初中數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練-圓-圓周角

精品設(shè)計精品設(shè)計例在半徑等于例在半徑等于5cm的圓內(nèi)有長為5、「3cm的弦，則此弦所對的圓周角為（）.(A)60°或120°(B)30°或120°C)60°D)120°解：如圖，OA=OB=5cm,AB=5「3cm.過O作OC上AB于C，15則AC=2AB2v3cm-?.?sina=器2<3/5OA2Ta為銳角,???a=60°???ZAOB=12O°當(dāng)圓周角的頂點在優(yōu)弧怔上時，得ZADB=60；當(dāng)圓周角的頂點在劣弧晶上時.得ZAD'=120°.?此弦所對的圓周角為60°或120°．說明：此題為基礎(chǔ)題，求一條弦所對的圓周角.圓周角的頂點可以在這條弦所對的優(yōu)孤上也可以這這條弦所對的劣弧上.例（河南省，2002）已知：如圖，以AABC的BC邊為直徑的半圓交AB于D,交AC于E,過E作EF丄BC,垂足為F，且BF:FC=5:1，AB=8，AE=2.求EC的長.分析：連結(jié)BE，構(gòu)造直角三角形，并出現(xiàn)典型的雙垂直圖形，通過解直角三角形解得.解：如圖，連結(jié)BE，則BE丄AC,?BE2AB2AE2822260，設(shè)BF=5x，BC=6x.?EF丄BC,ZEBF=ZCBE,???△BEFs^BCE,??.BE2BFBC.即60=5x?6x,TFC>0,???x<2.?BC6x6V2,???EC2BC2BE2726012,.?.EC2.說明：①添加輔助線，構(gòu)造直角三角形；②構(gòu)成典型的雙垂直圖形，非常重要.例（陜西省，2002）已知：如圖，BC為半圓O的直徑，F(xiàn)是半圓上異于B、C的一點，A是餓的中點，AD丄BC于點D,BF交AD于點E.（1）求證：BE?BF=BD?BC;（2）試比較線段BD與AE的大小，并說明道理.分析：（1）連結(jié)FC，證△BDE^△BCF即可；（2）要比較兩條線段的大小，通常是把兩條線段轉(zhuǎn)移到一個三角形內(nèi)，利用大角對大邊來判斷證明：（1）連結(jié)FC，則BF丄FC.在厶BDE和ABCF中，?ZBEC=ZEDB=90°，ZEBC=ZEBDBEBCBD麗’即BE?BF=BD?BC.?△BDE^△BCF.解：(2)AE>BD，連結(jié)AC.AB，則ZBAC=90°=,???Z1=Z2.又?Z2+ZABC=90°，Z3+ZABD=90°，?Z2=Z3，?AE=BE.在Rt^EBD中，BE>BD,.?.AE〉BD.說明：①訓(xùn)練學(xué)生添加輔助線；②第（2）小問是教材P102中3題的拓展.例（太原市，2002）如圖，已知BC為?0的直徑，AD丄BC，垂足為D,BF交AD于E,且AE=BF．1）求證：(2)如果siiZFBC=3,AB4^5,求ad的長.5解：(1)連結(jié)AC.VBC是?0的直徑，???ZBAC=90又AD丄BC,垂足為D,???Z1=Z3.在AAEB中，AE=BE,AZ1=Z2.AZ2=Z3,?BE=5x(2)設(shè)DE=3x,?.?AD丄BC,siiZFBC=匸，5BD=4x.VAE=BE,.?AE=5x,AD=8x.在Rt^ADB中，ZADB=90°,AB4{5,.?.?x)2(4x)2(4y5)2.解這個方程，得x=1，?AD=8.說明：①此題是教材P102中3題的變形；②訓(xùn)練學(xué)生求線段長度的方法：直接求和列方程求解.典型例題五例如圖，等腰三角形中，ABAC，頂角為40，以其一腰AB為直徑作半圓分別交AC、BC于E、D,求ED、DE、AE的度數(shù).分析：一般在圓或半圓中要作出一些輔助線構(gòu)成直角.本題若連結(jié)AD，則AB為直徑，AD和BC互相垂直，再應(yīng)用等腰三角形三線合一的性質(zhì),問題就解決了.解連結(jié)AD，AB為直徑，ADBC

又ABAC，BAD2BAC20，BD40,同理，DE又ABAC，BAD2BAC20，BD40,同理，DE40說明：弧的度數(shù)等于它所對的圓心角的度數(shù)，也等于它所對的圓周角的度數(shù)的2倍.已知中有關(guān)于直徑的條件時，常添輔助線使之構(gòu)成直角三角形.典型例題六例（遼寧省試題，2002）已知：如圖，AB是?0的半徑，C是?0上一點，連結(jié)AC,過點C作直線CDAB于D（ADDB），點E是DB上任意一點（點D、B除外），直線CE交?0于點F，連結(jié)AF與直線CD交于點G.（1）求證：AC2AGAF；（2）若點E是AD（點A除外）上任意一點，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請畫出圖形并給予證明，若不成立，請說明理由.(1)證明：證法一：延長CG交?0于HCDAB:,ACAH???ACGCFA又CAGFAC，???ACGsAFCACAF?…肘aF即AC2AGAF證法二：連結(jié)CBADC90AB是直徑，CDAB,ACBADC90?RtCADsRtBAC?ACDABC又ABCAFC，9?ACDAFC又CAGFAC，9?ACGsAFCAC?AF…AGAC即AC2AGAF

（2）當(dāng)點E是AD（點A除外）上任意一點時，上述結(jié)論仍成立.i）如圖（1）,當(dāng)點E是AD（點（2）當(dāng)點E是AD（點A除外）上任意一點時，上述結(jié)論仍成立.i）如圖（1）,當(dāng)點E是AD（點A除外）上任意一點（不包括點D）時.證法一：設(shè)CG與?0交于HCDAB.AFC又CAF.AFCAFsACAG/*-s,AHACGGACACG即AC2AGAF?.?RtCADsRtBAC.ACDABC又ABCAFC，.ACDAFC.CAGFAC，.ACGsFACACAF…AGAC即AC2AGAF證法二：如圖（2），連結(jié)CBii）如圖（3）,當(dāng)點E與點D重合時，F(xiàn)與G也重合，有AGAFCDAB，..AGAF因此AC2AGAF.F(G)(3)典型例題七例如圖，已知：在?0中，弦ABCDBC于E，求證：0E1AD0E分析：設(shè)法找出長為20E的線段，由E為BC的中點，聯(lián)想到中位線定理，進而構(gòu)造出有關(guān)的基本圖形，作直徑BF，連CF，則0E是BCF的中位線，下面再設(shè)法證明CFAD.

證明作直徑BF，連結(jié)FC、FAOEBC于E點，E為BC的中點，OE為BCF的中位線，OE2cfBF為?0的直徑，F(xiàn)AB為直角，即：FAAB,CDAB有FA/&D，CF^ADCFABOE1CFOE1AD22說明：在圓的問題里，作直徑是常見的輔助線，由此可得到很多結(jié)果；利用與圓有關(guān)的角的性質(zhì)，將圓內(nèi)線段相等的問題轉(zhuǎn)化為角的相等問題，也是一種重要的證題思路.典型例題八例已知以ABC的一邊BC為直徑作圓交另一邊AC于D，過A引AEBC于E,AE交圓于G.交BD于F，如圖，求證：EG:EFAE:EG.CC分析：本題重在考查靈活運用圓周角變換構(gòu)造相似三角形創(chuàng)建比例線段的能力，要證明的線段共線，怎樣“非線性化”呢？咋一看，有一籌莫展之感，但轉(zhuǎn)化為乘積式EG2EG2AEEF就有了“柳暗花明”由BGC90可創(chuàng)造EG2BEEC，于是轉(zhuǎn)證AEEFBEEC，再轉(zhuǎn)化為證比例式：AFAEEFBEEC，再轉(zhuǎn)化為證比例式：AFBEECeF'證明GE連結(jié)GB、BC，GC，則BGC90GE2BEEC.下面證明：AEEFBEEC，即AEBEECEF'CDF90CEF9C、D、E、F共圓ECFEDF9又BDA90BEA9ECFEAB9RtECFsRtEAB9EF故BEAEBEECEFAE，EG2AEEF9EG:EFAE:EG.說明：把“共線比例式非線性化”的途徑因題而異，本題運用射影定理以BEECEF故BEAEBEECEFAE，EG2AEEF9EG:EFAE:EG.說明：把“共線比例式非線性化”的途徑因題而異，本題運用射影定理以BEEC取代EG2來完成，射影定理也是創(chuàng)建比例式的重要依據(jù).典型例題九例如圖，AB為?0的直徑，AC為弦，P為AC延長線上一點，且ACPC的延長線交?0于D,求證：ACDCPB分析：要證ACDC由AB為直徑可得，故證出結(jié)論.證明連結(jié)ADAB為?0的直徑，ADP90ACCPCDAC丄AP2說明：這是證斜邊中線的問題.，轉(zhuǎn)證ADP90典型例題十例如圖，已知：ABC內(nèi)接于?0,D、E在BC邊上，且BDCE,1求證：ABAC2，分析：要證ABAC，由題知，不能直接證出，故需添加輔助線，而由圓周角12，想到了作1、2的對弧，構(gòu)造弦等、弧等的條件.證明分別延長AD、AE，它們分別交?0于F、G,連結(jié)BF、CG???Z1=Z2,二BF=CG.???BF=CG,EG=CF.zrac=zccE.^BFD^^CGE,ZF=ZGAB=AC-AB=AC.說明：在圓中有相等的圓周角時常作它們所對的弧和弦，利用在圓周或等圓中相等的圓周角所對的弧等以及圓心角、弦、弦心距之間關(guān)系定理證題.典型例題十一BC交?0于D,作BAC的外角平證明VABAC,?BC.又FACBC，AEBC交?0于D,作BAC的外角平證明VABAC,?BC.又FACBC，AE平分FAC?EACFAEB.?AEIBC.又VEACEDC,?BEDC???ABIIDE.???四邊形ABDE是平行四邊形.說明：本題考查圓周角定理的推論的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是找到同弧所對的圓周角.典型例題十二例求證：三角形兩邊之積等于其外接圓直徑與第三邊的高的積.已知如圖，⑥0是ABC的外接圓，AD是ABC的高，AE是?0的直徑.求證：ABACADAE.VADBC，?ADC900.VCVADBC，?ADC900.VCE，?ADCsABE.ACAD??ABACADAE…AEAB…說明：本題考查圓周角定理的應(yīng)用，題目的結(jié)論告訴我們一個求三角形外接圓直徑的方法.解題關(guān)鍵是連BE，構(gòu)造ABE，易錯點是忽視先寫已知，求證.典型例題十三

例如圖，AB為?0的弦，過O,A兩點任作一?0交AB于C,交?O于D例如圖，AB為?0的弦，過O,A兩點任作一?0交AB于C,交?O于D求證：CBCD.證明連0A,0B,0D,BD.則0BA0AB,0AB???OBCODC.?.?OBDODBODC.CBDCDB.?CBCD說明：本題考查圓周角定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是作出輔助線，易錯點是作錯或作不出正確的輔助線，使解題思路受阻.典型例題十四例如圖，ABC內(nèi)接于?0,AB的垂直平分線0D與BC的延長線相交于P,與AB相交于D.與AB、AC分別相交于M、N,求證：OA2ONOP證明連結(jié)OB、OC，OD垂直平分AB，AD=BD，AODBODACB-AOB2，AODACB，AONACP又ANOPNC，AONsPCN9OACP又OCAOACOCAP又CONPOCCONsPOCONOCOCOPOC2ONOP即：OA2ONOP說明：由于本題的結(jié)論可轉(zhuǎn)化為0C2ONOP，所以需要證明CONsPOC，而證這兩個三角形相似的關(guān)鍵在于證OCAP；為此又需要證明AONsPCN，要證這兩個三角形相似，關(guān)鍵又在于證得AONACP.觀察圖形特征，可發(fā)現(xiàn)這兩個角的補角有如下關(guān)系：AOD是AB所對圓心角AOB的一半，ACB是AB所對的圓周角.它也等于AOB的一半.這個關(guān)鍵問題一解決，本題便能順利獲證.這種圖形具有一定的普遍意義，同學(xué)們應(yīng)重點注意.

選擇題1）2）3）4）A．1個B．2個C．3個D．4個2．一條弦分圓周為5:7，這條弦所對的兩個圓周角為（）A．150，210B．75，1）2）3）4）A．1個B．2個C．3個D．4個2．一條弦分圓周為5:7，這條弦所對的兩個圓周角為（）A．150，210B．75，105C．60，1203、?0的弦AB等于半徑，那么弦AB所對的圓周角一定是（C）30°或150°A)30°B)150°D．120)．D))60°2404、△ABC中，ZB=90°,以BC為直徑作圓交AC于E，若BC=12，AB=12則EE的度數(shù)為（）．C）100°（D））120°5、如圖，△ABC是?0的內(nèi)接等邊三角形，D是AB上一點，AB與CD于E點，則圖中60。的角共有（）個.B）4（C）5內(nèi)接于⑥0，Z0BC=25（B）65°（C），C均為?0上的點，45A)60°B)80°6、7．A（A）3如圖，△ABC（A）70°如圖35A，B

B．（D）6。，則ZA的度數(shù)為（60°（D））50°ABO55，則BCA等于（）交）8．如圖，為1，AC正方形CDEF,a，BCbA．a(chǎn)b1B．a(chǎn)bC．C,F在半圓的直徑AB上，D,E在半圓上,1C.abD．a(chǎn)2b25正方形的邊長9?已知下列四個命題：①過原點0的直線的解析式為ykx（k0）.②有兩邊和其中一邊上的高對應(yīng)相等的兩個三角形全等?③有兩邊和其中一邊上的中線對應(yīng)相等的兩個三角形全等?④在同圓或等圓中，若圓周角不等，則所對的弦也不等，其中正確的命題是（）A?只有①②B.①②③C.①②④D.②③④

10.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⑥0，B0D80，貝BCD80的度數(shù)是（）C.140°D.160°11.如圖，已知AB和CD的度數(shù)為（）C.40°D.70°是?0的兩條直徑，弦DE//AB，如果11.如圖，已知AB和CD的度數(shù)為（）C.40°D.70°如圖，A、B、C、D是圓上四點，AB、DC延長線交于點E，皿、反:分別為120°、40°,則E等于（）A.40°B.35°C.60°D.30°使用直角鋼尺檢查某一工件是否恰好是半圓形的凹面，成半圓形的為合格，如圖所示的四種情況中的合格的是（）14.已知，經(jīng)過?0上的點A的切線和弦BC的延長線相交于點P,若CAP40,ACP100，則BAC所對的弧的度數(shù)為（）A.40°B.100°C.120°D.30°15.如圖，A、B、C三點都在?0上，點D是AB延長線上一點，A0C140,CBD的度數(shù)為（）C.120°D.30°16.如圖,A、B、C是?0上的三點，角140，那么A等于（）°C.140°D.220°17.如圖,BC為半圓O直徑，A、D為半圓0上兩點，AB<3,BC2,則D的度數(shù)B.120°C.135°D.150°是（）A.60°ACAC，過A、D兩點的圓與AB、GDE相似的三角形的個數(shù)為18?如圖所示，AD是RtABC的斜邊BC上的高，ABAC分別相交于點E、F，弦EF與AD相交于點G,則圖中與（）A.5B.4C.3D.219.如圖,圖中圓周角的個數(shù)是（）.A.9個20.如圖，B.12個D）.A.7個如圖，AB是?O直徑，弦AC,BD交于P.21.已知：DC則茁（）A.sinAPDB.cosAPDC.tgAPDD.ctgAPDB點是洌的中點，P點是直徑B點是洌的中點，P點是直徑MN上一動點，?BPD．22?如圖，A點是半圓上一個三等分點,0的半徑為1,則APB．A．B．答案與提示：1．B2.B、3C14．C15．C16．4、A；17．C5、B；6、B；7.18．C.19．B；20．BA8.D.．9C10．C11．A12．B13．C21.B;22.C,提示：作A關(guān)于MN的對稱點A'，連A'B，交MN于P?則PAPB最小，PAPB的最小值為BA'<2；填空題1?如圖，已知?0的弦AB、CD相交于點E，的度數(shù)為60，蟲門度數(shù)為100，則AEC=2?如圖，已知AB是?0直徑，D是圓上任意一點（不與A點重合），連結(jié)BD，并延長到C,使DCDB，連結(jié)AC，則ABC的形狀是三角形。3.如圖，ABC內(nèi)接于?04.在?0中，圓心角AOB5.如圖，3.如圖，ABC內(nèi)接于?04.在?0中，圓心角AOB5.如圖，100，則弦AB所對圓周角的度數(shù)O為圓心，弦CD與直徑AB平行，且AC交麗于E點，若AB6cm則梯形ABCD的面積為cmAED60，如圖，已知AB是?0直徑，AC是弦，0D5,并且ADO和的度數(shù)都等于60,那么DC的長是7、圓內(nèi)接三角形三個內(nèi)角所對的弧長為3:4:5，那么這個三角形內(nèi)角的度數(shù)分別為如圖，AB是?0的直徑，點D在AB的延長線上，BDOB,CD與?0切于C,那么CAB度.

9.如圖，A、B、C是?0上的二點，已知ABC50,9.如圖，A、B、C是?0上的二點，已知ABC50,AOC度.如圖BA是半圓0的直徑，點C在?0上，若ABC50,A度.11.AB為?0的直徑，CBCD=.D在AB兩旁，0DAB，則12.如圖，A0B80D為?0上的點，且C，則13?如果一條弦分圓為1：5兩部分，那么這條弧所對的圓周角的度數(shù)分別.已知點0為ABC外心，A72，則B0C.15?如圖，已知四邊形ABCD中ABACAD，BAC40，貝BDC答案:1.8027-2.等腰3.8*：2cm4.50或1205.—v'3cm26.5.7、45°，60°，75°.8.309.10010100°10.401145；12.40；13.30或150；14.144；15.20.解答題

1、如圖,AB是?0的直徑,CD丄AB于D,AD=9cm,DB=4cm,求CD和AC的長.AB第1題）D（第2題）AB第1題）D（第2題）B2、已知：如圖，AABC是?0的內(nèi)接三角形，?0的直徑BD交AC于E,AF丄BD于F,延長AF交BC于G.求證：AB2BGBC3?已知：在?0中，直徑AB10cm，弦AC6cm,ACB的平分線交?0于D，求BC、AD和BD的長。4.已知：如圖，ABC內(nèi)接于?0,過圓心0作BC的垂線交?0于點P、Q兩點，交AB于D,QP、CA的延長線交于點E,求證：0A20D0E5.如圖，在ABC中，ACB90,B25,以C為圓心，CA為半徑的圓交AB于6已知：如圖在?0中，CD過圓心0，且CDAB,垂足為D，過點C任作一弦CF交?0于F,交AB于E,求證：BC2CFCE7.如圖，兩弦AC7.如圖，兩弦AC、BD交圓內(nèi)于點M度數(shù)是120,度數(shù)是90,而ABMCDM面積之和為25^3cm2，求這兩個三角形