重慶交通大學(xué)電路分析第十三章

第十三章電路的頻率響應(yīng)目前我們已經(jīng)討論了單一頻率正弦激勵(lì)下電路的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和能量、功率問題。當(dāng)正弦激勵(lì)的頻率變化時(shí)，電路的響應(yīng)一般也將發(fā)生相應(yīng)的變化。這種響應(yīng)隨激勵(lì)頻率變化的關(guān)系就是頻率響應(yīng)，這是值得去研究和利用的。由輸入阻抗的模可以掌握正弦穩(wěn)態(tài)時(shí)端口上電壓有效值與電流有效值的比值關(guān)系；由輸入阻抗的輻角可以掌握正弦穩(wěn)態(tài)時(shí)端口上電壓與電流的相位關(guān)系。輸入阻抗的模和輻角一般都是正弦穩(wěn)態(tài)頻率的函數(shù)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)正弦穩(wěn)態(tài)f(t)y(t)圖13.1-1如圖13.1-1如圖13.1-2(a)如圖13.1-2(b)0如圖13.1-2(a)0如圖13.1-2(b)預(yù)備知識(shí)特別0圖13.1-3(a)0(b)0(c)例13.1-1RCu1u2圖13.1-4R圖13.1-50010.707圖13.1-6(a)(b)圖13.1-6(a)圖13.1-6(b)諧振電路并聯(lián)諧振電路

串聯(lián)諧振電路學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握諧振的分類及諧振的條件;2.理解諧振時(shí)總電流與分電流、總電壓與各元件分電壓之間的關(guān)系;3.理解品質(zhì)因素的概念；能通過諧振曲線判斷Q的大小;串聯(lián)諧振電路如圖電路中，回路在外加電壓us=Umsinωt作用下，電路中的復(fù)阻抗為：串聯(lián)諧振電路Z=當(dāng)改變電源頻率，或者改變L、C的值時(shí)都會(huì)使回路中電流達(dá)到最大值，使電抗

電路呈電阻性，此時(shí)我們就說電路發(fā)生諧振。由于是R、L、C元件串聯(lián)，所以又叫串聯(lián)諧振。外加電壓uS=Umsinωt，應(yīng)用復(fù)數(shù)計(jì)算法得回路電流為：其中，阻抗

為阻抗的模,

。

為阻抗的角。在某一特定頻率時(shí)，若回路滿足下列條件：

則電流為最大值，回路發(fā)生諧振。所以上式稱為串聯(lián)電路發(fā)生諧振的條件。即當(dāng)串聯(lián)回路中容抗等于感抗時(shí)，稱回路發(fā)生了串聯(lián)諧振。這時(shí)頻率稱為串聯(lián)諧振頻率，用fo表示，相應(yīng)的角頻率用ωo表示，發(fā)生串聯(lián)諧振的角頻率ωo和頻率分別為：

串聯(lián)諧振電路具有如下特性：（1）諧振時(shí)，回路電抗X=0，阻抗Z=R為最小值,且為純電阻。而在其他頻率時(shí)，回路電抗X≠0，當(dāng)外加電壓的頻率ω>ω0時(shí)，ωL>，回路呈感性，當(dāng)ω<ω0時(shí)，回路呈容性。（2）諧振時(shí)，回路電流最大，即,且電流與外加電壓同相。頻率特性（3）電感及電容兩端電壓模值相等，且等于外加電壓的Q倍。通常把ω0L/R（或1/ω0CR）稱為回路的品質(zhì)因素，用Q表示。串聯(lián)揩振時(shí)，、、、與的相位關(guān)系如圖2所示。圖2串聯(lián)諧振時(shí)電壓和電流相量圖通常，回路的Q值可達(dá)幾十到幾百，諧振時(shí)電感線圈和電容兩端的電壓可以比信號(hào)源電壓大幾十到幾百倍，所以又叫電壓諧振。從圖2可以看出，超前為90°，滯后.為90°，與相位相反。3通頻帶（1）諧振曲線回路中電流幅值與外加電壓頻率之間的關(guān)系曲線稱為諧振曲線。

在任意頻率下回路電流與諧振時(shí)回路電流之比為:(4)諧振時(shí)，能量只在R上消耗，電容和電感之間進(jìn)行磁場(chǎng)能量和電場(chǎng)能量的轉(zhuǎn)換，電源和電路之間沒有能量轉(zhuǎn)換。

式中，ξ=Q（）具有失諧振量的含義，稱為廣義失諧量。模為：據(jù)上式可以作出相應(yīng)的諧振曲線，如圖3所示。圖4串聯(lián)諧振時(shí)的通頻帶

圖3串聯(lián)諧振時(shí)諧振曲線（2）通頻帶當(dāng)外加信號(hào)電壓的幅值不變，頻率改變?yōu)棣?ω1或ω=ω2，此時(shí)回路電流等于諧振值的倍，如圖4所示。ω2-ω1稱為回路的通頻帶，其絕對(duì)值為：2△ω0.7=ω2-ω1或2△f0.7=f2-f1

ω1（f1）和ω2（f2）為通頻帶的邊界角頻率（或邊界頻率）。回路中相對(duì)通頻帶為：可見，通頻帶與回路的品質(zhì)因素Q成反比，Q愈高，諧振曲線愈尖銳，回路的選擇性愈好，但通頻帶愈窄。因此，對(duì)串聯(lián)振蕩回路來說，兩者存在著矛盾。

二并聯(lián)諧振電路1并聯(lián)諧振

串聯(lián)諧振回路適用于信號(hào)源內(nèi)阻等于零或很小的情況，如果信號(hào)源內(nèi)阻很大，采用串聯(lián)諧振電路將嚴(yán)重地降低回路的品質(zhì)因素，使選擇性顯著變壞（通頻帶過寬）。這樣就必須采用并聯(lián)諧振回路。圖5R-L-C并聯(lián)諧振電路

在圖5R-L-C并聯(lián)電路中，電路的總導(dǎo)納Y為：

圖5R-L-C并聯(lián)諧振電路

其導(dǎo)納模為：

相應(yīng)的阻抗模：

可以看出：只有當(dāng)XL=XC時(shí)|Z|=R，電路呈電阻性。由于R-L-C并聯(lián)，所以這時(shí)又稱為并聯(lián)諧振。故并聯(lián)諧振的條件是XL=XC，即當(dāng)

時(shí)發(fā)生并聯(lián)諧振。其諧振頻率為：并聯(lián)諧振電路的特點(diǎn)為：（1）XL=XC，|Z|=R，電路阻抗為純電阻性（2）諧振時(shí)，因阻抗最大，在電源電壓一定時(shí)，總電流最小，其值為：

（3）電感和電容上電流相等，其電流為總電流的Q倍，即：式中Q稱為并聯(lián)諧振電路的品質(zhì)因素，其值為：

因?yàn)榧冸娮桦娐?，故總電流與電源電壓同相。并聯(lián)諧振電路的電流及各電壓相位關(guān)系如圖6所示。圖6并聯(lián)諧振時(shí)電壓和電流相量圖

（4）諧振時(shí)激勵(lì)電流全部通過電阻支路，電感與電容支路的電流大小相等，相位相反，使圖5中A、B間相當(dāng)于開路，所以并聯(lián)諧振又稱為電流諧振。2.電感線圈和電容器的并聯(lián)諧振電路工程上廣泛應(yīng)用電感線圈與電容器組成并聯(lián)諧振電路，由于實(shí)際電感線圈的電阻不可忽略，與電容器并聯(lián)時(shí)，其電路模型如圖7所示。

圖7電感與電容的并聯(lián)諧振電路其相應(yīng)的回路阻抗為：圖8LC并聯(lián)諧振時(shí)電壓電流相量圖從圖相量中看出即：整理后：上式就是發(fā)生諧振的條件?？梢缘玫街C振時(shí)的角頻率為：

其電壓電流相量圖如圖8所示

可以看出，不論R、L、ω為何值，調(diào)節(jié)電容量C總可以達(dá)到諧振，但要調(diào)節(jié)激勵(lì)頻率使電路發(fā)生諧振，必須使（ω0才有可能為實(shí)數(shù)），即R<。在時(shí)，并聯(lián)諧振的近似條件為。

iSiSA

A

品質(zhì)因素：Q=ω0L/R=1/ω0CR諧振特點(diǎn)：

I0=Us/R（最大）UR=UsZ0=R(最小)UL0=UC0=QUs

小

結(jié)1、在RLC串聯(lián)諧振電路中其諧振角頻率為：2、在RLC并聯(lián)諧振電路中其諧振角頻率(頻率)為：諧振特點(diǎn)：（1）XL=XC，|Z|=R，電路阻抗為純電阻性。（2）諧振時(shí)，因阻抗最大，在電源電壓一定時(shí)，總電流最小，其值為：總電流與電源電壓同相。3、在電感和電容并聯(lián)的諧振電路中諧振角頻率:

品質(zhì)因素

諧振特點(diǎn)Z0=R0=L/RC=Q(最大)U0=R0IsIC0=IL0=QIs

正弦穩(wěn)態(tài)晌應(yīng)的疊加

幾個(gè)頻率不同的正弦激勵(lì)在線性時(shí)不變電路中產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)電壓和電流，可以利用疊加定理----先用相量法分別計(jì)算每個(gè)正弦激勵(lì)單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的電壓電流相量，然后得到電壓uk(t)電流和ik(t)，最后相加求得總的穩(wěn)態(tài)電壓u(t)和電流i(t)。例22圖(a)中，uS(t)=20cos(100t+10)V,試用疊加定理求穩(wěn)態(tài)電壓u(t)。解：1電壓源單獨(dú)作用時(shí),將電流源以開路代替，得圖(b)相量模型，則:由相量寫出相應(yīng)的時(shí)間表達(dá)式2電流源單獨(dú)作用時(shí),將電壓源用短路代替，得圖(c)所示相量模型，則:由相量寫出相應(yīng)的時(shí)間表達(dá)式3疊加求穩(wěn)態(tài)電壓u(t)將每個(gè)正弦電源單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的電壓在時(shí)間域相加，得到非正弦穩(wěn)態(tài)電壓:它們的波形如下圖所示。的波形如圖(a)所示。圖(b)繪出的波形，可見，兩個(gè)不同頻率正弦波相加得到一個(gè)非正弦周期波形。兩個(gè)不同頻率的正弦波形的疊加非正弦周期電流電路非正弦周期電流電路：線性電路在非正弦周期電源或直流電源與不同頻率正弦電源的作用下，達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)的電路。非正弦周期電流和電壓非正弦周期信號(hào)的傅立葉展開非正弦周期量的有效值、平均值和平均功率非正弦周期電流電路的計(jì)算本節(jié)主要介紹非正弦周期電流電路的一種分析方法：諧波分析法。非正弦周期電流和電壓常見的非正弦周期波形脈沖波形方波電壓鋸齒波磁化電流半波整流波形產(chǎn)生非正弦周期量的原因舉例⑴正弦電源經(jīng)過非線性元件（例如整流元件或鐵心線圈）時(shí)，產(chǎn)生的電流將是非正弦周期量。⑵發(fā)電機(jī)由于內(nèi)部結(jié)構(gòu)的原因很難保證電壓是理想的正弦波。⑶在幾個(gè)不同頻率正弦電源的作用下，線性電路中的響應(yīng)也將是非正弦周期量。分析非正弦周期電流電路，先要用傅立葉級(jí)數(shù)將其分解為直流量和一系列不同頻率正弦量之和，應(yīng)用疊加定理分別求出各量單獨(dú)作用時(shí)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，最后在時(shí)域疊加得到總響應(yīng)。此方法稱為諧波分析法。非正弦周期信號(hào)的傅立葉展開設(shè)一非正弦周期函數(shù)為f(t)，可表示為T為函數(shù)周期，若f(t)滿足狄里赫利條件：即在一個(gè)周期內(nèi)滿足⑴連續(xù)或只有有限個(gè)間斷點(diǎn)；⑵有有限個(gè)極大值和極小值；⑶絕對(duì)收斂。則f(t)就可以展開為一個(gè)收斂的三角級(jí)數(shù)—傅立葉級(jí)數(shù)。電工、無線電技術(shù)中遇到的非正弦周期函數(shù)，通常都能滿足該條件。展開為或改寫為比較兩個(gè)公式，系數(shù)關(guān)系為式中角頻率直流分量基波分量二次諧波分量k次諧波分量諧波次數(shù)越高，其幅值越小。傅立葉技術(shù)是一個(gè)無窮級(jí)數(shù)。工程上根據(jù)精度要求取前若干項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算。一般5次以上的諧波略去。通常波形越光滑、越接近正弦波形，級(jí)數(shù)收斂越快。高次諧波系數(shù)計(jì)算公式【例】求圖示方波信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)表達(dá)式。解由求出分段表示為由系數(shù)公式由此得出工程上常見的周期函數(shù)往往具有某種對(duì)稱性，利用此特性可使系數(shù)的計(jì)算簡(jiǎn)化。非正弦周期量的有效值、平均值和平均功率有效值的定義為設(shè)為一非正弦周期電流，則展開式中包括以下各項(xiàng)由此計(jì)算出同理式中為直流分量為k次諧波有效值非正弦周期電流的平均值定義為i的絕對(duì)值的平均值同一非正弦周期電流用不同儀表測(cè)量的結(jié)果：⑴磁電系儀表測(cè)量的為直流分量，儀表偏轉(zhuǎn)角⑵電磁系儀表測(cè)量的為有效值，儀表偏轉(zhuǎn)角⑶全波整流磁電系儀表測(cè)量其平均值，儀表偏轉(zhuǎn)角N網(wǎng)絡(luò)吸收的瞬時(shí)功率為其平均功率為平均功率代入上式展開有以下各項(xiàng)則式中為直流分量，為k次諧波有效值，第k次諧波電壓電流的相位差。注意

直流與交流分量之間不產(chǎn)生平均功率；不同頻率的正弦分量之間也不產(chǎn)生平均功率。非正弦周期電流電路的計(jì)算計(jì)算步驟：⑴將給定的非正弦周期激勵(lì)的電壓或電流分解為傅立葉級(jí)數(shù)，根據(jù)精度要求取前若干項(xiàng)。一般取5次以前各項(xiàng)。⑶應(yīng)用疊加定理將各響應(yīng)分量的時(shí)域形式疊加。⑵按直流穩(wěn)態(tài)求出激勵(lì)中直流分量單獨(dú)作用的響應(yīng)分量；再按正弦穩(wěn)態(tài)求出激勵(lì)中各次諧波分量分別單獨(dú)作用的響應(yīng)分量，應(yīng)用相量法時(shí)注意感抗、容抗與頻率的關(guān)系；最后把各響應(yīng)分量轉(zhuǎn)換為時(shí)域形式?！纠恳阎娐穉中:解U(0)=10V單獨(dú)作用時(shí)（圖b），電感短路、電容開路。有求各支路電流及功率。單獨(dú)作用(圖c)單獨(dú)作用(圖c)將上述響應(yīng)分量按時(shí)域形式疊加各支路功率電源發(fā)出功率功率平衡解⑴

IS(0)=4A單獨(dú)作用【例】所示電路中已知:，求u。⑵

iS(1)=3cos(10t)A單獨(dú)作用由KVL求出由疊加定理解⑴

US(0)=10V單獨(dú)作用時(shí)【例】已知:求電流i、有效值I、功率⑵

單獨(dú)作用時(shí)由于發(fā)生并聯(lián)諧振，LC環(huán)節(jié)處于斷開狀態(tài)，有則解⑴I