼統(tǒng)計，理想氣體的配分函數(shù)可以表示為Z=J_J??」e—七(Px2+Py2+Pz2)dxdydzdPdPdP1h3 xyz1 +8_1P2 +8_1P2 +8_1P2= dxdydzJe2mPdP?}+e2mPydP?}+e2mPdPh3 -8 x-8 y-8 z2兀m=V(—)3/2hp根據(jù)玻爾茲曼熱力學(xué)量的統(tǒng)計表達(dá)式，DVN_ NkTP=-Y= lnZ= p8y 1V8… 3…U=-N__ln彳=-NkT12、 （7分）試證明，對于一維自由粒子，在長度L內(nèi)，能量在￡到￡+赤范圍內(nèi)，量子態(tài)數(shù)為2L.m、［D（￡）d￡=——（——）1/2赤

h2￡13、 （8分）試證明，對于二維自由粒子，在面積L2內(nèi)，能量在￡到￡+赤范圍內(nèi)，量子態(tài)數(shù)為2rLD（￡）&= md￡h214、 （9分）試證明，對于三維自由粒子，在面積V內(nèi)，能量在￡到￡+赤范圍內(nèi)，量子態(tài)數(shù)為 D（￡）d￡=竺^（2m>2￡12d￡15、（9分）在極端相對論情況下，粒子的能量動量關(guān)系為￡=cp試求在體積V內(nèi)，在能量在￡到￡+d￡范圍內(nèi)三維粒子的量子態(tài)數(shù)。解：對于三維自由粒子，有P=hn,P=hn,P=hn,xLxyLyzLzdP=hdn,dP=hdn,P=hdnxLxyLyzLz在L2面積內(nèi)，動量大小在P—P+dP,P—P+dP，P—P+dP內(nèi)的量子態(tài)xxxy yyzzz數(shù)為dndndn=—dPdPdPxyzh3xyz換為極坐標(biāo)，則動量大小在P-P+dP內(nèi)的量子態(tài)數(shù)為Vdn=^-P2sinQdPdQd^4兀V對0由0積分到n，中從0到2n積分，dn= P2dPh3在極端相對論情況下，粒子的能量動量關(guān)系為￡=cp代入，可得在體積V內(nèi)，在能量在￡到￡+d￡范圍內(nèi)三維粒子的量子態(tài)數(shù)為~、， 4兀V ,D（￡）d￡=^c_^_￡2d￡16、（9分）應(yīng)用玻耳茲曼統(tǒng)計，求二維單原子分子理想氣體系統(tǒng)（1）、粒子的配分函數(shù)Z"（2）、系統(tǒng)的內(nèi)能。解：根據(jù)玻爾茲曼統(tǒng)計，二維單原子分子理想氣體的配分函數(shù)為Z=_LJ???Je-七(Px2+Py2)dxdydPdP1h2 xy=—JJdxdy\+^e-如x2dP.卜edPh2 p xf yx2兀m=Ah^根據(jù)玻爾茲曼熱力學(xué)量的統(tǒng)計表達(dá)式，Nd dNkTP=—Y=qvInZ=NkT^AInZ=___d「 ，U=-N__ln%=NkT17、（9分）利用玻爾茲曼統(tǒng)計推導(dǎo)理想氣體的物態(tài)方程。18、（8分）試推證二維空間中平衡輻射的普朗克公式為Arp2d①U（p,T）dP=—兀c2erPkT—1式中A為二維空間面積，c為光速。解：考慮光子自旋，在面積A內(nèi)，動量大小在p—p+dp范圍內(nèi)二維光子可能的狀態(tài)數(shù)為4兀A,KPdPh2將￡=hP=cp帶入得在P-P+dP范圍內(nèi)光子的量子數(shù)為

兀c2h^ekT—1輻射場的內(nèi)能為U(①,T)仙= --—①dw=--兀c2h^ekT—10兀C2ekT—1rp3如19、（9分）簡要推導(dǎo)普朗克熱輻射公式rp3如VU(①,T)dp=兀2c3erPkT—1式中V為平衡輻射場的體積，c為光速。解：在平衡輻射問題中，光子氣體的統(tǒng)H分布為因?yàn)椋?二-g,京二0意味著平衡狀態(tài)卜-光子氣體的化學(xué)勢為零，在體積為V的空窖內(nèi)，在P到p-Hip的動品范用?光子的量子態(tài)數(shù)為P~dP 以）g為誓慮光K的自旋而引入的簡井度，由于光子的自瓶量子數(shù)為1,所以g=2,根據(jù).能量與動量的關(guān)系s=cp,可以得到在體積為V,光子圓頻率主9到m+Mu范圍內(nèi).AJ-的量『態(tài)數(shù)為’7TC平均光于數(shù)為.v 、"VI 4： （I所以,輻射場中的內(nèi)能為：=二吁——?普朗克公式Cf77-1（8分）利用能量均分定理，寫出CO分子理想氣體的內(nèi)能與熱容量（不考慮振動），并簡要說明在常溫范圍，振動自由度對熱容量貢獻(xiàn)接近于零的原因解：CO為雙原子分子，自由度為i=5，根據(jù)能量均分定理，一個分子的內(nèi)能；U=-NkT2

熱容量根據(jù)定義有C=^-=—Nk。（2分）VdT2常溫范圍內(nèi)雙原子分子的振動能級間距①?kT,由于能級分立，振子須取得能量w才有可能躍遷到激發(fā)態(tài)。在T<<Q（~103（）情形下，此概率極小。幾乎全部振子都凍結(jié)在基態(tài)。當(dāng)氣體溫度升高時，幾乎不吸收能量，所以常溫范圍，振動自由度對熱容量貢獻(xiàn)接近于零。21、（9分）表面活性物質(zhì)的分子在液面上作二維自由運(yùn)動，可以看作二維理想氣體。試寫出在二維理想氣體中分子的速度分布和速率分布，并求最概然速率、平均速率和方均根速率。解：根據(jù)玻爾茲曼分布的經(jīng)典表達(dá)式Awa=e-a-但lTOC\o"1-5"\h\zihr （i）當(dāng)理想氣體作二維運(yùn)動時，分子質(zhì)心運(yùn)動能量的能量為…土E『⑵所以在面積S內(nèi)，質(zhì)心平動動能在dPdPy范圍內(nèi)的分子數(shù)為S 1cc±e廿新（烏2+罕）dPdPh2 xyo由于系統(tǒng)總分子數(shù)為N，即土he土he『o整理后得2mkT(P2+P2)dPdP=N(4)(5)Nh2e—a= 0(5)S2m兀kT將（5）帶入（3），可得在面積S內(nèi)質(zhì)心平動動能在dPdP,范圍內(nèi)的分子數(shù)為N1e-擊(Px2+咋)2m兀kTdPdPxy(6)由于dP=mdv，dP=mdv代入，,—…以一“N得麥克斯韋速度分布函數(shù)：m e2兀kT2kT(vx2+vy2)dvdvxy將直角坐標(biāo)（x,y）轉(zhuǎn)換到極坐標(biāo)（v,9），用vdvd9代替dvdv,⑺并對9積分，可得麥克斯韋速率分布:(8)f(v)