初中數(shù)學(xué)全等三角形的知識點梳理

全等三角形》一、結(jié)構(gòu)梳理豐富的生活情境全等圖形全等三角形特征全等三角形條件一、結(jié)構(gòu)梳理豐富的生活情境全等圖形全等三角形特征全等三角形條件畫三角形二、知識梳理（一）概念梳理1．全等圖形定義：兩個能夠完全重合的圖形稱為全等圖形，全等圖形的形狀和大小都相同．例如圖1中的兩個圖形形狀相同，但大小不同，不能重合在一起，因此不是全等圖形，圖2中的兩個圖形面積相同，但形狀不同，也不是全等圖形．2．全等三角形這是學(xué)好全等三角形的基礎(chǔ)．根據(jù)全等形定義：能夠完全重合的兩個三角形叫全等三角形.完全重合有兩層含義：（1）圖形的形狀相同；（2）圖形的大小相等.符號“今”也形象、直觀地反映了這一點.“s”表示圖形形狀相同，“=”表示圖形大小相等.（二）性質(zhì)與判定梳理1．全等圖形性質(zhì)：全等多邊形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角分別相等．全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角分別相等．2．全等三角形的判定這是學(xué)好全等三角形的關(guān)鍵．只給定一個條件或兩個條件畫三角形時，都不能保證所畫出的三角形全等，只要有三個條件對應(yīng)相等就可以，于是判定兩個三角形全等的方法有：（1）三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡記為：SSS；（2）兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡記為：ASA；（3）兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡記為：AAS；（4）兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡記為：SAS.若是直角三角形，則還有斜邊、直角邊公理（HL）。由此可以看出，判斷三角形全等，無論用哪一條件，都要有三個元素對應(yīng)相等，且其中至少要有一對應(yīng)邊相等．（5）注意判定三角形全等的基本思路從判定兩個三角形全等的方法可知，要判定兩個三角形全等，需要知道這兩個三角形分別有

三個元素（其中至少一個元素是邊）對應(yīng)相等，這樣就可以利用題目中的已知邊（角）去迅速準(zhǔn)確地確定要補充的邊（角），不致盲目地而能有目標(biāo)地完善三角形全等的條件．從而得到判定兩個三角形全等的思路有：找夾角tSAS已知兩邊＜、找另一邊tSSS'邊為角的對邊t找任一角tAAS已知一邊一角'找這條邊上的另一角tASA邊就是角的一條邊」找這條邊上的對角tAAS已知一邊一角、找該角的另一邊tSAS已知兩角找兩角的夾邊已知兩角找兩角的夾邊tASA找任一邊tAAS（6）學(xué)會辨認(rèn)全等三角形的對應(yīng)元素辨認(rèn)全等三角形的對應(yīng)元素最有效的方法是，先找出全等三角形的對應(yīng)頂點，再確定對應(yīng)角和對應(yīng)邊，如已知AABC^EFD，這種記法意味著A與E、B與F、C與D對應(yīng)，則三角形的邊AB與EF、BC與FD、AC與ED對應(yīng)，對應(yīng)邊所夾的角就是對應(yīng)角，此外，還有如下規(guī)律：（1）全等三角形的公共邊是對應(yīng)邊，公共角是對應(yīng)角，對頂角是對應(yīng)角；（2）全等三角形的兩個對應(yīng)角所夾的邊是對應(yīng)邊，兩條對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角．（三）基本圖形梳理注意組成全等三角形的基本圖形，全等圖形都是由圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱等圖形變換而得到的，所以全等三角形的基本圖形大致有以下幾種：1平移型如圖3,下面幾種圖形屬于平移型：它們可看成有對應(yīng)邊在一直線上移動所構(gòu)成的，故該對應(yīng)邊的相等關(guān)系一般可由同一直線上的線段和或差而得到.‘2.對稱型如圖4,下面幾種圖形屬于對稱型：圖3它們的特征是可沿某一直線對折，直線兩旁的部分能完全重合（軸對稱圖形），重合的頂點就是全等三角形的對應(yīng)頂點.3．旋轉(zhuǎn)型如圖5，下面幾種圖形屬于旋轉(zhuǎn)型它們可看成是以三角形的某一頂點為中心旋轉(zhuǎn)所構(gòu)成的，故一般有一對相等的角隱含在對頂角、某些角的和或差中.三、易混、易錯點剖析1探索兩個三角形全等時，要注意兩個特例圖6(1)（1）三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，但三角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等；如圖6（圖6(1)角都是600，但這兩個三角形顯然不全等；兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等，如圖6(2),中的△ABC和厶ABD中,雖然有AB=AB,AC=AD,ZB=ZB,但它們顯然不全等.2．在判定三角形全等時，還要注意的問題在判定三角形全等時,應(yīng)做到以下幾點：D根據(jù)已知條件與結(jié)論認(rèn)真分析圖形；D準(zhǔn)確無誤的確定每個三角形的六個元素；根據(jù)已知條件，確定對應(yīng)元素，即找出相等的角或邊;對照判定方法，看看還需什么條件兩個三角形就全等;想辦法找出所需的條件來.四、例題：例1.如圖7(1)，E、F分別是四邊形ABCD的邊BA、DC延長線上的點，AB//CD,AD//BC,且AE=CF,EF交AD于G,交BC于H..對，它們分別是圖中的全等三角形有.何輔助線).對，它們分別是請在(1)問中選出一對你認(rèn)為全等的三角形進行證明．我選擇的是：解：(1)2,AAEG9^CFH和厶BEH9ADFG.(2)如求證明：△AEG9ACFH.證明：在平行四邊形ABCD中，有ZBAG=ZHCD,所以ZEAG=180o-ZBAG=180o-ZHCD=ZFCH.又因BA〃DC，所以ZE=ZF.又因AE=CF，所以△AEG^^CFH.點評：本題簡單地考察學(xué)生對圖形的識別能力以及證明能力,主要是根據(jù)全等三角形的判定條件去尋找，然后再作出證明.例2.如圖8,在厶ABD和厶ACE中，有下列四個等式：QAB=AC?AD=AE③1=Z2⑨BD=CE.請你以其中三個等式作為題設(shè)，余下的作為結(jié)論，寫出一個真命題(要求寫出已知，求證及證明過程).(提示：答案不唯一).點評：本題是條件組裝題，答案不唯一，它重點考查學(xué)生的創(chuàng)新意識和能力，四個命題進行組合，有六種情況，這六種情況中有的是假命題，請同學(xué)們注意分辨.例3.如圖9,點E在AB上,AC=AD,請你添加一個條件，使圖中存在全等三角形，并給予證明所添條件為,你得到的一對全等三角形是A（提示：可選擇CE二DE、ZCAB=/DAB、可得到AACE=AADE或AACB=AADB例4.如圖10,AB=CD=ED,AD=EB,BE丄DE，垂足為E.求證：△ABD9AEDB只需添加一個條件,即