傳熱學(xué)基礎(chǔ)(第二版)第五章教學(xué)課件導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法

第五章導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法5-1穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱有限差分方程5-2非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱有限差分方程5-3邊界條件1/25分析解法的優(yōu)點(diǎn)：求解過(guò)程中的數(shù)學(xué)分析較嚴(yán)謹(jǐn)；求解結(jié)果以函數(shù)形式表示，能清楚地顯示各種因素對(duì)溫度分布的影響。原則上，導(dǎo)熱問(wèn)題的求解就是對(duì)導(dǎo)熱微分方程式在規(guī)定的邊界和初始條件下積分求解。這種解法稱為分析解。導(dǎo)熱問(wèn)題數(shù)值解概述

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近百年來(lái)，文獻(xiàn)中積累了一批不同條件下導(dǎo)熱問(wèn)題的分析解。然而，對(duì)于許多實(shí)用場(chǎng)合，幾何條件或邊界條件的復(fù)雜性排除了分析解的可能性。另外，有一些問(wèn)題雖然可以求得分析解，但是由于分析解中包括一些復(fù)雜級(jí)數(shù)而不易獲得數(shù)字結(jié)果。3/25數(shù)值計(jì)算方法—有效解決復(fù)雜問(wèn)題的方法；是具有一定精度的近似方法。數(shù)值求解通常是對(duì)微分方程直接進(jìn)行數(shù)值積分或者把微分方程轉(zhuǎn)化為一組代數(shù)方程組再求解。這里要介紹的是后一種方法。如何實(shí)現(xiàn)從微分方程到代數(shù)方程的轉(zhuǎn)化。數(shù)值解法：有限差分法（finite-difference）、有限元法（finite-element）、邊界元法（boundary-element）4/25在數(shù)值解法之中，應(yīng)用最為廣泛的是建立在有限差分法基礎(chǔ)上的數(shù)值解法。有限差分法的基本思想是把原來(lái)在時(shí)間和空間坐標(biāo)中連續(xù)變化的物理量（如溫度、壓力、速度和熱流等），用有限個(gè)離散點(diǎn)上的數(shù)值集合來(lái)近似表示。近年來(lái)，電子計(jì)算機(jī)的普及和提高，有效地推動(dòng)了數(shù)值解法的發(fā)展。由于高速計(jì)算機(jī)的普及，許多過(guò)去認(rèn)為不能求解的導(dǎo)熱問(wèn)題獲得了數(shù)值解，開辟了求解各種復(fù)雜導(dǎo)熱問(wèn)題的廣闊道路。5/25

5－1穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱有限差分方程

分析解可以確定物體中任意點(diǎn)的溫度，而數(shù)值計(jì)算只能確定一些離散的點(diǎn)上的溫度。為了進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，首先必須選取這些離散點(diǎn)。以一個(gè)二維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題為例。

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參看圖a，

離散化是通過(guò)將一個(gè)二維物體分割成矩形網(wǎng)格實(shí)現(xiàn)的。在x及y方向上分割距離分別為及。網(wǎng)格交點(diǎn)就是所選取的離散點(diǎn)，稱為節(jié)點(diǎn)。符號(hào)m、n分別用來(lái)表示節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)。例如(m,n)節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)是、。節(jié)點(diǎn)上的溫度表示為Tm,n。其余節(jié)點(diǎn)仿此類推。

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節(jié)點(diǎn)的溫度實(shí)質(zhì)上代表了圖中灰影部分物體的平均溫度。它反映了有限差分法表達(dá)上的近似。網(wǎng)格的分割要受到物體幾何形狀以及計(jì)算要求達(dá)到的精確度的約束。一般來(lái)說(shuō)，網(wǎng)格取得越小，數(shù)值計(jì)算的結(jié)果越準(zhǔn)。但是這樣做是要付出代價(jià)的。網(wǎng)格的減小要求增加計(jì)算機(jī)的信息儲(chǔ)存和增加運(yùn)算次數(shù)，延長(zhǎng)計(jì)算時(shí)間導(dǎo)致計(jì)算費(fèi)用的增加。其次，由于計(jì)算機(jī)運(yùn)算是對(duì)有限位數(shù)數(shù)字進(jìn)行的，運(yùn)算次數(shù)的增加會(huì)產(chǎn)生積累起舍入誤差的副作用。8/25

下面來(lái)導(dǎo)出二維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程式的有限差分近似表達(dá)式。

考察一個(gè)物體內(nèi)部的任意節(jié)點(diǎn)(m,n)。以x方向?yàn)槔?jié)點(diǎn)附近的溫度分布示于圖5－1b。用節(jié)點(diǎn)溫度表示的近似的溫度變化率有：

9/2510/25二維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程式中的二次導(dǎo)數(shù)可利用以上關(guān)系近似的表達(dá)為同理，在y方向上11/25

將以上二次導(dǎo)數(shù)近似式代入二維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程，就得到導(dǎo)熱微分方程的有限差分近似表達(dá)式，亦稱有限差分方程如果取的正方形網(wǎng)格，則上式簡(jiǎn)化成為12/25

這就是任意內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的有限差分方程。它是一個(gè)代數(shù)方程。以上的關(guān)系表明，在導(dǎo)熱系數(shù)為常量時(shí)熱量的轉(zhuǎn)移可以用溫度差來(lái)表達(dá)。上式還表明：在穩(wěn)態(tài)下，流向任何節(jié)點(diǎn)熱量的總和必須等于零。采用數(shù)值法求解時(shí)，必須對(duì)物體中每個(gè)節(jié)點(diǎn)寫出類似上面推導(dǎo)的代數(shù)方程，然后聯(lián)立求解所有節(jié)點(diǎn)的溫度值。

13/255-2非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱有限差分方程

作為入門的引導(dǎo)，本節(jié)以一維非穩(wěn)態(tài)問(wèn)題為例，導(dǎo)出非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱有限差分方程。一維非穩(wěn)態(tài)無(wú)內(nèi)熱源的導(dǎo)熱微分方程式非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的特點(diǎn)是溫度不僅依空間坐標(biāo)變化，并且還依時(shí)間而變。14/25

對(duì)微分方程作有限差分離散化處理必須同時(shí)把所研究的空間和時(shí)間范圍各自分割成許多細(xì)小的間隔組成網(wǎng)格，如時(shí)－空坐標(biāo)示意圖5－2所示。圖中任意節(jié)點(diǎn)(m,i)的溫度表示為Tm(i)。下角碼表示空間間隔序號(hào)，上角碼則表示時(shí)間間隔的序號(hào)。15/25

對(duì)式（5－2）中的時(shí)間導(dǎo)數(shù)采用向前差分格式，可表示為由于分子中的溫度差是用時(shí)間上向前一個(gè)間隔的值與考察點(diǎn)的當(dāng)?shù)刂抵畲_定的，所以稱為向前差分格式。在上一節(jié)里，溫度的二次導(dǎo)數(shù)是用觀察點(diǎn)當(dāng)?shù)叵蚯鞍雮€(gè)間隔與向后半個(gè)間隔的一次導(dǎo)數(shù)差得出的，所以稱為中心差分格式?，F(xiàn)在仍對(duì)式（5－2）中的二次導(dǎo)數(shù)采用中心差分表達(dá)，則式（5－2）的差分方程為16/25

圖5－3在物理意義上示出了在有限厚度Δx一層物體內(nèi)的能量守恒關(guān)系。進(jìn)入x面的熱流密度為qx，傳出x+Δx面的熱流密度為qΔX+X。層內(nèi)單位時(shí)間、單位體積的內(nèi)能增量則為。17/25

由此可知，除了保留Δx、Δτ

的有限大小這一特征之外，有限差分方程與微分方程都是從能量守恒原理推導(dǎo)出來(lái)的。導(dǎo)出式（5－3）所選出的差分格式有一定隨意性。對(duì)時(shí)間導(dǎo)數(shù)也可選出中心差分，或者選用τ+Δτ而不是τ這個(gè)時(shí)間來(lái)計(jì)算空間導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)出差分方程中差分格式的不同選擇不僅影響到求解方程的方法，并且因?yàn)橛锌赡軙?huì)出現(xiàn)解的不穩(wěn)定性甚至可能得不到解答。令，則式（5－3）可改寫成為18/25

從上式可以看出，任意時(shí)刻的溫度分布可以方便地從一個(gè)時(shí)間間隔前的溫度分布中算出，而不必求解聯(lián)立方程組。這種格式稱為顯式。已經(jīng)查明顯示格式差分方程的解并不是無(wú)條件收斂的。只有在的條件下方程式的解才會(huì)收斂。在物理意義上，它表明任意節(jié)點(diǎn)的溫度值不能成為導(dǎo)致該點(diǎn)相繼時(shí)刻（Δτ之后）溫度降低的原因，所以方程中Tm(i)項(xiàng)的系數(shù)必須保持正值。19/2520/25

將式（5－4）的導(dǎo)出方式加以改變（如對(duì)用向后差分格式），使得差分方程中Tm(i+1)的項(xiàng)數(shù)不止一項(xiàng)，就得到隱式格式的差分格式。

在隱式格式里，相繼時(shí)刻的溫度不能直截了當(dāng)?shù)貜脑谒澳莻€(gè)時(shí)刻的溫度確定下來(lái)，而必須經(jīng)歷一個(gè)求解線性代數(shù)方程組過(guò)程才能確定，所以計(jì)算過(guò)程比較復(fù)雜。不過(guò)，隱式格式的解是無(wú)條件穩(wěn)定的。只是也要注意，如果采用的時(shí)間步長(zhǎng)過(guò)長(zhǎng)，穩(wěn)定的解并不一定是個(gè)正確的解。

5-3邊界條件

前面的條件僅涉及常壁溫的邊界條件,在處理上是最簡(jiǎn)單的.本節(jié)將討論給定壁面熱流密度的邊界條件和第三類邊界條件的差分方程.參看圖5-6,先考察一個(gè)在x=0邊界上具有給定熱流密度的一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題。21/25

我們的目的是要將給定的壁面熱流密度納入節(jié)點(diǎn)溫度的表達(dá)式.取一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程式在－Δx/2至0范圍內(nèi)的定積分,可得22/25

式中，第一項(xiàng)是已知的，；第二項(xiàng)取圍繞點(diǎn)的中心差分表達(dá)，式（5－12）成為

或

式（5－12）的物理含義是容易理解的,它表示半個(gè)節(jié)點(diǎn)間隔薄層內(nèi)的能量守恒,進(jìn)入左側(cè)面的熱量必須等于離開右側(cè)面的熱量。式（5－13）則表明進(jìn)入左側(cè)面的熱量可以從x＝0及兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的溫度算出。23/25

若x＝0的右方為固體,左方為流體,式(5-13)變?yōu)?/p>

絕熱邊界條件,是以上討論的一個(gè)特例。正如圖4－6所示厚2δ的大平板在x=0面上一樣，由于對(duì)稱原因，還可仿式(5-13)推出。與式(5-13)對(duì)比得絕熱邊界表達(dá)式上面得到的絕熱邊界條件式是絕熱邊界兩側(cè)對(duì)稱性的必然結(jié)果，不受穩(wěn)